李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
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故 在 内至少有三个互异零点，
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
解：
若
则步长
在小区间 上，分段线性插值函数为
各节点间中点处的 与 的值为
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
误差
又
令
得 的驻点为 和
18．求 在 上分段线性插值函数 ，并估计误差。
解：
在区间 上，
函数 在小区间 上分段线性插值函数为
误差为
19．求 在 上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：
在 区间上，
（2）若 ，则
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
解：正方形的面积函数为
.
当 时，若 ,
则
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过
10．设 ，假定g是准确的，而对t的测量有 秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：
当 增加时， 的绝对误差增加
当 增加时， 保持不变，则 的相对误差减少。
11．序列 满足递推关系 (n=1,2,…),
当 时，
令
取
令
则
当 时，线性插值多项式为
插值余项为
又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且 ，故计算中有误差传播过程。
总误差界为
4．设为互异节点，求证：
（1）
（2）
证明
（1）令
若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。
插值余项为
又
由上题结论可知
得证。
5设 且 求证：
解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为
13． ,求 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。
计算，求对数时误差有多大？
解
,
设
则
故
若改用等价公式
则
此时，
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
6．设 ，按递推公式 （n=1,2,…）
计算到 。若取 （5位有效数字），试问计算 将有多大误差？
解：
……
依次代入后，有
即 ，
若ห้องสมุดไป่ตู้ ,
的误差限为 。
7．求方程 的两个根，使它至少具有4位有效数字（ ）。
解： ，
故方程的根应为
故
具有5位有效数字
具有5位有效数字
8．当N充分大时，怎样求 ？
解
设 。
则
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 ？
令
函数 在区间 上的分段埃尔米特插值函数为
误差为
又
20．给定数据表如下：
Xj
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
Yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值，并满足条件：
解：
由此得矩阵形式的方程组为
21 M0
2 M1
2 M2
2 M3
12 M4
求解此方程组得
三次样条表达式为
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
是常数
当 为正整数时，
9．证明
证明
得证
10．证明
证明：由上题结论可知
得证。
11．证明
证明
得证。
12．若 有 个不同实根 ，
证明：
证明： 有个不同实根
且
令
则
而
令
则
又
得证。
13．证明 阶均差有下列性质：
（1）若 ，则
若 （三位有效数字），计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：
又
又
计算到 时误差为 ，这个计算过程不稳定。
12．计算 ，取 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
, , ， 。
解：设 ，
若 ， ，则 。
若通过 计算y值，则
若通过 计算y值，则
若通过 计算y值，则
通过 计算后得到的结果最好。
是二位有效数字；
是四位有效数字；
是五位有效数字；
是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .
其中 均为第3题所给的数。
解：
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为
则何种函数的条件数为
又
故度量半径R时允许的相对误差限为
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
第一章绪论
1．设 , 的相对误差为 ，求 的误差。
解：近似值 的相对误差为
而 的误差为
进而有
2．设 的相对误差为2%，求 的相对误差。
解：设 ，则函数的条件数为
又 ,
又
且 为2
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,
解： 是五位有效数字；
=
插值余项为
6．在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为
设步长为h，即
若截断误差不超过 ，则
7．若 ，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
8．如果 是m次多项式，记 ，证明 的k阶差分 是 次多项式，并且 （ 为正整数）。
依此类推， 在 内至少有一个零点。
记为 使
又
其中 依赖于
分段三次埃尔米特插值时，若节点为 ，设步长为 ，即
在小区间 上
16．求一个次数不高于4次的多项式P（x），使它满足
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式
设
其中，A为待定常数
从而
17．设 ，在 上取 ，按等距节点求分段线性插值函数 ，计算各节点间中点处的 与 值，并估计误差。
解：
若
则步长
在小区间 上，分段线性插值函数为
各节点间中点处的 与 的值为
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
误差
又
令
得 的驻点为 和
18．求 在 上分段线性插值函数 ，并估计误差。
解：
在区间 上，
函数 在小区间 上分段线性插值函数为
误差为
19．求 在 上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：
在 区间上，
（2）若 ，则
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
解：正方形的面积函数为
.
当 时，若 ,
则
故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过
10．设 ，假定g是准确的，而对t的测量有 秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：
当 增加时， 的绝对误差增加
当 增加时， 保持不变，则 的相对误差减少。
11．序列 满足递推关系 (n=1,2,…),
当 时，
令
取
令
则
当 时，线性插值多项式为
插值余项为
又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且 ，故计算中有误差传播过程。
总误差界为
4．设为互异节点，求证：
（1）
（2）
证明
（1）令
若插值节点为 ，则函数 的 次插值多项式为 。
插值余项为
又
由上题结论可知
得证。
5设 且 求证：
解：令 ，以此为插值节点，则线性插值多项式为
13． ,求 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。
计算，求对数时误差有多大？
解
,
设
则
故
若改用等价公式
则
此时，
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
6．设 ，按递推公式 （n=1,2,…）
计算到 。若取 （5位有效数字），试问计算 将有多大误差？
解：
……
依次代入后，有
即 ，
若ห้องสมุดไป่ตู้ ,
的误差限为 。
7．求方程 的两个根，使它至少具有4位有效数字（ ）。
解： ，
故方程的根应为
故
具有5位有效数字
具有5位有效数字
8．当N充分大时，怎样求 ？
解
设 。
则
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 ？
令
函数 在区间 上的分段埃尔米特插值函数为
误差为
又
20．给定数据表如下：
Xj
0.25
0.30
0.39
0.45
0.53
Yj
0.5000
0.5477
0.6245
0.6708
0.7280
试求三次样条插值，并满足条件：
解：
由此得矩阵形式的方程组为
21 M0
2 M1
2 M2
2 M3
12 M4
求解此方程组得
三次样条表达式为
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
是常数
当 为正整数时，
9．证明
证明
得证
10．证明
证明：由上题结论可知
得证。
11．证明
证明
得证。
12．若 有 个不同实根 ，
证明：
证明： 有个不同实根
且
令
则
而
令
则
又
得证。
13．证明 阶均差有下列性质：
（1）若 ，则
若 （三位有效数字），计算到 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？
解：
又
又
计算到 时误差为 ，这个计算过程不稳定。
12．计算 ，取 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
, , ， 。
解：设 ，
若 ， ，则 。
若通过 计算y值，则
若通过 计算y值，则
若通过 计算y值，则
通过 计算后得到的结果最好。
是二位有效数字；
是四位有效数字；
是五位有效数字；
是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .
其中 均为第3题所给的数。
解：
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？
解：球体体积为
则何种函数的条件数为
又
故度量半径R时允许的相对误差限为
将 代入得
由此得矩阵开工的方程组为
求解此方程组，得
又 三次样条表达式为
将 代入得
21．若 是三次样条函数，证明：
若 ，式中 为插值节点，且 ，则
证明：
从而有
第三章函数逼近与曲线拟合
1． ，给出 上的伯恩斯坦多项式 及 。
解：
伯恩斯坦多项式为
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
第一章绪论
1．设 , 的相对误差为 ，求 的误差。
解：近似值 的相对误差为
而 的误差为
进而有
2．设 的相对误差为2%，求 的相对误差。
解：设 ，则函数的条件数为
又 ,
又
且 为2
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： , , , ,
解： 是五位有效数字；
=
插值余项为
6．在 上给出 的等距节点函数表，若用二次插值求 的近似值，要使截断误差不超过 ，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为 和 ，则分段二次插值多项式的插值余项为
设步长为h，即
若截断误差不超过 ，则
7．若 ，
解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
8．如果 是m次多项式，记 ，证明 的k阶差分 是 次多项式，并且 （ 为正整数）。