分式的化简经典练习题

分式的化简

一、比例的性质：

⑴ 比例的基本性质：

a c

ad bc b d

=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ⎧=⎪⎪

⎪=⇒=⎨⎪

⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d

b d a c

=⇒=

⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd

b d b d

±±=⇒=

（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a

b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠）

二、基本运算

分式的乘法：a c a c

b d b d

⋅⋅=⋅

分式的除法：a c a d a d

b d b

c b c ⋅÷=⨯=⋅

乘方：()n n

n n n a a a

a a a

a a

b b b

b b b

b b

⋅=⋅

=⋅个

个

n 个

＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：

⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)

知识点睛

中考要求

⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1

n n a a

-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

a b a b

c c c

+±=

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

一、分式的化简求值

【例1】 先化简再求值：2

11

1x x x

---，其中2x =

【例2】 已知：22

21()111

a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =

【例3】 先化简，再求值：

22144

(1)1a a a a a -+-÷

--，其中1a =-

【例4】 先化简，再求值：

22

91333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭

其中1

3x =.

例题精讲

【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11

x x x -÷+-+-，其中x =

【例6】 先化简，后求值：22121

(1)24

x x x x -++÷

--，其中5x =-．

【例7】 先化简，再求值：532224x x x x -⎛

⎫--÷

⎪++⎝⎭

，其中3x ．

【例8】 先化简，再计算：231124a a a +⎛

⎫+÷

⎪--⎝

⎭，其中3a =．

【例9】 当1

2x =-时，求代数式2222

6124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭

的值

【例10】 先化简分式22

222936931

a a a a a a a a a ---÷-

+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．

【例11】 先化简：22222a b ab b a a ab a ⎛⎫

-+÷+ ⎪-⎝⎭

，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入

求值．

【例12】 已知212242

x

A B C x x x =

==

--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ．

【例13】 先化简，再求值:

2

24125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =

【例14】 已知20102009x y ==，，求代数式22xy y x y

x x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭

÷的值．

【例15】 已知22a b ==，试求a b

b a

-的值．

【例16】 先化简，再求值：

()()

x y

y x y x x y -++，其中11x y =，．

【例17】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪

+⎝⎭ab a b

÷+.其中1a =, b =.

【例18】 先化简，再求值：22

112b a b a b a ab b

⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b =+=

【例19】 先化简，再求值：222

11x y

x y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭

，其中11x y =，

【例20】 求代数式()()2

2

2

2222222

2a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，2

3

c =-