高三理科数学数列求和裂项相消法 PPT课件

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数列求和方法裂项相消法优质课教学课件

数列求和方法裂项相消法优质课教学课件
数列求和方法之一裂项相消法安阳县一中郭永锋最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．命题透视数列求
和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查
基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．本节重点
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．类题通法1.使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去
了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．2.类题
通法(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：类题通法1.裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善
于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的．2.。

高考数学一轮复习-裂项相消法求和课件

归纳总结
若an (an b) qn
令：an A(n 1) B qn1 (An B) qn bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
①
an
1 n(n
4n2 1
2n 1 2n 1
解：令an A(n 1) B 2n1 (An B) 2n
则an 2An 2A 2B 2n (An B) 2n
2An 2A 2B An B 2n An 2A B 2n
A1 2A B 0 A 1 B 2
an (n 1) 2 2n1 (n 2) 2n (n 1) 2n1 (n 2) 2n
第六章数列
第四节数列求和—裂项相消法
必备知识·整合
〔知识梳理〕
等差数列
1.通项公式：
2.前n项和公式：
等比数列
1.通项公式： 2.前n项和公式：
a1(1 qn ) q 1 1 q
(1).公式法（已知等差或等比或特殊数列） (2).分组求和法 (3).倒序相加法 (4).错位相减法 (5).裂项相消法
角度4 差比型
例题已知an n 2n，求数列n bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
(n 1) 2n1 2
1 1 an b an1 b
拓展2 混合型
(1)
n(n
1 1)(n
2)
1
2
1 n(n
1)
(n
1 1)(n
2)
(2) n 1 1 1 n2 (n 2)2 n2 (n 2)2

数列求和裂项PPT课件

2.数列求和时，先研究其通项公式，根据通项公式的特点选择相对应的求和方法；
3.用裂项求和时，要注意两点：一是通项公式能否恰好变为两项之差，有时还需要一个系数进行调节；二是正负项抵消时，剩下的项不一定是第一项和最后一项，还可能有其他情况；
4.用错位相减求和时，一定要注意计算要细心，以防出错。
n
解an
1
n n1
n 1
n
sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1
练习2、sn
lg 2
lg
3 2
lg
4 3
lg
n 1 n
第4页/共11页
练习2、Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
12Βιβλιοθήκη 1 3nan
1 n(1 n)
2 n(1 n)
2 1 n
1 n 1
2
第5页/共11页
常见的裂项式子有：
1 [(1 1) ( 1 1 )] 3 1 1 2 2 n 1 n 2 4 2n 2 2n 4
这个题，要多写一些项，多观察，才可能看出抵消的规律来。第9页/共11页
点评小结：
（1）若数列的通项能转化为 an=f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂项相消法求和，关键是裂项成功，
（2）使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项.
（3）求Sn方法的前提条件：找出通项，观察加以分析，看看适合哪一类型的求法。
第10页/共11页
谢谢您的观看！
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-
1 3n-1
)
1 (3n-1)(3n+2)
=
1 3
( 3n1-1

高三理科数学数列求和裂项相消法.ppt

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 2334
n 1 n n n 1
1 1 n 1
1 11 1
2.
an
n(n 2)
( 2n
) n 2
Sn a1 a2 a3 a 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
2n 2n b 2n1 b
1 1 2n b 2n1 b
Sn
1 2
b
1 22 b
1 22
b
1 23 b
1 2n b
1 2n1 b
2
1
b
1 2n1
b
类型一
an
1 n(n
k)
1 k
(1 n
n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an
1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.
(1)求 an 和 Sn.
1
(2)设 bn
log a2 n1
,数列
{ bn
bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以

数列求和―错位、裂项PPT课件

前n项和.
an=1+2+22 +…+2n -1=
1-2n 1-2
=2n-1
Sn= 1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23) +… +(1+2+22 +…+2n -1)
=(2-1)+(22 -1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n-1)
=(2+22+23+…+2n)-n = 2n+1-n-2
,则可求的
前n项和
数列求和
例2.求下列数列前n项的和Sn：
1 1
2
， 2
1
3
， 3
1
4
，，nn1
1，
解： 1 1 1 n (n 1) n n 1
（裂项相消法）
Sn
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 3
1) 4
(1 n 1
1) n
(1 1 ) 1 1 n
n n1
n1 n1
2.已知：an 3n 1,求
1、直接法 2、公式法 3、倒序相加法 4、错位相减法 5、分组求和法 6、裂项相消法
1.分组求和法：
若数列的通项可转化为的形式，且数列，分别是等差或等比数列，则可求出前n项和
练习：求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23…的前n项和.
2、求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23…的

裂项相消法微课堂PPT课件

(3)相邻两项裂开后，前一项的后式与后一项的前式互为相反数；
(4)裂项的关键是紧抓相邻两项的相同项；
第4页/共10页
数学运用练习 1.
、
n
n 1
A.2n 1 B.2n 1
C.2n 1
2n 1
D.2n 2 2n 1
第5页/共10页
【解析】
=
第6页/共10页
数学运用
练习2
求
Sn
1 1 3
1 24
第10页/共10页
1
型如：
an an1
{an}是d 0的等差数列
第8页/共10页
归纳小结裂项相消法
常见的拆项方法：
1 1 1 n(n 1) n n 1
1 n(n
k)
=
1（1 － kn
1 n+k
）
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
n 1 n
n 1 n
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22334
n n1
（2）求数列
1 , 1 , 1 ,, 1 1 2 2 3 3 4 n(n 1)
的和
（1）解：数列的通项公式
an
1 n
1 n 1
数列的和为
Sn
1
n
1
1
n
n
1
第2页/共10页
（2）解：
第3页/共10页
你能说“裂项相消求和法”的特征吗？
(1)通项的分母是因式相乘的形式; (2)每项裂成两个式子的差；
1 35
1 n(n
2)
解： an
1 n(n
2)

《数列求和裂项》课件

实例二：分式数列的求和
分式数列
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n})
裂项求和
利用分数的性质，将每一项拆分成更小的部分，然后进行求和。
具体操作
(frac{1}{1} + frac{1}{2} + frac{1}{3} + ... + frac{1}{n} = (1 - frac{1}{2} + frac{1}{2} - frac{1}{3} + ... + frac{1}{n - 1} - frac{1}{n}) + frac{1}{n})
裂项求和法的总结
裂项求和法是一种常用的数列求和方法，通过将数列的每一项拆分成易于求和的形式，简化求和过程。
裂项求和法适用于多种类型的数列，如等差数列、等比数列等，能够有效地解决一些复杂的数列求和问题。
在应用裂项求和法时，需要仔细分析数列的结构和特点，选择合适的拆分方式，以达到简化求和的目的。
分式形式的裂项公式在处理具有分式规律的数列时非常有效，可以大大简化计算过程，
提高解题效率。
几何级数的裂项公式
几何级数的裂项公式是指将数列中的每一项表示为几何级数的形式，然后通过化简或分解因式，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列 $1, 2, 4, 8, ldots$，其裂项公式为$2^{n-1}$。
差分形式的裂项公式在解决数列求和问题中非常常见，尤其在处理等差数列、等比数列等具有明显规律的数列时，可以大大简化计算过程。
指数形式的裂项公式
指数形式的裂项公式是指将数列中的每一项表示为指数形式，然后通过因式分解或化简，将原数列的求和问题转化为新数列的求和问题。例如，对于数列$1, 2^2, 3^3, ldots, n^n$，其裂项公式为$frac{1}{2} times (1 + n^n)$。

裂项相消法求和ppt课件

(4)an

log
a (1
1) n

__l__o__a_g (_n1)loag n
7
已知 Sn为数列an｝｛的n前项和，且S满 n n足 223n, （1）求数an的列通项（2）若 bn an1an1,求数列bn｝｛的n前项和 Tn
8
(15年全国)S卷 n为数列an｝｛的n前项和，已 an 知 0, an2 2an 4Sn 3 (1)求｛ an｝的通项公式（2）设 bn ana1n1,求数列bn｝｛的n前项和
数列求和（二）—— 裂项相消法
能力提升
1 ________
anan1
2
三、重难点点拨
• •
裂项
1 1 1 n(n1) n n1
• 请填空：
nn1212(1nn 12)
• 一般地： nn1k1k(1nn1k)
3
• 变式训练
已知 an nn21，求 Sn
已知 an n(n12),求Sn
4
三、增效练习
5
三、增效练习
6
常见的裂项求和
11 1
(1) a n

1 n(n
k)

( )
__k___n__ nk
(2)an

1 4n2 1

___12__(_2_n_1__ 12n11)
(3)an
1 n 1
____n___1 n n
18
在数列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan｝｛中， a1 若 1,an1 3an2, (1)证明数a列 n 1｛｝为等比数列 (2)求数a列 n的通项公式
19
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bn
1 2n 1 2n1 1

1 2n

1 2n 1

1 2n1 1

1 2

1 2n 1

1 2n1 1

Tn b1 b2 b3
bn

1 2

1 3

1 5

1 5

1 9

1 2n 1
Sn a1 a2 a3 an1 an
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )
21 3 2 4 3 5
n 2 n n 1 n 1 n n 2
1 (1 1 1 1 ) 2 2 n 1 n 2
n
Sn loga 2 loga 1 loga 3 loga 2 loga (n 1) loga n loga (n 1)
（5）an
2n 2n b 2n1 b
1
1
2n b 2n1 b
Sn

1 2
b

1 22 b
(2)求数列{an}的通项公式.
3
m
(3)设 bn= anan1 ,Tn是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn< 20
对所有 n∈N*都成立的最小正整数 m.
解：(1)依题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 由f′(x)＝6x－2得a＝3，b＝－2， ∴f(x)＝3x2－2x. 又由点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，得Sn＝3n2－2n.

log a2 n1
,数列
{ bn

bn2
}
的前
n
项
3
和为 Tn,求证:Tn< 4 .
【解析】(1)因为 a1,a2,a3 为某等差数列的第一、第二、第四项,所以 a3-a2=2(a2-a1),所以 a1q2-a1q=2(a1q-a1),因为 a1=1,所以 q2-3q+2=0, 因为 q≠1,所以 q=2,所以
【易错警示】使用裂项相消法的易错点
使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去
了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写或写错未被消去
的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正
负相消是此法的根源与目的，如{ 求 1 }
时，剩下的1是(1 1
1

1
n(n 2)
).
2 2 n 1 n 2
的前n项和
所以
Tn

1 [(1 21
1) (1 32

1) 4
(1 3

1) 5

(1 4

1) 6

( 1 1) ( 1 1 ) (1 1 )] n 2 n n 1 n 1 n n 2
1 (1 1 1 1 ) 2 2 n1 n 2

3 4
数列求和
解题方法指导—裂项相消法
信宜一中高三28 张乐
课前热身：
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 解析：
5
1
1
B.6
C.6
D.30
an＝nn1＋1＝nn＋n1＋－1n ＝n1－n＋1 1
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
＝1－12＋12－13＋…＋15－16＝56.

1 n

1 n 1
Sn a1 a2 a3 an1 an
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 233 4
n 1 n n n 1
1 1 n 1
2.
an

1 n(n 2)

1 (1 2n
1) n 2
（2）
an

1 4n2 1
an
（3）
1 n 1
n
（4）
an

loga (1
1) n
an
（5）
2n 2n b 2n1 b
1
(1)an n n k
1 (1 1 ) k n nk
(2)an

1 4n2 1

1
(2n 1)(2n 1)
,则{an}的前 n 项和
Sn=
.
类型一
an

1 n(n
k)

1 k
(1 n

n
1) k
例
1.数列{an}中,
an

1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
1 1 Sn= n 1 .
变式：数列{an}中,a n

n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
Sn=
.
类型一
an

1 n(n
1( 1 1 ) 2 2n 1 2n 1
Sn

1 2
(1 1
1 3

1 3

1 5

1 2n 1
1) 2n 1
1 (1 1 ) 2 2n 1
（3）an
1 n 1
n

n1 n
( n 1 n)( n 1 n)
n1 n
sn 2 1 3 2 4 3 n 1 n n 11
k)

1 k
(1 n

n
1) k
例
1.数列{an}中,
an

1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
1 1 Sn= n 1 .
变式：数列{an}中,an
1 11 1
n2
1 2n
,则{an}的前 n 项和
(1 ).
Sn= 2 2 n 1 n 2 .
1.
an

1 n(n 1)

1 2
(1 n 1

n
1
) 2

3 4
.
能力提高：（作业与测评 P271 t10）
2.(2014·深圳模拟)已知二次函数 y=f(x)的图象经过坐
标原点,其导函数为 f′(x)=6x-2,数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数 y=f(x)的图象上.
(1)求 y=f(x)的解析式.
类型二an
1 nk
1( nk nk
n)
例 2.(2014·沈阳模拟)已知幂函数 y=f(x)过点(4,2),令
an=f(n+1)+f(n),n
∈
N*,
记
数
列
{
1 an
}
的
前
n
项和为
Sn, 则
Sn=10 时,n 的值是 ( )
A.110 B.120 C.130 D.140
【解析】选 B.因为幂函数 y=f(x)=xα过点(4,2),
答案：
B
思考：a n

1
2
1 3
n ，如何求S5.
裂项相消：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
注：1.裂项相消法求和的形式,即什么时候用.
2.如何裂项，裂项后是否与原式相等. 3.如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用.
常见的裂项：
（1）
an

1 n(n k)
小结：
1 裂项相消方法求和的步骤有哪些. 2 能运用裂项相消的方法解答不等式关系、
求参数范围、不等式恒成立等问题. 3 放缩方法.
• 注：1.应用裂项相消法求和的形式,即什么时候用. 2.如何裂项，裂项后是否与原式相等. 3.如何提系数，消去之后余项是什么，即怎么用.
课后请完成：思考题：作业与测评P270 T15
1 所以 4α=2,所以α= 2 ,
所以 an=f(n+1)+f(n) n 1 n ,
所以
1 an

1 n 1

n1 n
n ( n 1 n)( n 1
n)
n 1
n,
所以数列的前 n 项和为 Sn=( -1)+( - )+ …
+(
- )=
-1,
因为 Sn=10,所以

1 22 b

1 23 b

1 2n b

1 2n1
b

2
1
b

1 2n1
b
类型一
an

1 n(n
k)

1 k
(1 n

n
1
) k
例
1.数列{an}中,
an

1 n2
n
,
则{an}的前 n 项和
Sn=
.
变式：数列{an}中,a n

n2
1 2n
-1=10,
所以 n+1=121,所以 n=120.
类型三：an
1 2n b 2n1 b
11
1

2n
( 2n

b

2n1

) b
例 3.已知 an

2n
1令 bn

an
1 an1
，
Tn 是数列bn 的前 n 项和，
证明： Tn