2015届高考理科数学二轮复习：提能专训12 数列的通项与求和

提能专训(十二) 与数列交汇的综合问题一、选择题1．(2014·吉林实验中学)若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为( )A. 3B ．－ 3C ．±3D ．－33 [答案] B[解析] ∵S 11＝(a 1＋a 11)×112＝11a 6＝22π3， ∴a 6＝2π3，∴tan a 6＝tan 2π3＝－ 3.2．(2014·合肥二次联考)在△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是________三角形( )A ．等腰直角B ．钝角C ．锐角D ．非等腰的直角 [答案] C[解析] 依题意知，d ＝tan A ＝a 7－a 34＝4－(－4)4＝2， q ＝tan B ＝3b 6b 3＝39÷13＝3. ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝2＋31－2×3＝－1<0，∴A ＋B 为钝角，故C 为锐角．易知A ，B 均为锐角． ∴△ABC 为锐角三角形．3．(2014·安阳调研)等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，….且a5·a2n －5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝() A．(n－1)2 B．(n＋1)2C．n(2n－1) D．n2[答案] D[解析]∵等比数列{a n}满足a n>0，a5·a2n－5＝22n(n≥3)，∴a5·a2n －5＝(a n)2＝22n，∴a n＝2n.∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3·…·a2n－1)＝log2(a n)n＝log2(2n)n＝log22n2＝n2.4．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11 (1)14个01)2转换成十进制数是()A．216－1 B．216－2C．216－3 D．216－4[答案] C[解析]由题意可得转化为十进制数为1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×20＝1×215＋1×214＋…＋1×22＋1×2＋1×20－2＝216－3.故选C.5．(2014·厦门5月适应性考试)数列{a n}的前n项和为S n，前n 项积为∏n，且∏n＝(2)n(n＋1)，则S5等于()A．31 B．62C．124 D．126[答案] B[解析]因为∏n∏n－1＝(2)n(n＋1)(2)n(n－1)＝2n(n≥2)，所以a n＝2n(n≥2)，又a 1＝∏1＝(2)2＝2，所以a n ＝2n (n ∈N *)，即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，则S 5＝2×(1－25)1－2＝26－2＝62.故选B.6．(2014·浦东新区第一学期期末质量抽测)已知函数f (x )＝x 2x 2＋1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＋f (2 014)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 013＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＝( ) A ．2 01012 B ．2 01112 C ．2 01212 D ．2 01312 [答案] D[解析] 这种类型的求和问题，一般都是配对分组，观察式子的特征，研究发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1，因此把式子中f (k )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 合并使每个和都为1，共有2 013个1，而f (1)＝12，故结论为D.7．(2014·西宁四校联考)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，令a n ＝f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，则S n ＝10时，n 的值是( )A ．110B ．120C ．130D ．140 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，则4α＝2，α＝12，f (x )＝x ，1a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.令n ＋1－1＝10得n ＝120，故选B.8．(2014·陕西质检)已知函数f (x )＝(1－3m )x ＋10(m 为常数)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }前100项的和为( )A ．39 400B ．－39 400C ．78 800D ．－78 800 [答案] B[解析] ∵a 1＝f (1)＝(1－3m )＋10＝2，∴m ＝3，∴a n ＝f (n )＝－8n ＋10，∴S 100＝－8(1＋2＋…＋100)＋10×100＝－8×101×1002＋10×100＝－39 400，故选B.9．(2014·兰州、张掖联考)如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x (x >0)的图象上．若点B n 的坐标为(n,0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．216C ．212D ．220 [答案] B[解析] 由B n (n,0)得C n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，n ＋1n ，令x ＋1x ＝n ＋1n ，即x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n x ＋1＝0，得x ＝n 或x ＝1n ，所以D n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n ＋1n .所以矩形A n B n C n D n 的周长a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4×(2＋3＋…＋10)＝216.10．(2014·南昌一模)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)n ＋2 013·a ，b n ＝2＋(－1)n ＋2 014n，且a n <b n对任意n ∈N *恒成立，则常数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[－2,1)C ．(－2,1]D ．[－2,1] [答案] B[解析] 由a n <b n ，得－(－1)n ·a <2＋(－1)nn ，要使其对任意n ∈N *恒成立，则当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a <2－12k －1恒成立，又⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1max ＝1，所以a <2－1＝1；当n ＝2k (k ∈N *)时，－a <2＋12k 恒成立，又12k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，所以－a ≤2，得a ≥－2.综上所述，－2≤a <1.11．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] B[解析] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，因为f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′<0，即a x ln a <0，故0<a <1.由f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝12.所以有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (n )g (n )(n ∈N *)是等比数列，其前n 项和S n ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋11－12＝3132，解得n ＝5.12．(2014·衡阳二模)设函数f (x )＝8x ＋sin πx －cos πx ，数列{a n }是公差不为0的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 7)＝14，则a 4＝( )A ．0 B.14 C.12 D ．1[答案] B[解析] 由题知[f (a 1)－2]＋[f (a 2)－2]＋…＋[f (a 7)－2]＝0，f (x )－2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14＋2sin π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14.令g (t )＝8t ＋2sin πt ，则g ′(t )＝8＋2πcos πt >0，g (－t )＝－g (t )，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14＋…＋ga 7－14＝0. ∵数列{a n }是公差不为0的等差数列， ∴不妨设a 1<a 2<…<a 7， 则a 1－14<a 2－14<…<a 7－14， 假设⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14>－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14>－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14＋…＋ga 7－14>0. 假设⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14<0， 同理可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－14＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14<0. 综上，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7－14＝0，a 1＋a 7＝12，a 4＝14. 二、填空题13．(2014·河南六市统考)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝5，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a nn ＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 6)＋f (a 7)＝________.[答案] －5[解析] 由题意，得S n ＝2a n ＋n ，∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n＋n －(2a n －1＋n －1)＝2a n －2a n －1＋1，∴a n ＝2a n －1－1(n ≥2)⇒a n －1＝2(a n －1－1)，又a 1＝－1，∴数列{a n －1}是公比为2，首项为－2的等比数列．∴a n ＝－2n ＋1.∴a 6＝－63，a 7＝－127.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f 32－x ＝f (x )，∴f (x )是周期为3的函数．∴f (a 6)＋f (a 7)＝f (－63)＋f (－127)＝f (0)＋f (－1)＝f (2)＝－5.14．(2014·石家庄质检二)定义max{a ，b }表示实数a ，b 中的较大的．已知数列{a n }满足a 1＝a (a >0)，a 2＝1，a n ＋2＝2max{a n ＋1，2}an(n ∈N *)，若a 2 014＝2a ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为________．[答案] 5 235[解析]∵a 1＝a >0，a 2＝1，∴a 3＝4a ，a 4＝⎩⎨⎧4(a ≥2)，8a (a <2)，a 5＝⎩⎪⎨⎪⎧2a (a ≥2)，4(a <2)，a 6＝a ，∴a 2 014＝a 402×5＋4＝a 4＝2a ＝4，∴a ＝2，∴S 2 014＝(2＋1＋2＋4＋4)×402＋2＋1＋2＋4＝5 235.15．(2014·吉林三模)各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________． [答案] 554[解析] 由题意，得公比q >0，且a n >0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 6＝4，a 1q 5＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2，∴a n ＝14×2n －1＝2n －3，∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋10a 10x 9.∵na n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝n ×2n －3×21－n ＝n 4，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋24＋…＋104＝10×112×14＝554.16．(2014·南京一模)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n ≤B 对任意n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．[答案] 5972[解析] 根据题意，得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ＝(－3)n －1(－3)n，设C ＝S n－1S n ＝(－3)n －1(－3)n －(－3)n(－3)n －1＝－2×(－3)n ＋1(－3)2n －(－3)n， 令－2×(－3)n＋1＝t ，则(－3)n＝1－t2，由于n ∈N *，所以当n 为奇数时(－3)n ≤－3，t ≥7，当n 为偶数时(－3)n ≥9，t ≤－17.则C ＝4t t 2－1＝4t －1t ，在t ＝－17时取得最小值－1772，在t ＝7时取得最大值712，所以B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1772＝5972.三、解答题17．(2014·郑州第一次质量预测)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)，当x ＝－π3时取得最小值－4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝f (0)，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n . 解：(1)由题意知x ＝－π3时f (x )取得最小值－4， ∴A ＝4,4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2×π3＋φ＝－4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋φ＝－1，又0<φ<π，∴φ＝π6， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵a 2＝f (0)，a 4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴a 4＝4，a 2＝2.设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝1，a 1＝1， ∴S n ＝n (n ＋1)2， T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝21×2＋22×3＋…＋2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.18．(2014·合肥第一次质量检测)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，以点(n ，f (n ))为切点作函数图象的切线l n (n ∈N *)，直线x ＝n ＋1与函数y ＝f (x )图象及切线l n 分别相交于A n ，B n ，记a n ＝|A n B n |.(1)求切线l n 的方程及数列{a n }的通项； (2)设数列{na n }的前n 项和为S n ，求证：S n <1.解：(1)对f (x )＝x ＋1x (x >0)求导，得f ′(x )＝1－1x 2，则切线l n 的方程为y －⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2(x －n )， 即y ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1n 2x ＋2n .易知A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1，n ＋1＋1n ＋1， B n ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1，n ＋1＋n －1n 2， 由a n ＝|A n B n |知，a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＋1－n －1n 2＝1n 2(n ＋1). (2)证明：∵na n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.19．(2014·成都七中3月模拟)设函数f (x )＝23＋1x (x >0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，n ∈N *，且n ≥2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 4n 恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)由a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n ≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝9(2n ＋1)(2n ＋3)＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n2n ＋3，n ∈N *.S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t ≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立． 令g (n )＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g (n )＝4n 22n ＋3＝(4n 2－9)＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)． 令p ＝2n ＋3，则p ≥5，p ∈N *.g (n )＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g (n )min ＝45.所以t ≤45，即实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，45.。