MATLAB在非线性曲线拟合中的应用研究

MATLAB 在非线性曲线拟合中的应用小结

摘要：归纳总结了非线性曲线拟合的方法、求解步骤和上机操作过程 关键词:曲线拟合非线性MAT ＬAB

正文：

1.曲线拟合的基本原理

已知一组测定的数据（例如Ｎ个点（ｘi,yi ）去求得自变量ｘ和因变量y 的一个近似解析表达式y=φ（ｘ）。若记误差δｉ=φ(ｘi ）-yi ，i=1，２，…N ,则要使误差的平方和最小,即要求:

∑==N

i i

Q 12δ

为最小，这就是常用的最小二乘法原理。 ２ .MATLAB 曲线拟合的相关方法 2．1.函数形式：

(1)多项式拟合函数po ｌy ｆｉt ,调用格式为： p ＝polyfit （x ，y,n ）

其中x ，y 为参与曲线拟合的实验数据,ｎ为拟合多项式的次数,函数返回值为拟合多项式的系数(按降幂排列)。n ＝1时,就为线性拟合。

例1:给出表１数据，试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。

表1 数据

在M ＡT ＬAB 命令窗口中输入: cle ａr ； cl ｏs ｅ; x=-1:0.25：1;

y=[-0.2209,０.3２95，０.8826,１.4392,2.0０03,２.５645,３．1３34,3.7０61,4．2836] p1＝p ｏｌyfit(x,y ，1) p2＝po ｌyf ｉt(x,y,2) y １=polyva ｌ(p １,x)； y ２=p ｏly ｖal(p2,ｘ）;

pl ｏt(ｘ,y,'+',x,ｙ1,'ｒ:'，x ，y ２，＇k-.＇)

运行结果：

拟合多项式为:y*=2．0516+2.0１3１和y ＊=0.０３13ｘ２＋2.25１6x ＋2．20001 （2）非线性数据拟合函数lsq ｃu ｒvefit 调用格式为： c=ls ｑcur ｖefi （t ＇f ｕｎ',x0，xdata,yd ａta ）

其中'ｆun'为拟合函数的Ｍ-函数文件名,ｘ0为初始向量,x ｄata ，ydat ａ为参与曲线拟合的实验数据。函数返回值ｃ为非线性函数fun 的拟合系数。

例２：２004年全国大学生数学建模竞赛C 题(酒后驾车）中给出某人在短时间内喝下两瓶啤酒后，间隔一定的时间测量他的血液中酒精含量y （毫克/百毫升)，得到数据如表2。

表2 酒精含量与饮酒时间的实验数据

通过建立微分方程模型得到短时间内喝酒后血液中 酒精浓度与时间的关系为：

)(321t c t c e e c y ---= （2)

根据实验数据,利用非线性拟合函数ls ｑｃurve ｆit ,确定模型(2)式中的参数c １，c ２,ｃ3。求解过程为:

先编写一个M -函数文件Example2_1: ｆun ｃｔion f=Ex ａmple2_１(c,td ａta)

f ＝c(1）*(ex ｐ(-c(２)*t ｄａｔａ)－exp （-c(3)*t ｄa ｔa ）); 保存后,在命令窗口中输入: clea ｒ

tdata=［０.25 0.5 0.75 1 1.5 ２ ２.5 ３ 3．5 4 4.5 ５ 6 7 8 ９ 10 11 12 13 14 15 16];

时间(小时） 0.25 ０．5 0.75 １ 1.5 2 ２．5 3 3.5 4 ４.5

5

酒精含量

3０

68 7５ 82 82 77 ６8 68 58 51 ５０ 4１ 时间(小时） 6 7 8 9

１

16 酒精含量

38

35

2８

２5 1８ １5 1２ 1０ 7

7

4

y ｄa ｔa=[３０ 68 75 82 8２ ７７ 68 68 58 51 ５０ 41 38 35 ２８ 2５ 8 1５ 12 １0 7 7 ４］； c0=［1 1 1]; fo ｒ ｉ=１:50；

c ＝lsqcurvefit('Exampl ｅ２＿1',c0,tdata,ydata); c0=c; ｅnd

得到最优解为:c= 117.０5,０.1930，1.954６ 从而得出拟合曲线：

)(05.1179546.11930.0t t e e y -=

2.２.图形窗口形式

（1）利用多项式拟合的交互图命令(G ＵI )polytool ,调用格式为：polytoo （lx,y ）

其中x,y 分别为实验数据构成的向量,例如利用p ｏｌｙｔｏo ｌ求解例1的MATLAB 命令如下： x=-１：０.２5:1

y=[－0.2209，0．３29５,0.8826,１.4392,2.0０0３,2.564５,3．１334,3.7061，4．２836］; po ｌy ｔool(ｘ,ｙ)

打开多项式拟合的交互式界面,由于要拟合的函数为线性函数，因此在多项式拟合交互式界面中的Degre ｅ中输入1,点击导出数据Expor ｔ,出现保存对话框Ｅxport ｔoWor ｋs ｐａce ，选中P ａr ａme ｔers (参数),R ｅsidua ｌs (残差)后点击O Ｋ，在MATL ＡB 的Wo ｒksp ａc ｅ窗口中可以看到参数为:２.251６和２.0１3１，即拟合函数为 Y*＝2.2516x+2．01３１。

同样如果拟合的函数为二次函数，则只要在Degree 中输入２，其它步骤相同,可得拟合函数为：

Y*=0.03１3x2+２.2516x ＋２．00０１

通过查看Res ｉｄual ｓ(残差)值,可以发现二次函数拟合的残差值比线性函数的要小一些,从拟合的效果看，可以选择二次函数作为拟合函数,但由于线性函数较简单，残差值也很小,从简单出发,也可选择线性函数作为拟合函数。 （2)基本拟合界面

ＭＡTLA Ｂ提供了一个方便简洁的拟合界面。具有拟合快速和操作简便的优势,只能拟合多项式。例如用基本拟合界面求解例1的过程如下: clear; close;

x ＝-1:０．25:1;

y=[－０.2209,0.3２９5,0．8826,１.4392,２．0０03,2.5645,３.1３34，3.706１，4.2836];