博弈论-2009,贾志豪组合游戏略述浅谈SG游戏的若干拓展及变形
)
石家庄二中 贾志豪
到SG(G’ )+1 第15页
Cutting Edges游戏
- 更复杂的情况
G’2 G’1
2020/5/18
根节点
石家庄二中 贾志豪
G’T
第16页
Cutting Edges游戏
• 根据树结构的拓扑性 • 试着去对G图进行拆分
- 拆法一（一般树形结构拆法）
G’2 G’1
G’T
… G’1 G’2
Cutting Edges游戏
• 环的处理成为关键 • 惊人发现，
- 任何奇环的SG值为1 - 任何偶环的SG值为0
• 策略
- 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第26页
Say Goodbye
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第27页
Cutting Edges游戏
石家庄二中 贾志豪
第4页
Every-SG游戏
• 解决方法：
- 对于SG值为0的点，我们需要知道最少几步能将游戏带入终止 状态 ；
- 对于SG值不为0的点，我们需要知道最多几步游戏会被带入终 止状态 ；
- 以上两个值，我们都用step来表示
0
step(v) maxstep(u)1
min step(u) 1
怎么办？怎么办？？
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第3页
Every-SG游戏
• 贪心策略：
- 对于某一个单一游戏，如果当前是先手必胜局，那 么先手不会放弃游戏的胜利！！！
- 那么，游戏者需要做的，就是让自己可以取得胜利
的游戏尽可能长的玩下去，让自己不能取得胜利的 游戏尽可能短的玩下去！！！
2020/5/18
• 再次拓展
- 一个无相联通图，有一个点作为图的根。 - 游戏者轮流从图中删去边，删去一条边后，不与根节点相连
的部分将被移走。
• 怎么办？
好难！！！
好难！ 好难！！
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第28页
Cutting Edges游戏
• 考虑上题给出的提示
- 将环处理掉即可
• 时间原因，直接给出方法。
• 情况一：若去掉与根节点相连的边
中间节点
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
G图
根节点
第11页
Cutting Edges游戏
- 情况一：若去掉与根节点相连的边
G’
G’
中间节点
中间节点
根节点
2020/5/18
SG值为0
石家庄二中 贾志豪
根节点
第12页
Cutting Edges游戏
• 证明猜想（数学归纳法）
G’T
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪第17页ຫໍສະໝຸດ Cutting Edges游戏
• 试着去对G图进行拆分
- 拆法二（很大胆的尝试）
G’2 G’1
G’T
… G’1 G’2
G’T
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第18页
Cutting Edges游戏
• 完美在哪了？？？ • 哦。。。 • 对应NIM取石子模型！！！
- 以树中节点个数作为阶段；
- 一个节点和两个节点显然成立；
- 假设N个节点时成立，
• 情况一：若去掉与根节点相连的边
G’ • 情况二：若去掉
中的边
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第13页
Cutting Edges游戏
G’ - 情况二：若去掉
中的边
G’
G’
中间节点
中间节点
根节点
2020/5/18
根节点
第22页
Cutting Edges游戏
• 环的处理成为关键 • 惊人发现，
- 任何奇环的SG值为1 - 任何偶环的SG值为0
2020/5/18
根节点
石家庄二中 贾志豪
根节点
第23页
Cutting Edges游戏
• 环的处理成为关键 • 惊人发现，
- 任何奇环的SG值为1 - 任何偶环的SG值为0
- 图是通过从基础树中加一些边得到的。 - 所有形成的环保证不共用边，且只与基础树有一个公共点。
不要慌！！！
不要慌！不要慌！！
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第21页
Cutting Edges游戏
• 环的处理成为关键 • 惊人发现，
- 任何奇环的SG值为1
2020/5/18
根节点
石家庄二中 贾志豪
• 策略
- 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第24页
Cutting Edges游戏
• 环的处理成为关键 • 惊人发现，
- 任何奇环的SG值为1 - 任何偶环的SG值为0
• 策略
- 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第25页
组合游戏略述
——浅谈组合游戏的若干拓展及变形
内容概述content introduction
• 组合游戏的规则拓展
- 走完最后一步者输——Anti-SG游戏和SJ定理 - 可以将一堆石子分成多堆——Multi-SG游戏 - 每一个可移动的棋子都要移动——Every-SG游戏
• 组每合一游个戏的可模移型动变的形棋子都要移动——Every-SG游戏
• 对于奇环
G’2
G’1
2020/5/18
G’5
G’ 石家庄二中 贾志豪
4
G’3
第32页
Cutting Edges游戏
• 对于奇环
G’1
2020/5/18
G’5
石家庄二中 贾志豪
G’2
G’3
G’4
第33页
Say Goodbye
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第34页
G’2
G’1
G’1
G’T
G’2 … G’T
SG(G) 2020/5/18
(SG(G1 ' )
1) ...... 石家庄二中 贾志豪
(SG(GT
' ) 第19页1)
Say Goodbye
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第20页
Cutting Edges游戏
• 稍加拓展：
- A和B轮流从图中删边，删去一条边后，不与根节点相连的部 分将被移走。A为先手。
2020/5/18
v为终止状态
SG(v) 0 u为v的后继状态 SG(u) 0
SG(v) 0 u为v的后继状态
石家庄二中 贾志豪
第5页
Every-SG游戏
• 结论：
- 先手必胜当且仅当step值最大的单一游戏为先手必胜游戏
• 思考：
- step值最大的既有先手必胜游戏，又有先手必败游戏时，是否
第8页
Cutting Edges游戏
• 从树结构入手??
- 树结构是一种特殊的拓扑结构
• 从最简单的例子入手??
- 根节点只有一个分支
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第9页
Cutting Edges游戏
考虑：已知左图的SG值，如何求右图的SG值
G’ G’
中间节点
根节点
2020/5/18
G’图
- 翻硬币游戏 - 无向图删边游戏
无向图删边游戏
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第2页
Every-SG游戏
• 何为Every-SG游戏？？？
- 有N个单一游戏，游戏者轮流进行决策； - 游戏者的决策必须满足：对于所有还没有结束的单一游戏，
游戏者必须对该单一游戏进行一步操作； - 无路可走者输
怎么办？？？
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第29页
Cutting Edges游戏
• 对于偶环
G’1
G’2
G’6
G’3
2020/5/18
G’5
石家庄二中 贾志豪
G’4
第30页
Cutting Edges游戏
• 对于偶环
2020/5/18
G’1
G’6
石家庄二中 贾志豪
G’5
G’2 G’3
G’4
第31页
Cutting Edges游戏
输赢长 短
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第7页
Cutting Edges游戏
• 退化版：
- 给出一个有N个点的树，有一个点作为树的根节点。 - 游戏者轮流从树中删去边，删去一条边后，不与根节点相连
的部分将被移走。 - 谁无边可删谁输
如何做？？？
如何做？如何做？？
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
由特殊例子给出猜想：
SG( G )=SG( G’ 石家庄二中 贾志豪 )+1 G图
根节点
第10页
Cutting Edges游戏
• 证明猜想（数学归纳法）
- 即证：它的后继状态的SG值为0到SG(G')的所 有值；
G’
- 以树中节点个数作为阶段；
- 一个节点和两个节点显然成立；
- 假设N个节点时成立，
意味着平局？？？
所有先手必胜的游戏的step值为奇数！ 所有先手必败的游戏的step值为偶数！
2020/5/18
石家庄二中 贾志豪
第6页
Every-SG游戏
• 发现宝藏（长与短的博弈）
- 一般的组合游戏只有输与赢的博弈； - 而Every-SG游戏又增加了长与短的博弈，这使得Every-SG游
NOI国家集训队论文分类(至2008)(摘抄自C博客)
摘抄自C博客组合数学计数与统计2001 - 符文杰：《Pólya原理及其应用》2003 - 许智磊：《浅谈补集转化思想在统计问题中的应用》2007 - 周冬：《生成树的计数及其应用》2008 - 陈瑜希《Pólya计数法的应用》数位问题2009 - 高逸涵《数位计数问题解法研究》2009 - 刘聪《浅谈数位类统计问题》动态统计2004 - 薛矛：《解决动态统计问题的两把利刃》2007 - 余江伟：《如何解决动态统计问题》博弈2002 - 张一飞：《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程》2007 - 王晓珂：《解析一类组合游戏》2009 - 曹钦翔《从“k倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》2009 - 方展鹏《浅谈如何解决不平等博弈问题》2009 - 贾志豪《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》母函数2009 - 毛杰明《母函数的性质及应用》拟阵2007 - 刘雨辰：《对拟阵的初步研究》线性规划2007 - 李宇骞：《浅谈信息学竞赛中的线性规划——简洁高效的单纯形法实现与应用》置换群2005 - 潘震皓：《置换群快速幂运算研究与探讨》问答交互2003 - 高正宇：《答案只有一个——浅谈问答式交互问题》猜数问题2003 - 张宁：《猜数问题的研究:<聪明的学生>一题的推广》2006 - 龙凡：《一类猜数问题的研究》数据结构数据结构2005 - 何林：《数据关系的简化》2006 - 朱晨光：《基本数据结构在信息学竞赛中的应用》2007 - 何森：《浅谈数据的合理组织》2008 - 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》结构联合2001 - 高寒蕊：《从圆桌问题谈数据结构的综合运用》2005 - 黄刚：《数据结构的联合》块状链表2005 - 蒋炎岩：《数据结构的联合——块状链表》2008 - 苏煜《对块状链表的一点研究》动态树2006 - 陈首元：《维护森林连通性——动态树》2007 - 袁昕颢：《动态树及其应用》左偏树2005 - 黄源河：《左偏树的特点及其应用》跳表2005 - 魏冉：《让算法的效率“跳起来”！——浅谈“跳跃表”的相关操作及其应用》2009 - 李骥扬《线段跳表——跳表的一个拓展》SBT2007 - 陈启峰：《Size Balance Tree》线段树2004 - 林涛：《线段树的应用》单调队列2006 - 汤泽：《浅析队列在一类单调性问题中的应用》哈希表2005 - 李羽修：《Hash函数的设计优化》2007 - 杨弋：《Hash在信息学竞赛中的一类应用》Splay2004 - 杨思雨：《伸展树的基本操作与应用》图论图论2005 - 任恺：《图论的基本思想及方法》模型建立2004 - 黄源河：《浅谈图论模型的建立与应用》2004 - 肖天：《“分层图思想”及其在信息学竞赛中的应用》网络流2001 - 江鹏：《从一道题目的解法试谈网络流的构造与算法》2002 - 金恺：《浅谈网络流算法的应用》2007 - 胡伯涛：《最小割模型在信息学竞赛中的应用》2007 - 王欣上：《浅谈基于分层思想的网络流算法》2008 - 周冬《两极相通——浅析最大—最小定理在信息学竞赛中的应用》最短路2006 - 余远铭：《最短路算法及其应用》2008 - 吕子鉷《浅谈最短径路问题中的分层思想》2009 - 姜碧野《SPFA算法的优化及应用》欧拉路2007 - 仇荣琦：《欧拉回路性质与应用探究》差分约束系统2006 - 冯威：《数与图的完美结合——浅析差分约束系统》平面图2003 - 刘才良：《平面图在信息学中的应用》2007 - 古楠：《平面嵌入》2-SAT2003 - 伍昱：《由对称性解2-SAT问题》最小生成树2004 - 吴景岳：《最小生成树算法及其应用》2004 - 汪汀：《最小生成树问题的拓展》二分图2005 - 王俊：《浅析二分图匹配在信息学竞赛中的应用》Voronoi图2006 - 王栋：《浅析平面Voronoi图的构造及应用》偶图2002 - 孙方成：《偶图的算法及应用》树树2002 - 周文超：《树结构在程序设计中的运用》2005 - 栗师：《树的乐园——一些与树有关的题目》路径问题2009 - 漆子超《分治算法在树的路径问题中的应用》最近公共祖先2007 - 郭华阳：《RMQ与LCA问题》划分问题2004 - 贝小辉：《浅析树的划分问题》数论欧几里得算法2009 - 金斌《欧几里得算法的应用》同余方程2003 - 姜尚仆：《模线性方程的应用——用数论方法解决整数问题》搜索搜索2001 - 骆骥：《由“汽车问题”浅谈深度搜索的一个方面——搜索对象与策略的重要性》2002 - 王知昆：《搜索顺序的选择》2005 - 汪汀：《参数搜索的应用》启发式2009 - 周而进《浅谈估价函数在信息学竞赛中的应用》优化2003 - 金恺：《探寻深度优先搜索中的优化技巧——从正方形剖分问题谈起》2003 - 刘一鸣：《一类搜索的优化思想——数据有序化》2006 - 黄晓愉：《深度优先搜索问题的优化技巧》背包问题2009 - 徐持衡《浅谈几类背包题》匹配2004 - 楼天城：《匹配算法在搜索问题中的巧用》概率概率2009 - 梅诗珂《信息学竞赛中概率问题求解初探》数学期望2009 - 汤可因《浅析竞赛中一类数学期望问题的解决方法》字符串字符串2003 - 周源：《浅析“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用》多串匹配2004 - 朱泽园：《多串匹配算法及其启示》2006 - 王赟：《Trie图的构建、活用与改进》2009 - 董华星《浅析字母树在信息学竞赛中的应用》后缀数组2004 - 许智磊：《后缀数组》2009 - 罗穗骞《后缀数组——处理字符串的有力工具》字符串匹配2003 - 饶向荣：《病毒的DNA———剖析一道字符匹配问题解析过程》2003 - 林希德：《求最大重复子串》动态规划动态规划2001 - 俞玮：《基本动态规划问题的扩展》2006 - 黄劲松：《贪婪的动态规划》2009 - 徐源盛《对一类动态规划问题的研究》状态压缩2008 - 陈丹琦《基于连通性状态压缩的动态规划问题》状态设计2008 - 刘弈《浅谈信息学中状态的合理设计与应用》树形DP2007 - 陈瑜希：《多角度思考创造性思维——运用树型动态规划解题的思路和方法探析》优化2001 - 毛子青：《动态规划算法的优化技巧》2003 - 项荣璟：《充分利用问题性质——例析动态规划的“个性化”优化》2004 - 朱晨光：《优化，再优化！——从《鹰蛋》一题浅析对动态规划算法的优化》2007 - 杨哲：《凸完全单调性的加强与应用》计算几何立体几何2003 - 陆可昱：《长方体体积并》2008 - 高亦陶《从立体几何问题看降低编程复杂度》计算几何思想2004 - 金恺：《极限法——解决几何最优化问题的捷径》2008 - 程芃祺《计算几何中的二分思想》2008 - 顾研《浅谈随机化思想在几何问题中的应用》圆2007 - 高逸涵：《与圆有关的离散化》半平面交2002 - 李澎煦：《半平面交的算法及其应用》2006 - 朱泽园：《半平面交的新算法及其实用价值》矩阵矩阵2008 - 俞华程《矩阵乘法在信息学中的应用》高斯消元2002 - 何江舟：《用高斯消元法解线性方程组》数学方法数学思想2002 - 何林：《猜想及其应用》2003 - 邵烜程：《数学思想助你一臂之力》数学归纳法2009 - 张昆玮《数学归纳法与解题之道》多项式2002 - 张家琳：《多项式乘法》数形结合2004 - 周源：《浅谈数形结合思想在信息学竞赛中的应用》黄金分割2005 - 杨思雨：《美，无处不在——浅谈“黄金分割”和信息学的联系》其他算法遗传算法2002 - 张宁：《遗传算法的特点及其应用》2005 - 钱自强：《关于遗传算法应用的分析与研究》信息论2003 - 侯启明：《信息论在信息学竞赛中的简单应用》染色与构造2002 - 杨旻旻：《构造法——解题的最短路径》2003 - 方奇：《染色法和构造法在棋盘上的应用》一类问题区间2008 - 周小博《浅谈信息学竞赛中的区间问题》序2005 - 龙凡：《序的应用》系2006 - 汪晔：《信息学中的参考系与坐标系》物理问题2008 - 方戈《浅析信息学竞赛中一类与物理有关的问题》编码与译码2008 - 周梦宇《码之道—浅谈信息学竞赛中的编码与译码问题》对策问题2002 - 骆骥：《浅析解“对策问题”的两种思路》优化算法优化2002 - 孙林春：《让我们做得更好——从解法谈程序优化》2004 - 胡伟栋：《减少冗余与算法优化》2005 - 杨弋：《从<小H的小屋>的解法谈算法的优化》2006 - 贾由：《由图论算法浅析算法优化》程序优化2006 - 周以苏：《论反汇编在时间常数优化中的应用》2009 - 骆可强《论程序底层优化的一些方法与技巧》语言C++2004 - 韩文弢：《论C++语言在信息学竞赛中的应用》策略策略2004 - 李锐喆：《细节——不可忽视的要素》2005 - 朱泽园：《回到起点——一种突破性思维》2006 - 陈启峰：《“约制、放宽”方法在解题中的应用》2006 - 李天翼：《从特殊情况考虑》2007 - 陈雪：《问题中的变与不变》2008 - 肖汉骏《例谈信息学竞赛分析中的“深”与“广”》倍增2005 - 朱晨光：《浅析倍增思想在信息学竞赛中的应用》二分2002 - 李睿：《二分法与统计问题》2002 - 许智磊：《二分，再二分！——从Mobiles(IOI2001)一题看多重二分》2005 - 杨俊：《二分策略在信息学竞赛中的应用》调整2006 - 唐文斌：《“调整”思想在信息学中的应用》随机化2007 - 刘家骅：《浅谈随机化在信息学竞赛中的应用》非完美算法2005 - 胡伟栋：《浅析非完美算法在信息学竞赛中的应用》2008 - 任一恒《非完美算法初探》提交答案题2003 - 雷环中：《结果提交类问题》守恒思想2004 - 何林：《信息学中守恒法的应用》极限法2003 - 王知昆：《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》贪心2008 - 高逸涵《部分贪心思想在信息学竞赛中的应用》压缩法2005 - 周源：《压去冗余缩得精华——浅谈信息学竞赛中的“压缩法”》逆向思维2005 - 唐文斌：《正难则反——浅谈逆向思维在解题中的应用》穷举2004 - 鬲融：《浅谈特殊穷举思想的应用》目标转换2002 - 戴德承：《退一步海阔天空——“目标转化思想”的若干应用》2004 - 栗师：《转化目标在解题中的应用》类比2006 - 周戈林：《浅谈类比思想》分割与合并2006 - 俞鑫：《棋盘中的棋盘——浅谈棋盘的分割思想》2007 - 杨沐：《浅析信息学中的“分”与“合”》平衡思想2008 - 郑暾《平衡规划——浅析一类平衡思想的应用》。
组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形
策略
将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！ 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
2011-3-11
第25页 25页
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为 任何偶环的SG值为 值为0 任何偶环的 值为
策略
将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！ 将偶环删去，将奇环替换成一条边！！！
Cutting Edges游戏
证明猜想（数学归纳法） 证明猜想（数学归纳法）
以树中节点个数作为阶段； 以树中节点个数作为阶段； 一个节点和两个节点显然成立； 一个节点和两个节点显然成立； 假设N个节点时成立 个节点时成立， 假设 个节点时成立，
情况一： 情况一：若去掉与根节点相连的边 情况二： 情况二：若去掉G’中的边
G’ G’
根节点
定理： 定理：SG(G)=SG(G’)+1
根节点
中间节点
至多有N 至多有N个点
由归纳假设
至多有N 至多有N-1个点
SG值为 到SG( G’ )-1， 值为0到 值为 ， 取不到SG( G’ ) 取不到 2011-3-11
SG值为 到SG(G’ )，取不 值为1到 值为 ， ’ )+1 到SG(G石家庄二中 贾志豪 15页 第15页
Cutting Edges游戏
环的处理成为关键 惊人发现， 惊人发现，
任何奇环的SG值为 任何奇环的 值为1 值为 任何偶环的SG值为 值为0 任何偶环的 值为
根节点
2011-3-11 第23页 23页
根节点
石家庄二中 贾志豪
Cutting Edges游戏
算法合集之《组合游戏略述——浅谈SG游戏的若干拓展及变形》
1 2
《由感性认识到理性认识——透析一类搏弈游戏的解答过程 》 ，张一飞，国家集训队 2002 论文 《解析一类组合游戏》 ，.王晓珂，国家集训队 2007 论文 第 1 页 共 24 页
IOI2009 中国国家集训队论文
贾志豪 石家庄二中
每一个模型都有详细的证明。大多数人在学习信息学时存在的问题是 “知其然，不知其所以然” ，因为大多数的比赛模式是只要求结果而不 要求过程。但这会使我们对一个事物“只知表皮，不知深髓” ，如果将 一个我们知道的问题稍加变形的话，我们可能就不会了。这个问题在组 合游戏中体现得尤其突出。因此笔者对于文中的每一个定理都给出了证 明，希望读者对文中的思想“知其然，知其所以然” 。
1.4 定义 NIM-模型
为了不使读者对本篇论文失去兴趣，我特意将介绍取石子游戏的内 容换成小字，对这部分内容已经很熟悉的读者可以直接略过。
取石子游戏即著名的 nim 游戏，游戏规则如下： 桌子上有 N 堆石子，游戏者轮流取石子。 每次只能从一堆中取出任意数目的石子，但不能不取。 取走最后一个石子者胜。
IOI2009 中国国家集训队论文
贾志豪 石家庄二中
组合游戏略述 ——浅谈 SG 游戏的若干拓展及变形
石家庄二中 贾志豪
前言
组合游戏是近几年新兴起的博弈游戏， 随着张一飞学长关于组合游戏的论文 的面世， 组合游戏问题开始在国内信息学竞赛这片沃土上生根发芽，与大家一起 成长、成熟、成才。最为马上要离开高中信息学舞台的高三学生，我一直希望能 为学弟学妹们留下一些我自己的心得，于是这篇论文应运而生！ ！ ！ 这篇论文的一些思想是我早在一年前节开始构思的， 感谢计算机学会为我提 供这样一个舞台， 能让我的论文为更多的人所知道；同时感谢在我写论文时无私 帮助过我的所有人，谢谢你们！ ！ ！ 先介绍一下论文的主要内容：第一章作为论文的理论基础，主要从欣赏的角 度引入了 SG 函数、游戏图、NIM 游戏等概念，重点谈我对组合游戏尤其是 SG 函 数的体会、 理解； 第二章主要介绍了几种不同规则的组合游戏以及相应的应对策 略，旨在告诉读者，游戏规则变化之后，我们应该如何去分析新的规则、解决新 的模型；第三章主要介绍了几种竞赛中常见的组合模型，并将“她”们成功的转 化成了 NIM 模型。 鉴于这篇论文的内容较多， 在这里给读者提供一些阅读建议：第一章由于篇 幅原因，并没有给出 SG 函数、NIM 游戏解法的详细证明过程，对于刚刚接触组 合游戏的读者，建议先阅读一些关于 SG 函数的资料（张一飞关于博弈游戏的论 文1、王晓柯关于组合游戏的论文2就很不错） ，然后再从论文的第一章看起，相信 你一定会很有收获；第二、三章是论文的重头戏，如题目所言，分别谈 SG 游戏 的拓展和变形，对于钟情于组合游戏的读者，可以重点看一看第三章，相信一定 不会让你失望！ ！ ！ 这篇论文主要有两个特点： 基本没有例题但处处是例子。为了让读者更好的理解论文中的思想，笔 者在选题目的时候刻意将题目的背景剥掉，只剩下一个“光溜溜 ”的数 学模型，这样读者在阅读论文时，就不必花精力去考虑背景向模型的转 化，可以全身心去理解笔者想要传达的思想。但读者不必去担心没有地 方练习，笔者将这几年的自己做过的组合游戏题收录在了论文的附录 里。
博弈论与SG函数
博弈论与SG函数巴什博奕:两个顶尖聪明的⼈在玩游戏，有n个⽯⼦，每⼈可以随便拿1−m个⽯⼦，不能拿的⼈为败者，问谁会胜利结论:设当前的⽯⼦数为n=k∗(m+1)即n%(m+1)==0时先⼿⼀定失败HDU1846#include<iostream>using namespace std;int main() {int C,N,M;scanf("%d",&C);while(C--) {scanf("%d%d",&N,&M);if(N%(M+1)==0) printf("second\n");else printf("first\n");}return 0;}HDU4764#include<cstdio>#include<algorithm>const int MAXN=1e6+10,INF=1e9+10;int main() {int x,y;while(scanf("%d%d",&x,&y)) {if(!x&&!y) break;if( (x-1)%(y+1)==0 ) puts("Jiang\n");else puts("Tang\n");}return 0;}nim游戏:有两个顶尖聪明的⼈在玩游戏有n堆⽯⼦，两个⼈可以从任意⼀堆⽯⼦中拿任意多个⽯⼦(不能不拿)，没法拿的⼈失败。
问谁会胜利结论:当n堆⽯⼦的数量异或和等于0时，先⼿必败，否则先⼿必胜简证:定义当前状态为P-position：在当前的局⾯下，先⼿必败N-position：在当前的局⾯下，先⼿必胜对于⾯对局⾯为0\ xor\ 0\ xor\ ...\ 0 = 0称它为p局⾯若当前局⾯为a_1\ xor\ a_{2}\ ...a_n = k来说我们可以通过改变⼀个a_i的⽐如a_i\ xor \ k值来使得上式的值为0,此时修改该操作的⼈为必败局⾯,由于xor计算的特殊性，我们知道⼀定有⼀个a_i最⾼位与k最⾼位的1是相同的，那么必然有a_i\ xor\ k\ <a_i的,所以操作可为减法对于局⾯a_1\ xor\ a_{2}\ ...a_n = 0那么此时对于任何⼀种操作都会使得上式的值发⽣改变，也就是不为0对与xor的性质,当每个位置的1都存在偶数个时，异或和为0,只改变⼀个a_i,⼀定会使得某个位置的1的个数发⽣改变所以只有当先⼿⾯临xor和为0是，必胜#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>int main() {int T;//scanf("%d",&T);std::cin>>T;for(int n;T--;) {std::cin>>n;int tmp=0;for(int q,i=1;i<=n;++i) {std::cin>>q;tmp^=q;}if(!tmp)puts("No");else puts("Yes");}//char a[10];scanf("%s",a);puts(a);return 0;}SG函数SG函数内容的理解借鉴⾃zyf学长,鸣谢！QUQ对于nim游戏，你已经知道怎么做了但是，要是稍加改变游戏规则，那么恐怕⽆法很快找出必胜策略我们可以吧游戏抽象为⼀张图，每⼀个点代表⼀个状态，对于每个状态与他的⼦状态连⼀条有向边。
博弈论 Game theory (全)
博弈论 Game Theory博弈论亦名“对策论”、“赛局理论”，属应用数学的一个分支, 目前在生物学，经济学，国际关系，计算机科学, 政治学，军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。
在《博弈圣经》中写到：博弈论是二人在平等的对局中各自利用对方的策略变换自己的对抗策略，达到取胜的意义。
主要研究公式化了的激励结构间的相互作用。
是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。
也是运筹学的一个重要学科。
博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。
表面上不同的相互作用可能表现出相似的激励结构（incentive structure），所以他们是同一个游戏的特例。
其中一个有名有趣的应用例子是囚徒困境（Prisoner's dilemma）。
具有竞争或对抗性质的行为称为博弈行为。
在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益。
为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。
比如日常生活中的下棋，打牌等。
博弈论就是研究博弈行为中斗争各方是否存在着最合理的行为方案，以及如何找到这个合理的行为方案的数学理论和方法。
生物学家使用博弈理论来理解和预测演化（论）的某些结果。
例如，约翰·史密斯（John Maynard Smith）和乔治·普莱斯（George R. Price）在1973年发表于《自然》杂志上的论文中提出的“evolutionarily stable strategy”的这个概念就是使用了博弈理论。
其余可参见演化博弈理论（evolutionary game theory）和行为生态学（behavioral ecology）。
博弈论也应用于数学的其他分支，如概率，统计和线性规划等。
历史博弈论思想古已有之，我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。
博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上，没有向理论化发展。
博弈论第一、二章
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第二节 博弈论革命（了解）
在经济学领域的“革命” 在其他学科领域的运用
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第三节 博弈论要点
一、博弈的要素 （1）参与者：参与博弈的决策主体
单人博弈、两人博弈、多人博弈 （2）博弈的规则：对博弈作出具体规定的集
合 （3）结果：对所有的参与者每一个可能的行
动组合，会出现什么样的结果 （4）收益：在可能的每一个结果上，参与者
的所得和所失。 零和博弈、常和博弈、变和博弈
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二、博弈的基本式
用参与者、策略和收益函数来表述一个博弈，就称 为博弈表达基本式。
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三、博弈论的扩展式Leabharlann 2021/4/820
四、信息和顺序 （一）信息： 1.如果所有参与者在给定任意策略组合下，
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从这个游戏我们可以看出，孙悟空采取什么策略， 关键取决于猪八戒的策略；而猪八戒采取什么策略 反过来又取决于孙悟空的策略。
对这种情况的正规表述是：孙悟空和猪八戒的策略 具有相互依存性。
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引入策略函数的概念，设fs孙悟空的策略函数，fz为 猪八戒的策略函数。
a11表示孙悟空的策略——石头； a12表示孙悟空的策略——剪刀； a13表示孙悟空的策略——布； a21表示猪八戒的策略——石头； a21表示猪八戒的策略——剪刀； a21表示猪八戒的策略——布； （这里默认a的第一个下标表示第几个参与者，1表
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第二章 完全信息静态博弈
完全信息静态博弈即各博弈方同时决策，且 所有博弈方对各方得益都了解的博弈。
《博弈论和对策行为》PPT课件
例2. 性别战(battle of the sexes)
一男一女恋爱，有些业余活动要安排，或者去看 足球比赛，或者去看芭蕾舞演出。男的偏好足球，女 的则更喜欢芭蕾舞，但他们都宁愿在一起，不愿分开 。下表给出收益矩阵：
企业竞争而产生的广告资源浪费也是典型例子。 如两家寡头竞争，经理们可选择策略是“多做广告” 和“少做广告”，各种策略组合的盈利矩阵如下表，
企业2 少做广告 多做广告
少做广告 企业1 多做广告
30，30 40，10
10，40 20，20
企业1最优反应是多做广告，企业2最优反应也是
多做广告，因此 (多做广告,多做广告)是一个纳什均
在两个寡头合谋条件下的产量与价格决定，是基
于两个寡头利润总和的最大化目标，而不是每个企业
自己的利润最大化。因此这种最大化目标下的产量分
配符合两家企业的共同利益，却不是使每家企业自己
的利润最大化的产量，换言之，并不是每家企业自己
的“最优反应”。所以，卡特尔产量分配不是一个纳
什均衡。正因为此，卡特尔下一定会有违约冲动，卡
但是，本书只是介绍博奕论的最基本的内容，且
限于博奕论在经济学中的应精用选PP。T
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基本概念
博弈论和对策行为
本书讨论博奕论模型的最基本表述方式---策略型 表述，它主要用于表现静态对策。这里介绍策略型表 述中的基本概念，明确有关术语的准确含义。
精选PPT
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基本概念
博弈论和对策行为
在策略型博奕中，一个对策有以下几种基本要素：
它局中人所选策略的最优反应，所以，谁也没有积极
性去选择其它策略。因为每一个局中人均不能因为单
方面改变自己的策略而获利，于是谁也没有兴趣主动
博弈游戏的管理策略
博弈游戏的管理策略xx年xx月xx日•引言•博弈游戏的分类及特点•博弈游戏的管理策略•实际应用中的博弈管理策略目•结论录01引言它涉及到竞争和合作，玩家之间通过选择不同的策略达到各自的目标。
博弈游戏是一种策略性游戏玩家在有限的资源、时间和信息条件下，通过理性推理和选择最优策略，以实现自身利益的最大化。
博弈游戏的本质是博弈游戏的定义与特点管理策略的重要性管理策略是企业或组织在博弈中取得成功的关键一个好的管理策略能够使企业在竞争中处于优势地位，从而取得更好的业绩。
管理策略能够提高企业或组织的竞争力通过制定合理的策略，企业或组织可以更好地应对外部环境的变化，提高自身的适应能力和竞争力。
博弈论为制定管理策略提供了理论基础博弈论提供了一种数学方法，可以帮助企业或组织分析竞争态势，制定出更优的策略。
管理策略是博弈论应用的重要领域博弈论在管理科学中有着广泛的应用，如战略规划、市场竞争分析、供应链管理等，为管理决策提供了重要的参考依据。
博弈与管理策略的关联性02博弈游戏的分类及特点指博弈参与者之间不存在策略选择的先后次序，比如石头剪刀布游戏。
静态博弈指博弈参与者之间存在策略选择的先后次序，如棋类游戏。
动态博弈静态博弈与动态博弈零和博弈指所有参与者的收益总和为零，一方得益必然意味着另一方受损。
非零和博弈指部分参与者可以获得正收益，其他参与者则遭受负收益。
零和博弈与非零和博弈完全信息博弈指所有参与者对所有相关信息都有充分的了解，如象棋、围棋等。
不完全信息博弈指部分参与者对其他参与者的某些信息不够了解，如扑克、桥牌等。
完全信息博弈与不完全信息博弈博弈游戏的其他特点每个参与者需要根据其他参与者的策略来制定自己的策略。
策略性强需要预测概率与随机性心理战术成功的策略需要对其他参与者的行为进行预测。
部分博弈游戏存在概率和随机性，需要参与者灵活应对。
某些博弈游戏需要参与者运用心理战术来影响其他参与者的预期。
03博弈游戏的管理策略制定清晰的游戏规则和目标，确保所有参与者了解并遵守。
博弈游戏的管理策略
企业间通过价格战、广告战、产 品创新等方式争夺市场份额和利
润。
产业链博弈
上下游企业间通过合作与竞争关系 争取自身利益最大化。
国际贸易博弈
国家间通过贸易政策、关税壁垒、 汇率政策等手段维护本国经济利益 。
社会生活中博弈现象
人际关系博弈
个体在社交场合中通过策略选择以获取最大收益 ，如合作与背叛的选择。
营销策略创新
运用新媒体、社交网络等新型营销手段，扩大博 弈游戏品牌影响力，吸引更拟物品交易、广告合 作等，降低博弈游戏经营风险，提高企业盈利能 力。
培养创新型人才途径和方法
营造创新氛围
01
鼓励员工提出新想法、新建议，容忍失败，为员工提供宽松的
创新环境。
强沟通、注重长期利益，并通过合作实现共同利益。
04
现实世界中博弈现象剖析
政治领域博弈现象
国际政治博弈
国家间通过外交手段、军事联盟、经济制裁等 方式争取自身利益最大化。
国内政治博弈
政党、利益集团通过立法、行政手段争夺政治 资源和影响力。
地缘政治博弈
地缘政治利益争夺，如领土争端、资源控制等。
经济领域博弈现象
THANKS
谢谢您的观看
有效沟通
保持团队成员之间的有效 沟通，及时分享信息、反 馈问题和讨论策略，确保 团队协同作战。
领导力培养
关注团队成员领导力培养 ，选拔具有潜力的成员进 行重点培养，提高团队整 体执行力。
03
经典博弈模型解析及启示
零和博弈模型
定义
参与博弈的各方在严格竞争下，一方的收益必然意味着另一方的损失，博弈各方的收益和损失相加总 和为零。
博弈游戏特点
参与者之间存在利益冲突和策略 依存性，游戏结果取决于参与者 的策略选择和行动顺序。
简单的组合博弈游戏
1 2
保护未成年人
游戏应设置合适的年龄限制，避免对未成年人造 成不良影响。
公平竞争
游戏应遵循公平、公正的原则，防止作弊和欺诈 行为。
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弘扬正能量
游戏内容应传递积极向上的价值观，避免传播不 良信息。
感谢观看
THANKS
错误三
忽视长远的战略规划，只关注短期利益。纠 正方法：制定长期战略目标，并适时调整自 己的战术和策略。
05
游戏中的心理学应用
玩家心理预期
预期形成
玩家在游戏过程中会根据经验和当前局面形成对结果的预期，这 种预期会影响玩家的决策。
预期管理
通过调整游戏规则、难度和奖励机制，可以影响玩家的预期，进而 影响游戏结果。
02
游戏规的元素，达成游戏设定的 目标，如获得最高分数或击败对手。
游戏元素
游戏通常包含多种元素，如数字、符号、道具等， 每种元素都有不同的功能和效果。
游戏流程
玩家需要在限定的时间内或步数内，通过选择和 组合不同的元素，达成游戏目标。
基础策略介绍
合理利用资源
特点
组合博弈游戏通常具有明确的游戏规 则、策略性强、需要玩家进行思考和 决策，同时结果往往具有不确定性。
游戏历史与发展
历史
组合博弈游戏的历史可以追溯到古代，如中国的围棋、象棋等。随着时间的推 移，人们不断创造出新的组合博弈游戏，丰富了游戏的种类和玩法。
发展
组合博弈游戏的发展与数学、心理学等学科密切相关。现代组合博弈游戏在理 论和实践方面都取得了很大的进展，成为数学、计算机科学等领域的重要研究 对象。
在游戏中，资源通常是有限的。 玩家需要根据游戏目标和当前情 况，合理分配资源和选择策略。
优先处理紧急任务