成都备战中考数学复习二次函数专项综合练
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一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元?
(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
【答案】(1)这一星期中每件童装降价20元;(2)每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.
【解析】
【分析】
(1)根据售量与售价x(元/件)之间的关系列方程即可得到结论.
(2)设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.
【详解】
解:(1)根据题意得,(60﹣x)×10+100=3×100,
解得:x=40,
60﹣40=20元,
答:这一星期中每件童装降价20元;
(2)设利润为w,
根据题意得,w=(x﹣30)[(60﹣x)×10+100]=﹣10x2+1000x﹣21000
=﹣10(x﹣50)2+4000,
答:每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.
【点睛】
本题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题,利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.
2.如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
【答案】(1)足球飞行的时间是8
5
s时,足球离地面最高,最大高度是4.5m;(2)能.
【解析】
试题分析:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),于是得到,求得抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,当t=时,y最大=4.5;
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,于是得到他能将球直接射入球门.
解:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5),
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式为:y=﹣t2+5t+,
∴当t=时,y最大=4.5;
(2)把x=28代入x=10t得t=2.8,
∴当t=2.8时,y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25<2.44,
∴他能将球直接射入球门.
考点:二次函数的应用.
3.如图,直线y=-1
2
x-3与x轴,y轴分别交于点A,C,经过点A,C的抛物线y=ax2+bx
﹣3与x轴的另一个交点为点B(2,0),点D是抛物线上一点,过点D作DE⊥x轴于点E,连接AD,DC.设点D的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在第三象限,设△DAC的面积为S,求S与m的函数关系式,并求出S的最大值及此时点D的坐标;
(3)连接BC,若∠EAD=∠OBC,请直接写出此时点D的坐标.
【答案】(1)y =
14x 2+x ﹣3;(2)S △ADC =﹣34(m+3)2+274;△ADC 的面积最大值为274;此时D(﹣3,﹣
154
);(3)满足条件的点D 坐标为(﹣4,﹣3)或(8,21). 【解析】
【分析】 (1)求出A 坐标,再用待定系数法求解析式;(2)设DE 与AC 的交点为点F.设点D 的坐标为:(m ,14m 2+m ﹣3),则点F 的坐标为:(m ,﹣12
m ﹣3),根据S △ADC =S △ADF +S △DFC 求出解析式,再求最值;(3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时,D(﹣4,﹣3),根据对称性此时∠EAD =∠ABC .
②作点D(﹣4,﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4,3),直线AD′的解析式为y =
32
x+9,解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】 解:(1)在y =﹣
12
x ﹣3中,当y =0时,x =﹣6, 即点A 的坐标为:(﹣6,0),
将A(﹣6,0),B(2,0)代入y =ax 2+bx ﹣3得: 366304230a b a b --=⎧⎨+-=⎩
, 解得:141
a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,
∴抛物线的解析式为:y =
14x 2+x ﹣3; (2)设点D 的坐标为:(m ,
14m 2+m ﹣3),则点F 的坐标为:(m ,﹣12m ﹣3), 设DE 与AC 的交点为点F.
∴DF =﹣12m ﹣3﹣(14m 2+m ﹣3)=﹣14m 2﹣32
m ,
∴S △ADC =S △ADF +S △DFC =12DF•AE+12•DF•OE =12DF•OA =1
2×(﹣14m 2﹣32
m)×6 =﹣
34m 2﹣92m =﹣34
(m+3)2+274, ∵a =﹣34
<0, ∴抛物线开口向下,
∴当m =﹣3时,S △ADC 存在最大值
274, 又∵当m =﹣3时,
14m 2+m ﹣3=﹣154, ∴存在点D(﹣3,﹣154),使得△ADC 的面积最大,最大值为274
; (3)①当点D 与点C 关于对称轴对称时,D(﹣4,﹣3),根据对称性此时∠EAD =∠ABC . ②作点D(﹣4,﹣3)关于x 轴的对称点D′(﹣4,3),
直线AD′的解析式为y =32
x+9, 由2392134
y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,解得60x y =-⎧⎨=⎩或821x y =⎧⎨=⎩, 此时直线AD′与抛物线交于D(8,21),满足条件,
综上所述,满足条件的点D 坐标为(﹣4,﹣3)或(8,21)
【点睛】