(完整版)高中数学选修1-1综合测试题及答案
高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)
综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝c a ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________． 解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。
人教版高中数学选修1-1综合测试卷B(含答案).doc
数学选修1-1测试卷一、选择题：1、已知a、b为实数，则2" >2"是的( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、给出命题:若函数y = .f(x)是幕函数,则函数y = f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A.OB.lC.2D.33、已知命题p:H VxG[l,2],x2-a>0,,J^题/?,/+2仮+2-0 = 0”,若命题“0人厂是真命题，则实数。
的取值范围是 ( )A.(-oo,-2]U{l}B.(-汽-2] U [1,2]C.[l,+8)D.[-2,l]4、设函数/(兀)在定义域内可导,y = /(x)的图象如左图所示，则导函数y = /©)可能为( )2 25、设片和坊为双曲线—1(。
>0#>0)的两个焦点,若耳,只，P(0,2b)是正三角形的三个顶点, CT b~则双曲线的离心率为()3,5A.-B.2C.-D.32 26、设斜率为2的直线/过抛物线y2 = ax{a 0)的焦点F,且和y轴交于点九若厶0AF(0为朋标原点)的而积为4,则抛物线方程为( )A. =±4xB. y2=±SxC. y2 = 4xD. y2 = 8x7、如图，曲线y = f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q,过P作PT垂直于x轴于T,若△P7Q的面积为-，则y与y'的关系满足(・)A. y =)/B. y = -y"C. y - y1D. y2 - y'8^ 己知)；=/(x)是奇函数，当XG (0,2) lit, f(x) = Inx-ax{a >—)，当xw (-2,0)吋,/(x)的最小值为1，则a的值等于( )1 1 」A.—B.—C.—D..14 3 29、设函数y = /(X)在(。
0)上的导函数为广(x)，r(x)在(a,b)上的导函数为f\x)，若在(a,b)上,/"(X)<0恒成立，贝I」称函数函数/(兀)在(Q0)上为“凸函数已知当m<2时,/(兀)=-x3-—nu2 +无在6 2 (—1,2)上是“凸函数二则f(x)在(—1,2)上()A.既有极人值，也有极小值B.既有极人值，也有最小值C.有极大值，没有极小值D.没有极大值,也没有极小值己知两条曲线y = x2~l与）vi-F 在点兀。
高中数学选修1-1测试卷及答案3套
高中数学选修一测试卷及答案3套测试卷一(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0 (x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 4．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 05．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段6．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)7．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，则a 的最大值是( )A ．1B ．3C ．9D ．不存在8．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．49．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.5210．若当x ＝2时，函数f (x )＝ax 3－bx ＋4有极值－43，则函数的解析式为( )A ．f (x )＝3x 3－4x ＋4 B ．f (x )＝13x 2＋4C ．f (x )＝3x 3＋4x ＋4 D ．f (x )＝13x 3－4x ＋411．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±3y ＝0 B.3x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝012．若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是 ________________________________________________________________．14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．15．若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________.16．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)设P 为椭圆x 2100＋y 264＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．19.（12分）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，求动点P (x ，y )的轨迹方程．20．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．21.(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1(a ∈R )．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．答案1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B 8．B 9．D 10．D 11．D 12．C 13．[3,8) 14.x 24－y 212＝115．－b 2a216．5717．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0，得⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p ，∴B ⊆A .即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎪⎨⎪⎧f 2≤0f 3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧8－18＋a ≤018－27＋a ≤0.∴a ≤9.故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}． 18．解 如图所示，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn . 由椭圆的定义知 |PF 1|＋|PF 2|＝20，即m ＋n ＝20. ① 又由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－mn ＝122. ②由①2－②，得mn ＝2563.∴S △F 1PF 2＝6433.19．解 设 P ＝(x ，y )，则 MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP →＝(x －2，y )．∴ |MN →|＝4，|MP →|＝x ＋22＋y 2， MN →·NP →＝4(x －2)，代入 |MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0， 得4x ＋22＋y 2＋4(x －2)＝0， 即x ＋22＋y 2＝2－x ，化简整理，得y 2＝－8x .故动点P (x ，y )的轨迹方程为y 2＝－8x .20．解 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝2a －43a ＝1f 1＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为 y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.21．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a 3－a2＋1＝0，∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围． 故a ＝±1.22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x－1，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1. 又f (2)＝ln 2＋2，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－ax－1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax 2，x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)， 所以当x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． ②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，即ax 2－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1.a ．当a ＝12时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．b ．当0<a <12时，1a－1>1，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1a－1时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．c ．当a <0时，由于1a－1<0.x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．测试卷二(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知命题“p ：x ≥4或x ≤0”，命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{－1,0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．24．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝15．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝1 7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －58．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A ．3 2 B ．2 3C.303D.32610．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－211．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．15．给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc . ②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题． ③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中正确说法的序号为________．16．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求m 的取值范围．18．(12分)F 1，F 2是椭圆的两个焦点，Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．19.(12分)若r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.已知∀x ∈R ，r (x )为假命题且s (x )为真命题，求实数m 的取值范围．20．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．21.(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．22．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．答案1．D2．A 3．C4．A 5．C 6．D 7．B 8．A 9．C 11．A 12．C 13. 3 14. 2 15．①② 16．(1,3]17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0⇔m >2.命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0 ⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.18．解设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |)＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立． ∴m ≥ 2. ① 又对∀x ∈R ，s (x )为真命题． ∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2. ② 故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2.∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23，∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2| ＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.21．解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2， f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0.解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0. 当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．22．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1≤0f ′1≤0得－14≤a ≤14.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14.(2)当a >14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝4⎝⎛⎭⎪⎫a －14>0f ′1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0， 即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <－14时，∵⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14<0f ′1＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0.∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0， 在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14≤a ≤14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．综上，当a >14或a <－14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a ≤14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为0.测试卷三(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分2．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．x 2＝28yC ．y 2＝－28xD ．y 2＝28x3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.324．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ；④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b .其中真命题的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④5．已知a 、b 为不等于0的实数，则a b>1是a >b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成5∶3两段，则此双曲线的离心率为( )A. 3B. 6C.233D.2638．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为245，则此双曲线方程是( )A.x 212－y 24＝1 B ．－x 212＋y 24＝1 C.x 24－y 212＝1 D ．－x 24＋y 212＝1 9．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”；②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题；③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”；④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c ) (a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c )11．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.10312．已知命题P ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ；命题Q ：函数y ＝－(5－2a )x是R 上的减函数．若P 或Q 为真命题，P 且Q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a <2C ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．14．一动圆圆心在抛物线x 2＝8y 上，且动圆恒与直线y ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．15．已知F 1、F 2是椭圆C x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.16．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________________________________________________________________________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：x 2－12x ＋20<0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0 (a >0)．若綈q 是綈p 的充分条件，求a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f (x )＝0的一个根为2.(1)求c 的值； (2)求证：f (1)≥2.19.(12分) 如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一个定点，动弦ME 、MF 分别与x 轴交于不同的点A 、B ，且|MA |＝|MB |.证明：直线EF 的斜率为定值．20．(12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立，命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．21.(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．22.（12分）如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2=－2py （p>0）交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．答案1．B 2．D3．C4．C5．D 6．D 7．C8．B 9．B 10．A11．A 12．C 13.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 14．(0,2) 15．317．解 p ：{x |2<x <10}，q ：{x |x <1－a ，或x >1＋a }． 由綈q ⇒綈p ，得p ⇒q ， 于是1＋a <2，∴0<a <1.18．(1)解 ∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在[0,2]上是减函数，∴f ′(0)＝0.∵f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∴f ′(0)＝c ＝0. ∴c ＝0.(2)证明 ∵f (2)＝0，∴8＋4b ＋2c ＋d ＝0， 而c ＝0，∴d ＝－4(b ＋2)．∵方程f ′(x )＝3x 2＋2bx ＝0的两个根分别为x 1＝0，x 2＝－23b ，且f (x )在[0,2]上是减函数，∴x 2＝－23b ≥2，∴b ≤－3.∴f (1)＝b ＋d ＋1＝b －4(b ＋2)＋1 ＝－7－3b ≥－7＋9＝2. 故f (1)≥2.19．证明 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，则直线MF 的斜率为－k ，直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k x －y 20y 2＝x得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.于是y 0·y E ＝y 01－ky 0k.所以y E ＝1－ky 0k .同理可得y F ＝1＋ky 0－k .∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝y E －y Fy 2E －y 2F＝1y E ＋y F ＝－12y 0(定值)． 20．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，则有3－2a >1，即a <1. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2. ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2}． 21．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x2，∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1， 即1＋ln x x<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.22．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为 OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2. 所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大， y ′＝－x ，所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×－2－－2－2|22＋－12＝45＝455， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·－42－4×－4＝410.∴△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.。
高中数学选修1-1综合测试题及答案
高中数学选修1-1综合测试题及答案选修1-1模拟测试题一、选择题1.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有（）A。
p真q真B。
p假q假C。
p真q假D。
p假q真2.“cos2α=－35π/21”是“α=kπ+π/2,k∈Z”的（）A。
必要不充分条件B。
充分不必要条件C。
充分必要条件D。
既不充分又不必要条件3.设f(x)=sinx+cosx，那么(。
)A。
f'(x)=cosx-sinxB。
f'(x)=cosx+sinxC。
f'(x)=-cosx+sinxD。
f'(x)=-cosx-sinx4.曲线f(x)=x^3+x－2在点P处的切线平行于直线y=4x－1，则点P的坐标为（）A。
(1,0)B。
(2,8)C。
(1,0)和(-1,-4)D。
(2,8)和(-1,-4)5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足|PA|+|PB|=6，则|PA|的取值范围是A。
[1,4]B。
[1,6]C。
[2,6]D。
[2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x^2－λy^2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为（）A。
2B。
3C。
5D。
无法确定7.抛物线y^2=2px的准线与对称轴相交于点S，PQ为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦，则∠PSQ的大小是（）A。
π/3B。
2π/3C。
3π/2D。
与p的大小有关8.已知命题p：“|x－2|≥2”，命题“q:x∈Z”，如果“p且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x为（）A。
{x|x≥3或x≤－1,x∈Z}B。
{x|－1≤x≤3,x∈Z}C。
{-1,0,1,2,3}D。
{1,2,3}9.函数f(x)=x^3+ax－2在区间(1,+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是（）A。
[3,+∞]B。
[-3,+∞]C。
(-3,+∞)D。
(-∞,-3)10.若△ABC中A为动点，B、C为定点，B(-a1,0)，C(a2,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA，则动点A的轨迹方程是（）A。
高中数学选修1-1考试题及答案
高中数学选修1-1考试题一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A ，B ，C ，D 四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分。
）1．抛物线24yx 的焦点坐标是A ．(0,1)B ．(1,0)C ．1(0,)16D ．1(,0)162．设,aR 则1a是11a的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．命题“若220ab，则,a b 都为零”的逆否命题是A ．若220a b ，则,a b 都不为零B ．若220ab，则,a b 不都为零C ．若,a b 都不为零，则220abD ．若,a b 不都为零，则22a b4．曲线32153yxx在1x 处的切线的倾斜角为A ．34B ．3C ．4D ．65．一动圆P 与圆22:(1)1A x y外切，而与圆22:(1)64B x y内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．双曲线的一支6．函数()ln f x x x 的单调递增区间是A ．(,1)B ．(0,1)C ．(0,)D ．(1,)21世纪教育网7．已知1F 、2F 分别是椭圆22143xy的左、右焦点，点M 在椭圆上且2MF x轴，则1||MF 等于21世纪教育网A ．12B ．32C ．52D ．38．函数2()xf x x e 在[1,3]上的最大值为A ．1B ．1eC ．24eD ．39e9. 设双曲线12222by ax 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.45 B. 5C.25 D.510. 设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)yax a的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24yx B.28yx C.24yx D.28y x11. 已知直线1:4360l x y 和直线2:1l x，抛物线24y x 上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A.2B.3C. 4D. 112. 已知函数()f x 在R 上可导，且2'()2(2)f x xxf ，则(1)f 与(1)f 的大小(1)(1)(1)(1)(1)(1).Af f Bf f Cf f D不确定二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卷上）13．已知命题:,sin 1p x R x ，则p 为________。
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D． 1
(
)
D． y 2
D． y 9 x 4
5
A．
B． 5
15
C．
D．10
2
2
13．若抛物线 y2 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ，则点 P 的坐标为（ ）。
A． (7, 14) B． (14, 14) C． (7, 2 14) D． (7, 2 14) 14．函数 y = x3 + x 的递增区间是（ ）
(1) 求 a 、 b 的值；(2)求 f (x) 的单调区间.
18(本小题满分 10 分) 求下列各曲线的标准方程
2
(1)实轴长为 12，离心率为 ，焦点在 x 轴上的椭圆；
3
(2)抛物线的焦点是双曲线16x 2 9 y 2 144 的左顶点.
19．设 F1, F2 是双曲线
x2 9
y2 16
P(3, 7 ) 在双曲线 C 上.
(1)求双曲线 C 的方程； (2)记 O 为坐标原点，过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，若△
OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程.
参考答案
一．选择题(本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分)
1-6 BBCDBD 7-12 ACABCB
1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且 F1PF2
600 ，
求△ F1PF2 的面积。
20.已知函数 y ax3 bx 2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ； （1）求 a, b 的值；（2）求函数 y 的极小值。
21．已知函数 f (x) x3 ax2 bx c 在 x 2 与 x 1 时都取得极值 3
A． (0,)
(完整word版)高中数学选修1-1综合测试题及答案(word文档良心出品)
、选择题1. 若p 、q 是两个简单命题，“ p 或q ”的否定是真命题，则必有( )A.p 真q 真B.p 假q 假C.p 真q 假D.p 假q 真 2. “ COS2a 二—三”是“ a =k n +—,k € Z ”的()212A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条 件3. 设 f (x) = sin x cosx ，那么()A. f (x)二 cosx 「sin x B . f (x) = cosx sin x C . f (x)二-cosx sin xD. f (x)二-cosx 「sin x4. 曲线f(x)=x 3+x — 2在点P o 处的切线平行于直线y=4x — 1,则点P 。
的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(—1, — 4)D.(2,8 )和(—1, — 4)5•平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6则|PA 的取值范围是 A. [ 1,4] B. [ 1,6]C. [2,6]D. [2,4]6.已知2x+y=0是双曲线x 2—入y 2=1的一条渐近线，则双曲线的离心率为( )选修1-1模拟测试题A.、2B.、3C. .5D.27.抛物线y 2=2px的准线与对称轴相交于点 则/ PSQ 的大小S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦，2 2 2 2C. 略 一16y r=1的左支(y 工0)D. 警 一16占=1的右支(y 工0)a 3aa 3a2T[11设a>O,f(x)=ax +bx+c,曲线y=f(x)在点P(x o ,f(x o ))处切线的倾斜角的取值范围为]0,— ]，则P 4 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( ) 11 b b _ 1A. [0, — ]B. [0, — ]C. [0,1—|]D. [0,|- -|]a2a2a2a2 212. 已知双曲线 笃—爲=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上 且 a b|PF 1|=4|Pb|则此双曲线的离心率e 的最大值为( )5 47A.B.—C.2D.—333二、填空题13. 对命题 p : V X €R,X 7+7X >0，则 是 ______________ . 14. 函数f(x)=x+ •. 1 - x 的单调减区间为2 115抛物线y=1x关于直线x -y =0对称的抛物线的焦点坐标是22916椭圆—+ ^=1上有3个不同的点A(X 1,y 1)、B(4, —)、C(X 3,y 3)，它们与点F(4,0)的距离成等25 9 4 差数列，则X 1+X 3= ______ . 三、解答题17. 已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y= — 12x,且f(1)= — 12. (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[—3,1]上的最值.TtA.- 38.已知命题p: 条件的x 为(JIB.-2“|x — 2|>D.与p的大C.3 ，命题“ q:x € Z ”，如果“ p 且q ”与“非q ”同时为假命题，B.{x| — K x < 3,x Z} C.{ — 1,0,1,2,3}A.{x|x > 3 或 x < — 1,x - Z} 9.函数f(x)=x 3+ax — 2在区间(1,+g )内是增函数，则实数a 的取值范围是( D.{1,2,3}B. [— 3,+g]C.(— 3,+g )D.( — g ，— 3)aa1A. [ 3,+7点A 的轨迹方程是(A. 16x 2 T~ a16y 23a 2=1(y 工 0)2 2 B 16y , 16y B.2+小 2a 3a=1(x 工 0)18. 设P:关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax2—x+a)的定义域为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求a的取值范围.219. 已知x € R,求证:cosx> 1 ——.220. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q =8300 -170P-P2.问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出).21. 已知a€ R,求函数f(x)=x2e ax的单调区间.22. 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0, 2)为圆心,1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. ⑴求双曲线C 的方程；⑵若Q 是双曲线C 上的任一点，F i 、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点，从F i 引/ F 1QF 2的平分 线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程. 1. B p 或q”的否定是“一p 且一i q ”, 一1 P 、一2 q 是真命题,p 、q 都是假命题.=2,•入=4.A e=J ：2「1 3 = 67. B 由|SF|=|PF|=|QF 知△ PSQ 为直角三角形. 8. D “p 且q ”与“非q ”同时为假命题则p 假q 真.9. B f ' (x)=3x 2+a,令 3x 2+a>0,A a>— 3x 2 :x € (1,+^)〕.A a > — 3.110. D 由正弦定理知c — b=-a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).211.B T f ' (x)=2ax+b, A k=2ax o +b €[ 0,1],A d=|X0 --- | = 12ax 0 + b | = k1 A 0< d<2a 2a 2a 2a102c12.A e==IF 1F 2IIPF 1 | ■ | PF 2 」=3a =5 2a |PR| -|PF 2|IPF 1I - |PF 2I 2a 3 13. -，x R,x 77x ^0 ； 14. [-,1]； 15.1(0, ); 16. 8.41613.这是一个全称命题，其否定是存在性命题14.定义域为{x|x < 1},f ' (x)=1+— =厶1 x 1<o, $1 _x < 1, 得 x> -.2』1 -x 2^1-x 242 111 316 16参考答案:2.A 由“a =k n + —“C0S2a =COS 53” 6，又“ COS2 a =—工3 ” 二 “a=k3. 5.D6.C“C0S2a =- —”是“ a2(x o )=3x o +1=4,二 x o = ± 1.•••|PA|+|PB|=6>2「P 点的轨迹为一椭圆，二 3- 1W |PA|W 3+1.x 2-入y2=1的渐近线方程为y=±护,4 4 9 416. t |AF|=a — ex i =5- x i ,|BF|=5—X 4=—CF|=5— X 3,55 5 59 4 4 由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,「.2X 9 =5— 4x i +5— 4X 3.二x i + X 3=8.55517. 解:(1) ■/ f ' (x)=12x +2ax+b,而 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y= — 12x,23 (2)v f ' (x)=12x 4— 6x — 18=6(x+1)(2x — 3), 令 f ' (x)=0,解得临界点为 X 1= — 1,X 2=. 2那么f(x)的增减性及极值如下•••临界点 X 1=— 1 属于［—3,1］，且 f( — 1)=16,又 f( — 3)= — 76,f(1)= — 12, •••函数f(x)在[—3,1]上的最大值为16,最小值为一76.18. 解:使 P 正确的a 的取值范围是0<a<1,而Q 正确=ax 2 — x+a 对一切实数x 恒大于0. 2a a 0 1当a=0时,ax — x+a= — x 不能对一切实数恒大于 0,故Q 正确u 」 2 二a>—.A = 1 - 4 a 2 < 0 21 若P 正确而Q 不正确，则0<a < -;若Q 正确而P 不正确，则a > 1.21 故所求的a 的取值范围是(0, - ]U[ 1,+x ). 2x 219.证明：令 f(x)=cosx — 1+ ，则 f ' (x)=x — sinx ,当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有 x>sinx, ••• f ' (x)>0,即f(x)在(0,+)上是增函数. 又••• f(0)=0,且f(x)连续，• f(x)在区间［0,+x ］内的最小值f(0)=0,4• f(x)为偶函数，即当x € (— X ,0)时,f (x) > 0仍成立，•对任意的x €R,都有cosx > 1——.220. 解：由题意知 L(P)二 Pb-20Q 二Q(P-20)= (8300 -170P -P 2)(P -20) - -P 3 -150P 2 11700P -166000 , L (P) - -3P 2 -300P 11700 .令 L(P) =0 ,得 P =30或 P = -130 (舍).X = —12=f (1)丿nf (1) = _12 12+2a+b = -12g+a+b+5 = —12a=— 3,b=— 18,故 f(x)=4x 3 — 3x 2— 18x+5.即f(x) > 0,得cosx— 1 + —> 0,即cosx> 1—— . v f( —x)=cos(—X) —1+(X)=f(x),2 2 2根据实际意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元. 21. 解：函数 f(x)的导数 f ' (x)=2xe ax +ax 5e a x =(2x+ax 2)e ax . ① 当 a=0 时,若 x<0,则 f ' (x)<0,若 x>0,则 f ' (x)>0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(一％ ,0)内为减函数，在区间(0,+x )内为增函数.2 2 2 2② ----------------------------------------------------------------------------------------- 当 a>0 时,由 2x+ax >0,解得 x<— 或 x>0，由 2x+ax <0,解得 -------------------------------- <x<0，aa 所以当a>0时,函数f(x)在区间(一x , — 2)内为增函数，在区间(一 —,0)内为减函数，在区间(0,+x ) aa内为增函数.③ 当 a<0 时,由 2x+ax 2>0,解得 0<x< ——,由 2x+ax 2<0,解得 x<0 或 x> ——.aa2 2 所以当a<0时函数f(x)在区间(一x ,0)内为减函数，在区间(0, —-)内为增函数，在区间(一—,+aax )内为减函数.22. 解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx — y=0，5 2•••双曲线C 的两条渐近线方程为y=± x ，故设双曲线C 的方程为 笃—告=1.a a又双曲线C 的一个焦点为(.2,0),二2a 2=2,ci 2=1.A 双曲线C 的方程为x 2— y 2=1. ⑵若Q 在双曲线的右支上，则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|. 若Q 在双曲线的左支上，则在QF 2上取一点T,使 |QT|=|QF 1|.根据双曲线的定义|TF 2|=2所以点T 在以F2C- 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上，即点T 的轨迹方程 是(x — 2 )2+y 2=4(y 工 0).①由于点N 是线段F 1T 的中点，设N(x,y)、T(X T ,y T ),x _XT_ 血「_则r 2'即」X T =2X +、2代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1(y 工0).1、，_比M =2y.•••该直线与圆x 2+(y — . 2)2=1 相切，二 21 k2 =1, 即 卩 k=±1.15. y2= —x的焦点F( ,0),F关于x—y=0的对称点为(0,).。
高中数学选修1-1全册习题(答案详解)
目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组] 第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。
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选修1-1模拟测试题一、选择题1. 若p 、q 是两个简单命题,“p 或q ”的否定是真命题,则必有（ ） A.p 真q 真B.p 假q 假C.p 真q 假D.p 假q 真2.“cos2α=－23”是“α=k π+215π,k ∈Z ”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件3. 设x x x f cos sin )(+=，那么( ) A ．x x x f sin cos )(-=' B ．xx x f sin cos )(+=' C ．xx x f sin cos )(+-='D ．x x x f sin cos )(--='4.曲线f(x)=x 3+x －2在点P 0处的切线平行于直线y=4x －1,则点P 0的坐标为（ ） A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(－1,－4)D.(2,8)和(－1,－4)5.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是 A.［1,4］B.［1,6］C.［2,6］D.［2,4］6.已知2x+y=0是双曲线x 2－λy 2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率为（ ） A.2B.3C.5D.27.抛物线y 2=2px 的准线与对称轴相交于点S,PQ 为过抛物线的焦点F 且垂直于对称轴的弦, 则∠PSQ 的大小是（ ） A.3πB.2π C.3π2 D.与p 的大小有关8.已知命题p: “|x －2|≥2”,命题“q:x ∈Z ”,如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的x 为（ ） A.{x|x ≥3或x ≤－1,x ∉Z}B.{x|－1≤x ≤3,x ∉Z}C.{－1,0,1,2,3}D.{1,2,3}9.函数f(x)=x 3+ax －2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a 的取值范围是（ B ） A.［3,+∞］B.［－3,+∞］C.(－3,+∞)D.(－∞,－3)10.若△ABC 中A 为动点,B 、C 为定点,B(－2a ,0),C(2a ,0),且满足条件sinC －sinB=21sinA,则动点A 的轨迹方程是（ ）A.2216ax －22316a y =1(y ≠0)B.2216a y +22316a y =1(x ≠0)C. 2216ax －22316a y =1的左支(y ≠0)D. 2216ax －22316a y =1的右支(y ≠0) 11.设a>0,f(x)=ax 2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的倾斜角的取值范围为［0,4π］,则P 到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为（ ）A.［0,a1］B.［0,a 21］ C.［0,|ab 2|］ D.［0,|ab 21-|］ 12.已知双曲线22a x －22by =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为（ ）A.35B.34C.2D.37 二、填空题13. 对命题p ：7,70x x R x ∀∈+>，则p ⌝是______. 14.函数f(x)=x+x -1的单调减区间为__________. 15.抛物线y 2=41x 关于直线x －y=0对称的抛物线的焦点坐标是__________. 16.椭圆252x +92y =1上有3个不同的点A(x 1,y 1)、B(4,49)、C(x 3,y 3),它们与点F(4,0)的距离成等差数列,则x 1+x 3=__________. 三、解答题17.已知函数f(x)=4x 3+ax 2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x,且f(1)=－12. (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在［－3,1］上的最值.18.设P:关于x 的不等式a x >1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax 2－x+a)的定义域为R.如果P 和Q 有且仅有一个正确,求a 的取值范围.19.已知x ∈R,求证:cosx ≥1－22x .20. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q （单位：件）与零售价P （单位：元）有如下关系：28300170Q P P =--．问该商品零售价定为多少时毛利润L 最大，并求出最大毛利润（毛利润=销售收入-进货支出）． 21.已知a ∈R,求函数f(x)=x 2e ax 的单调区间.22.已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称. (1)求双曲线C 的方程；(2)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1、F 2为双曲线C 的左、右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N 的轨迹方程. 参考答案：1. B “p 或q ”的否定是“p 且q ”,∴p 、q 是真命题,p 、q 都是假命题.2.A 由“α=k π+12π5,k ∈Z ”⇒“cos2α=cos 6π5=－23”,又“cos2α=－23”⇒“α=kπ±12π5,k ∈Z ”, ∴“cos2α=－23”是“α=k π+12π5,k ∈Z ”的必要不充分条件.3. 4.C f ′(x 0)=3x 02+1=4,∴x 0=±1. 5.D ∵|PA|+|PB|=6>2,∴P 点的轨迹为一椭圆，∴3－1≤|PA|≤3+1. 6.C x 2－λy 2=1的渐近线方程为y=±λ1x,∴λ1=2.∴λ=41.∴e=221a b +=41+=5.7.B 由|SF|=|PF|=|QF|,知△PSQ 为直角三角形. 8.D “p 且q ”与“非q ”同时为假命题则p 假q 真.9.B f ′(x)=3x 2+a,令3x 2+a>0,∴a>－3x 2〔x ∈(1,+∞)〕.∴a ≥－3.10.D 由正弦定理知c －b=21a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).11.B ∵f ′(x)=2ax+b,∴k=2ax 0+b ∈［0,1］， ∴d=|x 0+ab 2|=a b ax 2|2|0+=a k 2.∴0≤d ≤a 21.12.A e=a c 22=||||||2121PF PF F F -≤||||||||2121PF PF PF PF -+=a a2310=35.13. 7,70x x R x ∃∈+≤；14. ［43,1］；15. (0, 161)；16. 8. 13.这是一个全称命题，其否定是存在性命题. 14.定义域为{x|x ≤1},f ′(x)=1+x --121=xx ---12112<0,x -1≤21, 得x ≥43.15. y 2=41x 的焦点F(161,0),F 关于x －y=0的对称点为(0, 161).16.∵|AF|=a －ex 1=5－54x 1,|BF|=5－54×4=59,|CF|=5－54x 3,由题知2|BF|=|AF|+|CF|,∴2×59=5－54x 1+5－54x 3.∴x 1+x 3=8.17.解:(1)∵f ′(x)=12x 2+2ax+b,而y=f(x)在x=1处的切线方程为y=－12x,∴⎩⎨⎧-='=-=12)1()1(12f f k ⇒⎩⎨⎧-=+++-=++125412212b a b a ⇒a=－3,b=－18，故f(x)=4x 3－3x 2－18x+5. (2)∵f ′(x)=12x 2－6x －18=6(x+1)(2x －3)，令f ′(x)=0,解得临界点为x 1=－1,x 2=23.那么f(x)的增减性及极值如下:∵临界点x 1=－1属于［－3,1］,且f(－1)=16，又f(－3)=－76,f(1)=－12, ∴函数f(x)在［－3,1］上的最大值为16,最小值为－76.18.解:使P 正确的a 的取值范围是0<a<1,而Q 正确⇔ax 2－x+a 对一切实数x 恒大于0.当a=0时,ax 2－x+a=－x 不能对一切实数恒大于0,故Q 正确⇔⎩⎨⎧<4-1=∆>002αa ⇔a>21. 若P 正确而Q 不正确,则0<a ≤21；若Q 正确而P 不正确,则a ≥1. 故所求的a 的取值范围是(0,21］∪［1,+∞). 19.证明:令f(x)=cosx －1+22x ,则f ′(x)=x －sinx ，当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有x>sinx,∴f ′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数. 又∵f(0)=0,且f(x)连续,∴f(x)在区间［0,+∞］内的最小值 f(0)=0,即f(x)≥0,得cosx －1+22x ≥0,即cosx ≥1－22x .∵f(－x)=cos(－x)－1+2)(2x -=f(x),∴f(x)为偶函数,即当x ∈(－∞,0)时,f(x)≥0仍成立，∴对任意的x ∈R,都有cosx ≥1－22x .20. 解：由题意知()20(20)L P P Q Q Q P =-=-232(8300170)(20)15011700166000P P P P P P =---=--+-， 2()330011700L P P P '∴=--+．令()0L P '=，得30P =或130P =-（舍）．此时(30)23000L =．因为在30P =附近的左侧()0L P '>，右侧()0L P '<，(30)L ∴是极大值． 根据实际意义知，(30)L 是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元． 21.解:函数f(x)的导数f ′(x)=2xe ax +ax 2e ax =(2x+ax 2)e ax . ①当a=0时,若x<0,则f ′(x)<0,若x>0,则f ′(x)>0.所以当a=0时,函数f(x)在区间(－∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.②当a>0时,由2x+ax 2>0,解得x<－a 2或x>0，由2x+ax 2<0,解得－a 2<x<0，所以当a>0时,函数f(x)在区间(－∞,－a 2)内为增函数,在区间(－a2,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.③当a<0时,由2x+ax 2>0,解得0<x<－a 2,由2x+ax 2<0,解得x<0或x>－a2. 所以当a<0时,函数f(x)在区间(－∞,0)内为减函数,在区间(0,－a 2)内为增函数,在区间 (－a2,+∞)内为减函数.22．解:(1)设双曲线C 的渐近线方程为y=kx,即kx －y=0， ∵该直线与圆x 2+(y －2)2=1相切,∴212k+=1,即k=±1.∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ，故设双曲线C 的方程为22ax －22a y =1.又双曲线C 的一个焦点为(2,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2－y 2=1. (2)若Q 在双曲线的右支上,则延长QF 2到T,使|QT|=|QF 1|. 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T,使|QT|=|QF 1|.根据双曲线的定义|TF 2|=2,所以点T 在以F 2(2,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x －2)2+y 2=4(y ≠0).①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N(x,y)、T(x T ,y T ),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,2,22T T y y x x 即⎩⎨⎧=+=.2,22y y x x T T 代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1(y ≠0).。