第9章 动力学有限元

如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为
••
M a(t) Ka(t) Q(t)
（9.3）
如果上式的右端项为零，则上式进一步简化为
••
M a(t) Ka(t) 0
（9.4）
这是系统的自有振动方程，又称为动力特性方程。
（4）求解运动方程
（5）计算结构的应变和应力
结构动力学问题的有限元法的实质就是将一个弹性连续体 的振动问题，离散为一个以有限个节点位移为广义坐标的 多自由度系统的振动问题。其基本原理和分析方法类同静 力学的有限元法，按杆梁、薄板等不同结构进行分析。不 同的是，应用振动理论建立动力学方程时，在单元分析中 除需形成刚度矩阵外，还需形成质量矩阵，阻尼矩阵；在 整体分析中，不仅求动力响应，还有求解特征值问题（结 构振动的固有频率及相应的振动型（或模态））
动力学问题中最经常遇到的是结构动力学问题，它有两类研 究对象。一类是在运动状态下工作的机械或结构，例如，高 速旋转的电机，往复运动的内燃机，以及高速运行的飞行器， 如何保证它们运行的平稳性及结构的安全性是极为重要的研 究课题。另一类是承受动力载荷作用的工程结，例如建于地 面的高层建筑和厂房，正确分析和设计这类结构，在理论和 实际上都是具有重要意义的。
1 问题描述
如图所示有一工字形截面的外伸梁，外伸端长度 为a=1m，跨度l=2m，外伸端受到W=10KN/m的均布载 荷的作用。工字形截面的截面面积为A=45cm2，弹性 模量E=200GPa，抗弯惯性矩Iz=5000cm4，求此外伸梁 跨中的最大挠度。
2 问题描述
有一材料为钢的轴类零件，其结构如图所示， 两端受50MPa的面载荷作用。已知钢的弹性模量是 200GPa，泊松比为0.3，试分析该零件内部的应力分
（1）连续区域的离散化
（2）构造插值函数
由于只对空间域进行离散，所以单元内位移u,v,w的插值分别表
示为:
u Nae
（9.1）
u(x, y, z,t)
其中
u
v(
x,
y,
z,
t)
w(x, y, z,t)
N N1 N2 ... Nn Ni Ni I3*3 (i 1,2,..., n)
a1
ae
a2
...
an
ui (t)
ai
vi
(t
)
wi (t)
(i 1,2,...,n)
（3）形成系统的求解方程
••
•
M a(t) C a(t) Ka(t) Q(t)
（9.2）
其中
••
•
a(t ) 和 a(t )
分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，
M,C,K和Q(t)分别是系统的质量、阻尼、刚度和结点载荷向量。
K e BT DBdV V
2、惯性力与单元质量阵
响应分析
固
有
振
频
型
率
位 移 响 应
速 度 响 应
加 速 度 响 应
动 应 变
动 应 力
固有特性：是一组模态参数构成，它由结构本身（质量与刚度分布）决定， 而与外部载荷无关，但决定了结构对动载荷的响应； 响应分析：是计算结构对给定动载荷的各种响应特性。
以三维实体动力分析为例，用有限元法求解的基本步骤如下：
布情况。
3 问题描述
现有一个薄壁圆筒，如图所示。圆筒长度L为0.5m， 壁厚t为5mm，内径R为0.2m，薄壁圆筒在其长度的中 心处受一对沿着直径方向的压力F的作用，力的大小为 1000N，求薄壁圆筒在受力点处的径向位移，圆柱的 两端在边界处自由。已知薄壁圆筒的弹性模量为 200GPa，泊松比为0.3。
4 梁单元板单元的应用
长宽均为1m的厚度为0.05m的钢板，在两边和中间位置均焊接有加强筋，建立 其有限元分析模型。
第9章 动态分析有限元法
9.1 引言 9.2 动力学有限元基本方程 9.3 质量矩阵和阻尼矩阵 9.4 结构的固有频率和固有振型 9.5 结构动力响应 9.6 动力响应算例
9.1引 言
关于静力问题和动力问题的区别，据达朗贝尔原理，动力学问题 只要在外力中计入惯性力后，便可按静力平衡处理。考虑到动力问题 中的载荷和位移均为时间的函数，上式可记为：
K (t)e R(t)
由于动力载荷R(t)可为作用于弹性体上的动载荷 F(t)，也可为弹
性体的惯性力
F
(t
)T，也可为与速度相关的阻尼力F
动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。
有限元方程（刚度方程）： 静力学问题：
[K ]{δ} ={F}
静力问题： 1) 静止; 2) 匀速 动力问题：外载随时间变化大
动态分析的必要性：当产品受到随时间变化的动载 荷时，需要进行动态分析，以了解产品动态特性。
动载荷（又称动力分析）
固有特性分析
从以上步骤可以看出，和静力分析相比，在动力分析中，由于惯 性力和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩 阵，最后得到求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其 它的计算步骤和静力分析是完全相同的。 关于二阶常微分方程组的解法有两类：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法是直接对运动方程积分。而振型叠加法是首先求解一 无阻尼的自由振动方程，然后用解得的特征向量，即固有振型对 运动方程式进行变换。
为：&(t
e
)
、&&(t
)，e 则单元节点(t)内 任一N点wk.baidu.com(t位)e移
[N]为形函数，与时间t无关，为X、Y、Z的函数，它与静力分 析中一样；由于[N]与时间无关，则单元应变矩阵，应力矩阵仍 与静力分析完全相同：
(t) B (t)e (t) D (t) DB (t)e
则刚度矩阵同样与静力情况相同：
动力分析的计算工作量很大，因此提高效率，节省计算工作量的 数值方案和方法是动力分析研究工作中的重要组成部分。目前两 种普遍应用的减缩自由度的方法是Guyan减缩法和动力子结构法。
9.2 振动基本方程的建立
从静力学有限元法可知，有限元的基本思想是将弹性体离散成有限 个单元，建立整体刚度平衡方程：
K e R
(t
) c
，即：
据惯性力定义表示为：
F(t) M &&(t) e T
如阻尼力正比与速度，
F (t ) c
C
&(t
e
)
则动力学基本方程：M &&(t) e C &(t) e K (t)e F(t)
9.3 单元质量、阻尼、刚阵计算
1、单元刚度阵
任取一个单元，单元节点位移为 (t)，e 节点速度和加速度