高三理科数学第一轮复习§4.1：平面向量的概念及其线性运算
平面向量的概念及其线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
（1）是判断两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向.
（2）若与不共线且，则 .
（3）要证明，，三点共线，只需证明与共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与共线，从而存在实数 ，使得 .
（4）（ ， 为实数），若，，三点共线，则 .
1.【微点1】（多选题）[2024·唐山六校联考] 对于任意向量， ，下列说法中正确的有( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当， 为非零向量且不共线时，不等式不成立，故A错误；对于B，易知，故B正确；对于C，若非零向量， 方向相反，则，故C错误；对于D，易知，故D正确.故选 .
相同
相反
平行
续表
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
加法
求两个向量和的运算
_
①交换律： ；#b#②结合律：
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
平行四边形法则
三角形法则
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
数乘
求实数 与向量 的积的运算
（1） .#b#（2）当时，与 的方向相同；当时，的方向与 的方向相反；当时，
3.已知（ , 为实数）,若,,三点共线,则 .
4.向量三角不等式①已知非零向量,,则（当与 反向共线时左边等号成立;当与 同向共线时右边等号成立）;②已知非零向量,,则（当与 同向共线时左边等号成立;当与 反向共线时右边等号成立）.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ _____.
[解析] ，为不共线的非零向量，， ，，则， .因为，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故A不正确；因为，所以与共线，所以，，三点共线，故B正确；因为 ，所以与不共线，所以，，三点不共线，故C不正确；因为 ，所以与不共线，所以，， 三点不共线，故D不正确.故选B.
高考数学一轮总复习 4.1平面向量的概念及其线性运算课件
×2A→D＝A→D，故选A.
答案 A
精选ppt
17
知识点三 共线向量定理
5.判一判 (1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．( ) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( ) (3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则 λ＝－12.( ) (4)设a，b为向量，则“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要 条件．( )
21
问题3 为什么共线定理b＝λa中要求a≠0？如何应用共线定
理证明三点共线？
(1)若a＝0，当b＝0时，λ有无数多个值，b≠0时，λ值不存
在，所以要求a≠0；
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使
→ AB
＝λ
→ AC
，则A，B，C
三点共线．这里注意A→B与A→C有公共点A.
精选ppt
22
高频考点 考点一 向量的有关概念 【例1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若A→B＝D→C，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝
μb，但a与b不一定共线．
答【规律方法】 1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④ 是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行 判定的行之有效的方法．
10
对点自测 知识点一 向量的有关概念 1.判一判 (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向 量．( ) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( )
高三理科数学一轮复习 第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念与线性运算课件
向量运算 定义
法则(或几何意义) 运算律
加法
求两个向量 三角形法则 和的运算
平行四边形法则
①交换律:
a+b=b+a;
②结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
8
向量运算 定义
法则(或几何意义) 运算律
减法
求a与b的 相反向量-b 的和的运算 叫做 a 与 b 的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
|λa|=|λ||a|.
3
1 ������������ = 2 ������������ + 1 (������������ − ������������) = 1 ������������ + 1 ������������, 故������������ − ������������ = 1 ������������ −
2
16
【变式训练】
1.(2015·河南八市重点检测)已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点
E 在边 AC 上,且������������=2������������,则向量������������ − ������������=( )
A.1 ������������ − 1 ������������ B.1 ������������ − 1 ������������
同理设������, ������分别为������������, ������������中点, 也有������������ = 2������������, ������������ = 2������������, 故点������为
△ ������������������的重心, 即①正确; 对于②, |������������| = |������������| = |������������|,即点 M 到三 顶点的距离相等,所以点 M 应为三角形 ABC 的外心,即②错误.
高三数学一轮复习 第4篇 第1节 平面向量的概念及线性运算 理
④两向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件.
其中错误命题的序号为
.
.
解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
②正确.∵ AB = DC ,∴| AB |=| DC |且 AB ∥ DC , 又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,
.
5.设 a,b 是两个不共线的向量,且向量 a+λb 与 2a-b 共线,则λ=
.
解析:由题意存在实数μ,使 a+λb=μ(2a-b), 即 a+λb=2μa-μb.
则
2
1,
,
解得
1 2
,
1 2
.
答案:- 1 2
.
考点突破
剖典例 找规律
考点一 平面向量的基本概念 【例 1】 (1)下列有关向量相等的命题: ①若|a|=|b|,则 a=b;
则 AB ∥ DC 且| AB |=| DC |, 因此, AB = DC . ③正确,∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且|a|=|b|,不一定 a=b 也可以是 a=-b.故|a|=|b|且 a∥b 不 是 a=b 的充要条件,而是必要不充分条件. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A.
.
编写意图 平面向量的概念及线性运算是高考必考内容,难度不大. 本节重点突出平面向量的线性运算及两个向量共线的含义,难点突破 平面向量的有关概念,如零向量与其他向量的关系,向量与实数的区 别等,通过思想方法栏目使学生体会了运用方程思想解有关平面向量 的线性运算问题.
平面向量的概念及线性运算课件-2025届高三数学一轮复习
+ + = ,所以 = −,所以为的中点. 又因为为
的中点，所以△ =
△
=
,
△
△
则
△
= .
考点一 平面向量的有关概念
例1 （多选）下列命题中的真命题是(
)
A.若 = ，则 =
B.若,,,是不共线的四点，则“ = ”是“四边形为平行四边
√
形”的充要条件
C.若 = , = ��,则 =
√
D. = 的充要条件是 = 且//
解析：两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确;因为
= ,所以 = 且//,又,,,是不共线的四点，所以四
边形为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，则
2025届高考数学一轮复习讲义
平面向量、复数之
平面向量的概念及线性运算
1.向量的有关概念
方向
（1）向量：既有大小又有①______的量叫做向量，向量的大小叫做向量
模
的②____.
0
（2）零向量：长度为③___的向量，其方向是任意的.
1个单位长度
（3）单位向量：长度等于④_____________的向量.
定义
法则（或几何意义）
运算律
=⑩______，当
> 时,
=⑭_______;
相同
求实数
与的方向⑪______；
+ =⑮
数乘 与向量的 当 < 时,与 的方向⑫
+
_________;
相反
积的运算 ______；
+
高考数学(理)一轮复习精选课件：第4章 第1节 平面向
闯关二：典题针对讲解——与三角形联系，求参数的值
[例 4] (2013·江苏高考)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的
点，AD＝1AB，BE＝2BC.若
2
3
DE
＝λ1
AB ＋λ2
AC
(λ1，λ2 为实数)，
则λ1＋λ2 的值为________．
【解析】 DE ＝ DB ＋ BE ＝1 AB ＋2 BC ＝1 AB ＋2( AC － AB )＝
42
33
24
33
解析：选 B 如图， AF ＝ AD ＋ DF ，
由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，
故
DF
＝1 3
AB
，则
AF
＝1a＋1b＋1 223
1a－1b 22
＝2a＋1b. 33
高频考点全通关——平面向量的线性运算
闯关四：及时演练，强化提升解题技能
2. 若 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边中点，
高频考点全通关——平面向量的线性运算
闯关二：典题针对讲解——考查向量加法或减法的几何意义
[例 1] (2012·辽宁高考)已知两个非零向量 a，b 满足
|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( ) A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
【解析】法一：(代数法)将原式平方得|a＋b|2＝|a－b|2，
第一节 平面向量的概念及其 线性运算
1．了解向量的实际背景．
考 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．
纲 3．理解向量的几何表示．
展 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量
2022届高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算课时作业 理(含解析)北师大版
第一节平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第315页[A组基础保分练]1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝（）A．0 B．BE→C．AD→D．CF→解析：由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→．答案：D2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝（OA→＋OC→）＋（OB→＋OD→）＝2OM→＋2OM→＝4OM→．答案：D3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→－12OB→－3OC→＝0，则（）A．OA→＝12AB→＋3AC→B．OA→＝12AB→－3AC→C．OA→＝－12AB→＋3AC→D．OA→＝－12AB→－3AC→解析：对于A，OA→＝12AB→＋3AC→＝12（OB→－OA→）＋3（OC→－OA→）＝12OB→＋3OC→－15OA→，整理，可得16OA→－12OB→－3OC→＝0，这与题干中条件相符合．答案：A4．已知e1，e2是不共线向量，a＝m e1＋2e2，b＝n e1－e2，且mn≠0．若a∥b，则mn等于（）A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ（n e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故m n＝－2．答案：C5．（2021·潍坊模拟）若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2解析：设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12．答案：A6．如图所示，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点．若OD →＝xAB→＋yAC →，则x ＋y ＝（ ）A ．112 B ．13C ．23 D ．34解析：设点E 为BC 的中点，连接AE （图略），可知O 在AE 上，由OD →＝OE →＋ED →＝13AE →＋14CB →＝16（AB →＋AC →）＋14（AB →－AC →）＝512AB →－112AC →，故x ＝512，y ＝－112，x ＋y ＝13． 答案：B7．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ．若用OA →和OB →来表示向量OC→，则OC →＝_________．解析：易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14（OB →－OA →）＝34OA →＋14OB →． 答案：34OA →＋14OB →8．（2021·邯郸模拟）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝_________．解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ（a ＋2b ），即（λ－μ）a ＋（1－2μ）b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12．答案：129．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13（a ＋b ）， PQ →＝OQ →－OP→＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝13（a ＋b ）－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ．由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3．10．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c 与x a ＋y b （x ，y 为非零实数）共线，求xy的值．解析：设e 1，e 2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ（x a ＋y b ），所以e 1－2e 2＝2λ（x －y ）e 1＋λ（x －2y ）e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，所以x y 的值为65．[B 组 能力提升练]1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案：A2．（2021·丹东五校协作体联考）P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2（PB →－PA →），所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同．所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S △PAB ＝S △ABC3＝2．答案：A3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13bC ．12a ＋14b D ．13a ＋23b解析：如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，AD →＝12a ＋12b ，AB →＝12a －12b ，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，所以DF →＝13AB →．所以AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b ．答案：B4．如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝（ ）A ．AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C ．AD →－AC → D ．2AD →－2AC →解析：连接CD （图略），因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2（AD →－AC →）＝2AD →－2AC →．答案：D5．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ＝_________． 解析：∵A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．答案：236．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝_________．解析：因为AM →＝12（AB →＋BH →）＝12[AB →＋x （AB →－AC →）]＝12[（1＋x ）AB →－xAC →]，又因为AM→＝λAB →＋μAC →，所以1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，所以λ＋μ＝12． 答案：127．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2． （1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解析：（1）证明：由已知得BD →＝CD →－CB→＝（2e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2． 因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →．又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． （2）由（1）可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2， 由B ，D ，F 三点共线得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12． [C 组 创新应用练]1．（2021·郑州模拟）如图所示，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA→＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →．若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA （图略），则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF ＜13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ． 答案：B2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ．若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →（λ∈R ），则AD 的长为_________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图所示，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，因为△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形AMDN 是菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝33． 答案：333．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是_________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4]。
高考理科第一轮课件(4.1平面向量的概念及线性运算)
（2）选D.向量的共线与向量的平行是同义的，故A正确；根据 相反向量的概念可得B正确；由向量相等的概念可知C正确；当 两向量的模相等时，方向不一定相同.故D不正确. （3）①不正确，虽然终点相同，但两个向量也可 能不共线，如图，a,b不共线；②不正确，向量不 能比较大小；③不正确，当λ=μ=0时，a与b可为 任意向量，不一定共线.综上①②③都不正确. 答案：①②③
【规范解答】（1）选A.∵ AB BC CA＝0， ＋ ＋ ∴ 2AD 2BE＋2CF 0， ＋ ＝
即 AD BE CF 0. ＋ ＋ ＝ （2）选D.由题意得 PA PB PC PC PA， ＋ ＋ ＝ －
即 PB ＝－2PA 2AP. ＝
)
4.如图，正六边形ABCDEF中， ＋CD EF ＝( BA ＋
(A)0 (B) BE (C) AD (D) CF
)
【解析】选D.BA CD EF CD DE EF CE EF CF. ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
【解析】①正确；②数与向量的积为向量，而不是数，故不正
确；③当a=b时|a|=|b|且a∥b，反之不成立，故错误；④当 a,b不同向时不成立，故错误． 答案：①
考向 2 平面向量的线性运算
【典例2】（1）如图，
D，E，F分别是△ABC的边AB，
BC，CA的中点，则(
A AD＋BE＋CF＝0 B BD－CF＋DF＝0 C AD＋CE－CF＝0 D BD－BE－FC＝0
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第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
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第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
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第四章：平面向量与解三角形 Biblioteka 4.1：平面向量的概念及其线性运算
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第四章：平面向量与解三角形 §4.1：平面向量的概念及其线性运算
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