6.1 离散系统状态空间描述的基本特性6.2 状态反馈控制律的极点配置...

x(k 1) Fx(k)
y(k) Cx(k)
(6-6)
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6.1.2 可观性
离散系统：
x(k 1) Fx(k)
y(k) Cx(k)
(6-6)
• 可观性定义：
– 对式(6-6)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT 内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。
y(0) Cx(Biblioteka Baidu)
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推导离散系统可控及可达应满足的条件
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
1. 可达性条件
利用迭代法
x(1) Fx(0) Gu(0) x(2) Fx(1) Gu(1) F 2 x(0) FGu(0) Gu(1)
为使 u(0),u(1),
N 1
x(N ) F N x(0) F N i1Gu(i) i 0
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6.3.2 全阶状态观测器设计
2. 现今值观测器
y(k 1) 预估 xˆ (k 1)
预测值 x(k 1) Fxˆ (k) Gu(k)
观测误差 y(k 1) Cx(k 1)
得修正值
xˆ(k 1) x(k 1) L y(k 1) Cx(k 1)
xˆ(k 1) Fxˆ(k) Gu(k) L{y(k 1) C Fxˆ(k) Gu(k)} 图6-12 现今值观测器
(2) 如果F 阵的模态收敛很慢，观测 值也不能很快收敛到的值，将影响观 测效果。
(3) 开环估计只利用了原系统的输入 信号，并没有利用原系统可测量的输 出信号。
状态估计： xˆ (k 1) Fxˆ(k) Gu(k)
估计误差： x x xˆ
估计误差状态方程： x(k 1) Fx(k)
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6.3.2 全阶状态观测器设计
F LCF xˆ(k) G LCGu(k) Ly(k 1)
L:nr
估计误差状态方程： x(k 1) [F LCF ]x(K ) (6-41)
• 观测器极点的配置由[F CF]的可观性决定。 • 分析表明，若[F C]可观，则[F CF]必定也可观。 • 选择反馈增益L亦可任意配置现今值观测器的极点。
对于采样系统，不加证明给出下述结论：
(1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控 及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根 λp、λq，下式应成立：
p
q
j 2 k
T
jks
k 1, 2,
– 若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可 控及可观的。
(2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是 可控及可观的。
可以采用系统模态可控及可观的表示方式。
3. 系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因 系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。
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6.1.4 采样系统可控可观性与采样 周期的关系
x(t) Ax(t) Bu(t)
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
连续对象： y(t) Cx(t)
采样对象： y(k) Cx(k)
单输入系统的极点配置方法)
1. 系数匹配法
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
状态反馈闭环系统特征方程 det[zI F GK ] 0
闭环系统期望特征根为:
zi i i 1, 2, , n
闭环系统期望特征方程： ac (z) (z 1)(z 2 ) (z n ) 0
对应系数相等，得n个代数方程
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现今值观测器与预测观测器比较
• 主要差别：
– 预测观测器利用陈旧的y(k) 测量值产生观测值
– 现今值观测器利用当前测量 值y(k+1)产生观测值，进 行计算控制作用。
• 由于ε≠0，故现今值观测器是
• 对于多输入系统，K阵是m×n维，如果只给出n个特征 值要求，K阵中有m×(n-1)个元素不能唯一确定，必须 附加其他条件，如使‖K‖最小，得到最小增益阵；给出 特征向量要求，使部分状态量解耦等。
• 事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极 点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、 最优控制等现代多变量控制方法设计。
u(k)
执行元件饱和
系统性能 。
实际要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性 。
(4)系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次 较高时，应依Ackermann公式，利用计算机求解。
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6.2.3 多输入系统的极点配置
• 对于n阶系统，最多需要配置n个极点。
• 单输入系统状态反馈增益K矩阵为1×n维，其中的n个元 素可以由n个闭环特征值要求唯一确定。
或 x(0) [F 1G F 2G F NG][u(0) u(1) u(N 1)]T
N=n
为使上述线性方 程组有解，必须
rankWC n
可控阵 WC [F 1G F 2G
F NG]
系统状态完 全可控的充 分必要条件
若F 是可逆的，则 rankWC rankWR n
可控性与可达性一致
由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆， 故采样系统的可达性与可控性一致。
• 可控性定义：
– 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在 有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期 望状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的（简称 是可控的）。
• 可达性定义：
– 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在 有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期 望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。
Lm ]
方法二 Ackermann公式计算法
可求得m个未知系数
Li , i 1, 2, , m
L O (F )WO1 0 0 1 T
(6-36)
其中：
系统可观阵
ao (F ) F m a1F m1 am I Wo [C CF
CF n1]T
观测器期望特征多项式： ao (z) z m a1z m1 am
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6.1 离散系统状态空间描述的基本特性 6.2 状态反馈控制律的极点配置设计 6.3 状态观测器设计 6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合） 6.5 控制系统最优二次型设计
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6.3.1 系统状态的开环估计
图6-10 开环估计器结构图
(1) 如果原系统是不稳定的，那么观 测误差将随着时间的增加而发散；
取线性反馈控制
u(k) Kx(k) Lr(k) L : m p
图6-7 状态反馈控制系统结构图
令 L I ，得闭环系统状态方程
x(k 1) F GK x(k) Gr(k)
y(k) C DK x(k) Dr(k)
(6-14)
根据(6-14)有结论：
(1) 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改 变。通过选择状态反馈增益K，可以改变系统的稳定性。
x(N ) F N x(0) [F N 1G F N 2G
u(0)
G] u(1)
u(N 1)
(6-3)
,u(N 1) 唯一存在，应满足下述充分必要条件：
（1）x是n维向量，所以(6-3)必须是n维线性方程，故N=n。 （2）必须满足：
rankWR rank[F N 1G F N -2G G]=n
一般 x(0) 0 ，而设 xˆ(0) 0
(3)外干扰→有稳态误差
状态观测器极点配置的目的，使 x(k) 0
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计算观测器增益L
方法一：系数匹配法
x(k 1) [F LC]x(k)
观测器特征方程 期望特征方程：
det[zI F LC] 0
o (z） 0
对应系数相等，得m个代数方程
L [L1 L2
6.1 离散系统状态空间描述的基本特性 6.2 状态反馈控制律的极点配置设计 6.3 状态观测器设计 6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合） 6.5 控制系统最优二次型设计
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6.1.1 可控性与可达性
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
离散系统：
y(k) Cx(k) Du(k)
(6-1)
(2) 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如 开环系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。
(3) 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开 环系统是可控可观的，加入状态反馈控制，由于K的不同 选择，闭环系统可能失去可观性。
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根据(6-14)有结论：
(4) 状态反馈时闭环系统特征方程为 (z) det[zI FC ] det[zI F GK ] 0
– 要及时地求得状态的精确估计值，也就是要使观测误差能尽快地趋于零或 最小值。
• 从式(6-35)可见，合理地确定增益L矩阵，可以使观测器子系统的极 点位于给定的位置，加快观测误差的收敛速度。
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观测误差产生的原因
(1)构造观测器所用的模型参数与真实系统的参数 不可能完全一致。
(2)观测器与对象的初始状态很难一致。
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6.1.2 可观性
离散系统：
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
(6-1)
• 可观性定义：
– 对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有 限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系 统是可观的。
系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性 有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系 统的自由运动(6-6) ：
• 可见，状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根。 可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择K阵可以 任意配置闭环系统的特征根。
(5) 状态反馈与闭环系统零点的关系 状态反馈不能改变或配置系统的零点。
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6.2.2 单输入系统的极点配置
• 基本思想:
– 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然后依 据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。(本节主要讨论
依式(6-3)可得允许控制 [u(0) u(1) u(n 1)]T WR-1[x(N ) F N x(0)]
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推导离散系统可控及可达应满足的条件
2. 可控性条件
x(N ) F N x(0) [F N 1G F N 2G
u(0)
G] u(1)
u(N 1)
(6-3)
F N x(0) [F N1G F N2G G][u(0) u(1) u(N 1)]T
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6.1 离散系统状态空间描述的基本特性 6.2 状态反馈控制律的极点配置设计 6.3 状态观测器设计 6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合） 6.5 控制系统最优二次型设计
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6.2.1 状态反馈控制
x(k 1) Fx(k) Gu(k)
(6-12)
y(k) Cx(k) Du(k) r: p K :mn
K [K1 K2
Kn]
可求得n个未知系数
Ki , i 1, 2, , n
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单输入系统的极点配置
2. Ackermann公式
– 建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方法， 对于高阶系统，便于用计算机求解.
K 1 0
0 WC1ac (F)
其中 WC F n1G F n2G
FG G
ac (F ) F n a1F n1 an I
y(1) Cx(1) CFx(0)
y(k) CF k x(0)
y(0) C
y(1)
CF
x(0)
y(k
)
CF
k
(6-8)
已知 y(0), y(1), , y(k) ，为使x(0)有解，要求：
(1)式(6-8)代数方程组一定是n维的。
(2)令k=n-1，则应有 rankWO rank[C CF CF n1]T n
1. 预测观测器
预估
y(k)
xˆ (k 1)
闭环观测器方程
xˆ (k 1) Fxˆ (k) Gu(k) L y(k) Cxˆ(k) F LC xˆ (k) Gu(k) Ly(k)
估计误差状态方程：
x(k 1) [F LC]x(k) (6-35)
• 观测器设计的基本问题：
图6-11 闭环状态估计器 L : n r
其中可观阵 WO [C CF CF n1]T
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6.1.3 可控性及可观性某些问题的说明
1. 系统组成部份
S1:可控可观部分 S2:不可控及不可观部分 S3:可控不可观部分 S4:可观不可控部分。
图6-3 系统的分解
系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。
2.表示系统可控性及可观性的另一种方式
闭环系统期望特征方程：
ac (z) zn a1zn1 an
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3. 使用极点配置方法的注意问题
(1) 系统完全可控是求解该问题的充分必要条件。若系统有 不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。
(2) 实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转 化为z平面上的极点位置。
(3) 理论上，反馈增益 ，系统频带 ，快速性 。