人教版初中数学第十八章平行四边形知识点汇编
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第十八章平行四边形
18.1 平行四边形
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“□”表示，读作“平行四边形”.平行四边形ABCD记作“□ABCD”.
18.1.1 平行四边形的性质
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
例、已知：□ABCD求证：AD=BC，AB=DC；∠A=∠C，∠B=∠D.
AD CD AD BC
证明：连接AC，//,//
∴∠=∠∠=∠
12,34
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴△ABC≌△CDA，
AD CB AB CD B D
∴==∠=∠
,,
平行四边形性质1：平行四边形的两组对边分别相等.
平行四边形性质2：平行四边形的两组对角分别相等.
例、已知：如图：□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴OA=OC，OB=OD.
平行线之间的距离定义：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
平行线之间的距离特征1：平行线之间的距离处处相等.
平行线之间的距离特征2：夹在两条平行线之间的平行线段相等.
平行四边形性质3：平行四边形的两条对角线互相平分.
例、如图，□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO=CO=
2
1
AC ，OB=OD ． ∵BD ⊥AB ，∴在Rt △A BO 中，AB=12cm ，AO=13cm ． ∴BO=522=-AB AO ．∴BD=2B0=10cm ． ∴在Rt △ABD 中，AB=12cm ，BD=10cm ． ∴AD=61222=+BD AB (cm)．
例、如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为25，AB=12，求对角线AC 与BD 的和. 解：∵△AOB 的周长为25， ∴OA+BO+AB=25，
又AB=12，∴AO+OB=25-12=13，
∵平行四边形的对角线互相平分，∴AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
18.1.2 平行四边形的判定
平行四边形判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 平行四边形判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形判定4：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行四边形判定5：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 例、 如图，在□ABCD 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE=CF ，连结
CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD//BC ，
∵点E 在AD 上，点F 在BC 上， ∴AE//CF ，
又∵AE=CF ，
∴四边形AFCE 是平行四边形.
例、如图，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE ． 求证：（1）△AFD ≌△CEB ． （2）四边形ABCD 是平行四边形．
解：（1）∵DF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CEB ． 又∵AF=CE ， DF=BE ， ∴△AFD ≌△CEB ．
（2）由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF ＝∠BCE ， ∴AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．
例、如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 为边AD 、BC 上的点，且AE=CF ，连结AF 、EC 、BE 、DF 交于M 、N ，试说明：MFNE 是平行四边形． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， AD ∥BC 又∵AE=CF ，∴ED=FB ，四边形AFCE 是平行四边形
∴AF ∥EC ．同理：BE ∥FD ．∴四边形MFNE 是平行四边形．
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
矩形定义1：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形定义2：有三个角是直角的四边形叫做矩形
矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是各边的垂直平分线. 矩形性质1：矩形的四个角都是直角. 矩形性质2：矩形的对角线相等且互相平分.
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 矩形判定2：有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形判定3：对角线相等的平行四边形是矩形.
例、如图，已知AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ，
求证：四边形BCED是矩形．
证明：在△ABD和△ACE中，
，，
==∠=∠
AB AC AD AE BAD CAE
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，又DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形.
在△ACD和△ABE中，
∵AC=AB，AB=AE，
∠=∠+∠=∠+∠=∠，
CAD CAB BAD CAB CAE BAE
∴△ADC≌△AEB
∴CD=BE
∴四边形BCED为矩形
18.2.2 菱形
菱形定义1：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形定义2：四条边都相等的四边形叫做菱形.
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是两条对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线. 菱形性质1：菱形的四条边都相等.
菱形性质2：菱形的对角线互相垂直平分.
菱形性质3：菱形的每一条对角线平分一组对角.
菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.
推广：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半.
菱形判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形判定2：四条边都相等的四边形是菱形.
菱形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形判定4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
18.2.3 正方形
正方形定义1：有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
正方形定义2：有一个角是直角的菱形叫做正方形.
正方形定义3：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.