最新人教A版必修四高中数学3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 同步习题及答案
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)课件 新人教A版必修4
s ic no )s c ( o ss i n ) (
第十一页，编辑于星期五：十点 三十五分。
探究1：
两角和与差的正弦公式：
sin()sin [()]
s ic no )s c ( o ss i n ) (
sic no s c ossin
第十二页，编辑于星期五：十点 三十五分。
1tan15o (3) 1tan15o .
第二十八页，编辑于星期五：十点 三十五分。
讲解范例：
例3. 利用和(差)角公式计算以下各式的值.
(1 )s7 io n c 24 oo 2 s c7 oos 2 s4 io n ;2 (2 )c2 ooc 0 s7 oo 0 s s2 io n s 07 io n ;0
3.1.2两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
第一页，编辑于星期五：十点 三十五分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
co ) s c (o cs o ss isn in
第二页，编辑于星期五：十点 三十五分。
复习引入
1. 两角差的余弦公式：
co ) s c (o cs o ss isn in
1tan15o (3) 1tan15o .
练习.教材P.131第5题.
第二十九页，编辑于星期五：十点 三十五分。
课堂小结
本节我们学习了两角和与差正弦、
余弦和正切公式，我们要熟记公式，
学会灵活运用.
第三十页，编辑于星期五：十点 三十五分。
课后作业
1. 阅读教材P.128到P.131; 2.2. ?习案?作业三十.
5
求sin ,cos ,tan
4 4 4 的值.
第二十四页，编辑于星期五：十点 三十五分。
高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4
.
则 tan θ= (������又称为辅助角).
������ ������
∴asin α±bcos α= ������2 + ������ 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
������ 2 + ������ 2 sin(������ ± ������). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本 题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
������������������ α -������������������ β 1+������������������ α������������������ β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin������ ±
������ ������2 +������2
cos������ ,
∵
������ ������2 + ������2
新人教A版必修4 3.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
π π π [自主解答] (1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos － 3 3 3 π 2π 2π 2cos xsin － 3cos cos x－ 3sin sin x 3 3 3 1 3 3 3 ＝ sin x＋ cos x＋sin x－ 3cos x＋ cos x－ sin x 2 2 2 2
[悟一法]
1．解决此类问题的关键是熟练掌握和差公式的结构特征， 并灵活地正用、逆用、变形用． 2．对于正切公式，要熟悉以下常用的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)， tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)， tan α＋tan β 1－tan αtan β＝ ， tanα＋β tan α－tan β 1＋tan αtan β＝ . tanα－β
α，β，α－β≠
两角差 的正切
T(α－β)
tan α－tan β 1＋tan αtan β
π kπ＋ (k∈Z) 2
[小问题·大思维 ] 1．是否存在α、β使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立？
π 提示：存在．如 α＝0，β＝ . 2 π 2．若化简 tan( －β)，能否利用两角差的正切公式？ 2 π 提示：不能．因为 tan 不存在．可切化弦： 2
1 3 ＝2＋1－2sin x＋
3 3 － 3＋ cos x 2 2
＝0.
tan 12° ＋tan 33° (2)∵ 1－tan 12° · tan 33° ＝tan(12° ＋33° ) ＝tan 45° ＝1， ∴tan 12° ＋tan 33° ＝1－tan 12° · tan 33° . ∴tan 12° ＋tan 33° ＋tan 12° · tan 33° ＝1－tan 12° tan 33° ＋tan 12° tan 33° ＝1.
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件-高一下学期数学人教A版必修4
OA ⋅ OB=|OA||OB| cos<a,b>=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
即：cos(α−β)=cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ
LOGO
（2）cos(α+β)= cos(α-(-β))
=cosα⋅cos(-β)+sinα⋅sin(-β)
又因为cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ
A B
3
3
1
,则
3
1
，则tanacot
3
-
3
4
β=
3. 1
4. 5
5.A
，则tana=
C
tan( a+β )=
D
3
4
LOGO
6.已知cosa=
3
- ，且0＜a＜π，则sina=
5
1
3
7.已知tan( a+β )= ,，tan β=-2，则tana的值为（）
1
7
A
B
1
7
C 7
A
B
1
4
C
3
4
7. C
D -7
求证：tan(A+B)=
1−tanA+tanB
证明：tan(A+B)
将B换成-B会得到什么？
tan（-a）=-tana
sin A+B
=
cos A+B
sin A cos B+cos A sin B
=
cos A cos B−sin AB
分子分母分别除以cosAcosB(cosA不等于0,cosB不等于0)得：
11.在三角形ABC中，已知cosA=
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)2课件人教新课标
tan[(β－α)－α]＝1t＋antaβn－βα－－αttaannαα＝1＋－－2－22×2＝43．
答案
4 3
课前预习
课堂互动
课堂反馈
题型三 给值求角问题
【例 3】 (1)在△ABC 中，tan A＝13，tan B＝－2，则角 C＝
________；
解析
tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－1313×－2－2＝－1，
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练 1】 求值：
1＋tan (1)1－tan
1155°°；(2)tan
10°＋tan
35°＋tan
10°tan
35°．
解
1＋tan (1)1－tan
1155°°＝1t－ant4a5n°1＋5°ttaann1455°°
＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3．
(2)由 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的变形
______________．
解析 ∵B 为锐角，sin B＝ 55，∴cos B＝255，∴tan B＝12，
∴tan(A＋B)＝1t－antAan＋AttaannBB＝1－13＋13×12 12＝1．
∵0<A＋B<π，∴A＋B＝π4．
答案
π 4
课前预习
课堂互动
课堂反馈
5．求tant1an8°1＋8°ttaann4422°°＋tanta6n01°20°的值．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
3．已知 tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则 tanα＋2 β＝________．
解析
tanα＋2 β＝tan[(α－β2)＋(β－α2)]＝1－1212×－13－13＝17．
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
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17
巩固练习:
解：
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18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
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5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4
高中数学人教A版必修4课件：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式, 化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行 约分,解题时要逆用或变用公式. 提醒:在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时,首先 要注意结构是否符合公式特点,其次注意角是否满足要 求.
【变式训练】若tanα=2tan
5
=( )
cos( 3 )
2( 22sin1522cos15)sin(30) 3.
2( 2sin15 2cos15) sin60 3
答案:
2
3
2
3
【方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着 先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形 式,则整体变形,否则进行各局部的变形.
4
4 452521 0
2.选B.因为 s in (x 9 )c o s c o s (x 9 )s in 1 ,
1 4 7
1 4 73
所以 s in (x 9 ) s in (x ) c o sx 1 ,
1 47
2
3
所以cosx=-1 .
3
3.
c o s7 5 c o s1 5 sin1 5 c o s1 5 sin1 5 sin7 5 sin1 5 c o s1 5
【自我检测】
1.cos57°cos12°+sin57°sin12°的值为 ( )
A .0
B .1 2
C . 3 2
D . 2 2
【解析】选D.原式=cos(57°-12°)=cos45°=
2.
2
2.sin75°=________.
【解析】sin75°=sin(30°+45°)
=sin30°cos45°+cos30°sin45° = 1 2 3 2 26.
高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式备课资料 新人教A版必修4
备课资料一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α=(α+β)-β,α=21(α+β)+21(α-β)等.②公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形.③“1”的妙用：在三角函数式中,有许多关于“1”的“变形”，如1=sin 2α+cos 2α，也有1=sin90°=tan45°等.二、备用习题1.在△ABC 中，sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形 2.3cos 12π-sin 12π的值是( ) A.0 B.-2 C.2 D.23.在△ABC 中，有关系式tanA=BC C B sin sin cos cos --成立，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.A=60°的三角形C.等腰三角形或A =60°的三角形D.不能确定4.若cos(α-β)=31,cos β=43,α-β∈(0,2π),β∈(0,2π),则有( ) A.α∈(0,2π) B.α∈(2π,π) C.α∈(-2π,0) D.α=2π 5.求值：25cos 25sin 5cos 2-=_________ 6.若sin α·sin β=1，则cos α·cos β=____________7.已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51,则tan α·tan β=___________ 8.求函数y=2sin(x+10°)+2cos(x+55°)的最大值和最小值.9.求tan70°＋tan50°-3tan50°tan70°的值.10.已知sin β＝ｍ·sin（2α＋β）.求证：tan （α＋β）＝m m -+11tan α. 11.化简AB A sin )2sin(+-2cos(A+B). 12.已知5sin β=sin(2α+β).求证：2tan(α+β)=3tan α.13.(2007年高考湖南卷,16) 已知函数f(x)=1-2sin 2(x+8π)+2sin(x+8π)cos(x+8π).求: (1)函数f(x)的最小正周期;(2)函数f(x)的单调增区间.参考答案：1.B2.C3.C4.B5.36.07.41- 8.∵y=2sin(x+10°)+2cos ［(x+10°)+45°］=2sin(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)=sin(x+10°)+cos(x+10°) =2cos ［(x+10°)+45°］ =2cos(x+55°),又∵-1≤sin(x+55°)≤1,∴当x+55°=k·360°-90°,即x=k·360°-145°(k∈Z)时，y min =-2;当x+55°=k·360°+90°,即x=k·360°+35°(k∈Z)时，y max =2.9.原式＝tan （70°＋50°）（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3＋3tan70°tan50°-3tan50°tan70°＝-3.∴原式的值为-3.10.证明：由sin β＝ｍsin （2α＋β）sin ［（α＋β）-α］＝ｍsin ［（α＋β）＋α］sin （α＋β）cos α-cos （α＋β）sin α=m ［sin （α＋β）cos α＋cos （α＋β）sin α］（1-ｍ）·sin（α＋β）cos α=（1＋ｍ）·cos（α＋β）sin αtan （α＋β）＝mm -+11tan α. 点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一个整体来处理.此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.11.原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(2])sin[(+-+=+-++ =.sin sin sin ])sin[(A B A A B A =-+点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角.一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点.12.∵β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，∴5sin［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］, 即5sin(α+β)cos α-5cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α.∴2tan(α+β)=3tan α.点评：注意到条件式的角是β和2α+β，求证式中的角是α+β和α，显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明，一般是将条件中的角（不要的）用结论式中的角（要的）替代，然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角.因此，看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有：α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),2α-β=(α-β)+α当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析. 13.f(x)=cos(2x+4π)+sin(2x+4π) =2sin(2x+4π+4π) =2sin(2x+2π) =2cos2x.(1)函数f(x)的最小正周期是T=22π=π; (2)当2k π-π≤2x≤2k π,即k π-2π≤x≤k π(k∈Z )时,函数f(x)=2cos2x 是增函数,故函数f(x)的单调递增区间是［k π-2π,k π］(k∈Z ). (设计者：仇玉法）。
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式 (1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形： tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________. (2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43B ．－43C ．－7D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于( ) A ．1B ．2C ．tan10°D.3tan20°6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14B.13C.12D.537.1＋tan75°1－tan75°＝________. 8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________．9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则α＋βα－β＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．14．已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15.(1)求证：tan A＝2tan B；(2)设AB＝3，求AB边上的高．难想到解题思路．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βα＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βα－β－1作业设计 1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan10°tan20°＋3tan20°＋3tan10° ＝3(tan10°＋tan20°＋33tan10°tan20°) ＝3tan30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝3，解得tan A ·tan B ＝13.]7．－ 3 8.23解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 9．－32解析 α＋βα－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝31＋－＝－32.10．1 解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )． ∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3. 又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， ∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A＝2π3，B＝C＝π6.∴△ABC为等腰三角形．12．解由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝72 10，sinβ＝1－cos2β＝5 5.因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ＝sinβcosβ＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.13．解tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tan β1－tanα－βtan β＝13>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2 )．∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tanα－β1－tan αtanα－β＝1，∴2α－β＝－3π4.14．(1)证明∵sin(A＋B)＝35，sin(A－B)＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15⇒tan Atan B＝2，所以tan A ＝2tan B .(2)解 ∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－34. 将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2B －4tan B －1＝0. 解得tan B ＝2±62，舍去负值，得tan B ＝2＋62. ∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD . 则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A＋CD tan B＝3CD2＋6. 由AB ＝3，得CD ＝2＋ 6.∴AB 边上的高等于2＋ 6.。