量词与含有一个量词的命题的否定
1.4.3含有一个量词的命题的否定
例2：
写出下列特称命题的否定：
（1）p: 存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立； （2）p: 有些三角形不是等腰三角形； （3）p: 有一个素数含三个正因数.
（1） ┐p：所有的实数都使得2x＋3y＋3≤0成立； （2） ┐p：所有的三角形都是等腰 三角形； （3） ┐p：所有的素数都不含有三个因数.
命
全称命题
题
特称命题
表 述
(1)所有x A, p(x)成立.
(1)存在x0 A,使p(x0 )成立.
(2)对一切x A, p(x)成立. (2)至少有一个x0 A,使p(x0 )
(3)对每一个x A, p(x)成立. 成立.
方 (4)任选一个x A,使p(x) 法 成立.
(3)对有些x0 A,使p(x0 )成立. (4)对某个x0 A,使p(x0 )成立.
探究一：
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0.
（1）并非所有的矩形都是平行四边形; 即 存在矩形不是平行四边形；
（2）并非每一个素数都是奇数；
即 存在素数不是奇数； （3）并非所有的x ∈ R，x2-2x+1≥0.
即 x0 ∈ R，x02-2x0+1<0.
一般地 , 对于含有一个量词的全称命题的 否定 , 有下面的结论:
结论一：
全称命题p : x ∈M，p （ x）， 它的否定┐p : x0 ∈M, ┐p （ x0 ）.
例1：
写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有自然数的平方是正数； （2）p：所有可以被5整除的整数，末位 数字都是0； （3）p：每一个四边形的四个顶点共圆.
第五讲 全称量词命题与存在量词命题的否定-2021年新高一数学2019人教B版必修第一册
第五讲全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．3．会对含有一个量词的命题进行否定．4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【基础知识】一、命题的否定1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．3．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个二、全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。
它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。
2．存在量词的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。
它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。
3．结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。
4．全称量词命题与存在量词命题的否定判断真假：(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．【考点剖析】考点一：命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.【解析】(1) ¬p：y＝sin x不是周期函数．假命题．(2) ¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题．(3) ¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．(4) ¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．【答案】见解析考点二：全称量词命题的否定例2写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)对所有正数x，x>x＋1；(2)∀x∈R，x3＋1≠0；(3)所有被5整除的整数都是奇数；(3)所有的正方形都是矩形．【解析】(1)该命题的否定：存在正数x，x≤x＋1，真命题．(2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0，真命题．(3)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数，真命题．(4)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．【答案】见解析考点三：存在量词命题的否定例3写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．①有些实数的绝对值是正数；②某些平行四边形是菱形；③∃x∈R，x2＋1<0；④∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.【解析】①该命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．假命题.②该命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题.③该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题.④该命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．假命题.【答案】见解析考点四：命题的否定含有参数的应用例4已知命题p：∃x∈(1,3)，x－a≥0；若¬p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(3，＋∞)C．(－∞，3] D．[3，＋∞)(2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】∃x∈(1,3)，x－a≥0的否定为∀x∈(1,3)，x－a<0，因为¬p为真命题，所以x<a在x∈(1,3)上恒成立．故a≥3.【答案】D【真题演练】1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是()A．①B．②C．③D．④【解析】所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”．【答案】 C2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0【解析】命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.【答案】 C3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【解析】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.【答案】 B4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0【解析】命题是存在量词命题，即∃x∈R，|x|>0，其否定为∀x∈R，|x|≤0.【答案】 C5．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n>1 000【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，“>”的否定为“≤”．【答案】 A6．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形都是等腰三角形【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.【答案】 C7．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为______________，此命题的否定是______________，其否定是________命题(填“真”或“假”)．【答案】∃x，y∈R，使得x＋y>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1假8．“至多有2个人”的否定为________．【解析】“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．【答案】至少有3个人9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何有理数都是实数．(2)存在一个实数a，能使a2＋1＝0成立．【解析】(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数．因为原命题是真命题，所以其否定是假命题．(2)该命题的否定：任意一个实数a，都不能使a2＋1＝0成立．因为a2＝－1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题．【答案】见解析【过关检测】1．下列命题的否定是真命题的为()A ．p 1每一个合数都是偶数B ．p 2两条平行线被第三条直线所截内错角相等C ．p 3有些实数的绝对值是正数D ．p 4某些平行四边形是菱形【解析】 若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p 1为全称量词命题，且是假命题，则﹁p 1是真命题．命题p 2，p 3，p 4均为真命题，即﹁p 2，﹁p 3，﹁p 4均为假命题．【答案】 A2．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( ) A ．{a |a <－1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【解析】 ∵p 为假命题，∴¬p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ， ∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是{a |a ≥1}，故选B. 【答案】 B3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2【解析】 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D. 【答案】 D4．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋a ≠0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤14B ．a <14C ．a <－14或a >0D ．a ≤－14或a ≥0【解析】 ∵p 是假命题，∴命题p 的否定，即∃x ∈R ，x 2＋x ＋a ＝0是真命题．∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.【答案】 A5．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除【解析】 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.【答案】 C6．下列四个命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x ＋1x ≥2B ．∃x ∈R ，x 2－x >5C ．∃x ∈R ，|x ＋1|<0D ．∀x ∈R ，|x ＋1|>0【解析】 选项A ，当x <0时，x ＋1x ≥2不成立，所以A 错；选项C ，绝对值恒大于等于0，故C 错；选项D ，当x ＝－1时，|x ＋1|＝0，所以D 错，故选B.【答案】 B7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．【解析】 把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 【答案】 所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．若命题“∃x ＜2 019，x ＞a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 由于命题“∃x ＜2 019，x ＞a ”是假命题， 因此其否定“∀x ＜2 019，x ≤a ”是真命题，所以a ≥2 019.【答案】 [2 019，＋∞)9．若命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 因为命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题，所以其否定“∃x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是真命题，所以Δ＝32－4×2×a ≥0，解得a ≤98.故实数a 的取值范围是a ≤98.【答案】 a ≤9810．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆； (4)∃x ，y ∈Z ，使得2x ＋y ＝3； (5)∀x ∈Z ，x 2与3的和不等于0； (6)有些三角形的三个内角都为60°.【解析】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行．”由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x ，y ∈Z ，都有2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3， ∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．(5)命题的否定：∃x ∈Z ，x 2与3的和等于0.是假命题．(6)命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都为60°.是假命题． 【答案】 见解析11．已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，求实数a 的取值范围． 【解析】 题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1＝0”为真命题，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根．所以a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0，或a ≤1且a ≠0，所以a ≤1.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤1}． 【答案】 {a |a ≤1}。
常用逻辑用语含有一个量词的命题的否定
在日常生活中，我们常常需要对这些命题进行否定。如“不是所有的猫都喜欢吃 鱼”、“不是所有人都喜欢运动”、“不是有些人喜欢吃甜食”等等。这些否定 命题中，量词不变，但是否定的内容变了。
在法律和医学中的应用
法律中的否定
在法律中，否定命题的应用非常广泛。如“不得侵犯他人的 人身权利”、“不得盗窃他人财物”、“不得伪造证件”等 等。这些命题中都包含着量词，如“不得”、“可以”。
命题
命题是一个判断（陈述）的语义表达，它可以被证实为真或 假。
命题的否定的定义与性质
命题的否定
命题的否定是在原命题的基础上，对其结论进行否定，即原命题为真，其否 定为假；原命题为假，其否定为真。
命题否定的性质
命题的否定具有唯一性，即对于任何一个命题，其否定只有一个。
常用逻辑用语与命题否定的关系
关系
02
关注逻辑学的新进展：随着逻辑学的发展，对于含有一个量词的命题的否定的 研究也在不断深入。需要关注逻辑学的新进展，以便了解最新的研究成果和研 究趋势。
03
研究实际应用：研究含有一个量词的命题的否定不仅是为了理论上的探讨，还 为了解决实际应用中的问题。因此，需要结合实际应用场景，研究和解决具体 问题。
04
命题否定与逻辑关系
命题否定与逻辑运算符的关系
命题否定与逻辑运算符的关联
命题否定是一种逻辑否定与逻辑运算符的差异
命题否定只对一个命题进行操作，而逻辑运算符可以对多个命题进行操作。
命题否定与逻辑推理的关系
命题否定与逻辑推理的关联
数学命题的否定
数学命题的否定是指以原命题的否定的真假为依据，即 若原命题为真则其否命题为假，若原命题为假则其否命 题为真。
在日常思维中的应用
含一个量词的命题的否定 课件
│ 考点类析
[小结] (1)对任意的实数 x，a>f(x)恒成立，只需 a>f(x)max； 若存在一个实数 x0 ，使 a>f(x0 )成立，只需 a>f(x)min.(2)关于 恒成立的问题的求解方法：一是转化为二次函数求解；二是 利用分离参数法求解．
__∀__x_∈__M__，__￢_p__(_x_) ___________.
│ 预习探究
一些常见的量词的否定
词语 词语的 否定
词语
词语的 否定
是
不是
至少有 一个 一个 也没有
一定是
不一定是
至少 有n个 至多有 n－1 个
都是 大于
小于 且
不都是
小于或 等于
大于或 等于
或
至多 所有 x 有一个 成立
│ 考点类析
例 2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假． (1)p：∃x0∈R，2x0＋1≥0； (2)q：∃x0∈R，x20－x0＋14<0； (3)r：有些分数不是有理数． 解：(1) ￢p：∀x∈R，2x＋1<0，￢p 为假命题． (2) ￢p：∀x∈R，x2－x＋14≥0. ∵x2－x＋14＝x－122≥0，∴￢p 是真命题． (3) ￢r：一切分数都是有理数，￢r 是真命题．
含有一个量词的命题的否定
► 知识点一 含有一个量词的全称命题的否定
对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定￢p： _____∃__x0_∈__M__，__￢__p_(_x_0_) ______.
► 知识点二 含有一个量词的特称命题的否定 对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：
全称量词存在量词-含有一个量词的命题的否定
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(2)用全称量词或存在量词表示下列语句： ①有理数都能写成分数形式； ②方程 x2＋2x＋8＝0 有实数解； ③有一个实数乘以任意一个实数都等于 0.
【解】 ①任意一个有理数都能写成分数形式. ②存在实数 x，使方程 x2＋2x＋8＝0 成立. ③存在一个实数 x，它乘以任意一个实数都等于 0.上一页返回首页第二十二页，共三十八页。
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【自主解答】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”. 由平行四边形的定义知，这是假命题.
(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”.因为 02＝0，不是正 数，所以该命题是真命题.
(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”.因为只有对角互补的四边形才 有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题.
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全XX称X (quán chēnɡ)命题与特称命题的真假 判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x0∈R，使x0－1 1＝0； (3)存在一组 m，n 的值，使 m－n＝1； (4)至少有一个集合 A，满足 A {1,2,3}.
(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有 2x＋y≠3”. ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题.
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对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 1.确定命题类型，是全称命题还是特称命题. 2.改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全 称量词. 3.否定结论：原命题中的 “是”“有”“存在 ”“成立”等改为“不 是”“没有”“不存在”“不成立”等. 4.无量词的全称命题要先补回量词再否定.
《含有一个量词的命题的否定》 说课稿
《含有一个量词的命题的否定》说课稿尊敬的各位评委、老师们：大家好！今天我说课的内容是《含有一个量词的命题的否定》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析本节课是高中数学选修2-1 第一章第四节的内容。
在前面的学习中，学生已经掌握了全称量词和存在量词的概念以及全称命题和特称命题的形式。
本节课在此基础上，进一步研究含有一个量词的命题的否定，这不仅是对前面知识的深化和拓展，也为后续学习逻辑推理和证明打下坚实的基础。
教材通过具体的例子，引导学生观察、分析、归纳，总结出含有一个量词的命题的否定的规律和方法，体现了从特殊到一般的数学思想。
二、学情分析学生在之前的学习中已经对全称量词和存在量词有了一定的认识，但对于命题的否定还处于较为模糊的阶段。
在学习过程中，学生可能会在理解和运用命题的否定规则时出现困难，容易混淆全称命题和特称命题的否定形式。
因此，在教学中要注重引导学生通过实例进行分析和比较，加深对概念的理解和掌握。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解含有一个量词的命题的否定的概念。
（2）掌握全称命题和特称命题的否定形式，并能正确地写出它们的否定。
（3）能够运用含有一个量词的命题的否定解决一些简单的数学问题。
2、过程与方法目标（1）通过具体例子的分析和探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的思维过程，体会数学思想方法的应用。
3、情感态度与价值观目标（1）通过自主探究和合作交流，激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生勇于探索的精神。
（2）让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的信心。
四、教学重难点1、教学重点（1）全称命题和特称命题的否定形式。
（2）正确写出含有一个量词的命题的否定，并判断其真假。
2、教学难点理解全称命题和特称命题的否定形式的本质，以及在实际应用中灵活运用命题的否定解决问题。
全称量词与存在量词
特称命题”存在 中的一个 中的一个x,使 特称命题”存在M中的一个 使p(x) 成 立”可用符号简记为
（3）存在实数x，使得x +x-1=0。 存在实数 实数x 使得x +x-1=0。
2
2
∃x ∈x ∈ Biblioteka , 使得x(+xx).1 = 0。 ∃ M, p −
成立” 读作”存在一个x,使p(x)成立”. 存在一个 使 成立
表 述 方 法
（3）对每一个 x ∈ A ，使 p ( x) 成立； ； 成立； 立 （4）任意一个 （5）若 ，使 成立； 3）对有些 x ∈ A ，使 p ( x) 成立； 成立； （ 成立； （4）对某个 x ∈ A ，使 p (x) 成立； 成立； （5）有一个 x ∈ A ，使 p (x) 成立； 成立；
在以上命题的条件中， 所有” 每一个”“任 在以上命题的条件中，“所有”“每一个”“任 ”“ 何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整 ”“任意一条 任意一 一切”都是在指定范围内， 体或全部的含义，这样的词叫 全称量词 并用符号 体或全部的含义，这样的词叫作全称量词,并用符号 ∀ “ 含有全称量词的命题,叫 全称命题. ”表示.含有全称量词的命题 叫作全称命题 表示 含有全称量词的命题
含有一个量词的
命题的否定
（1）所有正方形都是矩形； 所有正方形都是矩形； 正方形都是矩形 每一个有理数都能写成分数的形式 有理数都能写成分数的形式； （2）每一个有理数都能写成分数的形式； 任何实数乘 都等于0 实数乘0 （3）任何实数乘0都等于0； 如果直线L垂直于平面α内的任意一条 （4）如果直线L垂直于平面α内的任意一条 直线，那么直线L垂直于平面α 直线，那么直线L垂直于平面α； 。 一切三角形的内角和都等于 三角形的内角和都等于180 （5）一切三角形的内角和都等于180 。
全称量词命题和存在量词命题的否定
2021-2022学年高一上数学必修一1．5.2全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(√)3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(×)一、全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x∈N,2x>0.解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．二、存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是() A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1答案 D解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案 C解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是()A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案 C解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．4．命题“同位角相等”的否定为________．答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则()A．綈p：∃x∈R，|x|>1B．綈p：∀x∈R，|x|>1C．綈p：∃x∈R，|x|≥1D．綈p：∀x∈R，|x|≥1答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定()A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x ∈R ，x 2>0；(2)∃x ∈R ，x 2＝1；(3)∃x ∈R ，x 是方程x 2－3x ＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解 (1)命题的否定：∃x ∈R ，使x 2≤0，因为x ＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x ∈R ，使x 2≠1，因为x ＝1时，x 2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x ∈R ，x 不是方程x 2－3x ＋2＝0的根，因为x ＝1时，12－3×1＋2＝0，即x ＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p 是“对某些实数x ，若x －a >0，则x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，若x －a >0，则x －b >0.(2)b ≤a .11．下列命题的否定是真命题的是( )A ．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B解析 A 的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题， B 的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，C 的否定：有些等边三角形不相似，假命题，D 的否定： 3不是方程x 2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a－2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故选D.13．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________，命题∃x ∈R ，x 2＋1<0的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 {a |a ≤0，或a ≥1}解析 若命题p 为真命题，则Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1，所以当p 为假命题时，a 的取值范围是a ≤0或a ≥1.15．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是( )A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1答案 D解析 由题意可知，全称量词命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1”，故选D.16．已知命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围．解 因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a ＝0时，对任意的x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且其判别式Δ＝4a 2＋12a ≤0，即－3≤a <0；综上知，实数a 的取值范围是{a |－3≤a ≤0}．。
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第4课时 量词和含有一个量词的命题的否定
【学习目标】
1.了解全称量词与存在量词的意义
2. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定
【自学评价】
1.全称量词与全称命题
（1）“ ”“ ”“ ”等表示 的量词在逻辑中称为全称量词，通常用“ ”表示“对任意x ”
（2）含有 的命题称为全称命题
（3）全称命题的一般形式可表示为
2.存在量词与存在性命题
（1）“ ”“ ”“ ”等表示 的量词在逻辑中称为存在量词，通常用“ ”表示“存在x ”
（2）含有存在量词的命题称为
（3）存在性命题的一般形式可表示为
【精典范例】
思维点拨：判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中至少能找到一个元素x ，是p(x)为真，否则为假。
判定一个全称命题为真，必须对给定的集合中所有x ，验证p(x)成立
例1、 判断下列命题的真假
（1）x x R x >∈∃2,
（2）x x R x >∈∀2,
（3）08,2=-∈∃x Q x
（4）02,2>+∈∀x R x
例2、 写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假
（1） 所有人都晨练
（2） 01,2
>++∈∀x x R x
（3） 平行四边形的对边相等
（4） 01,2=+-∈∃x x R x 思维点拨：(1)方法：确定否定量词→写出命题的否定→判断命题的否定的真假
【】
1、试判断以下命题的真假
（1）02,2>+∈∀x R x
（2）1,4≥∈∀x N x
（3）1,3<∈∃x Z x
（4）3,2=∈∃x Q x
2、写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假，指出命题的否定属全称命题还是存在性命题
（1）p ：所有的有理数是实数
（2）p ：有的三角形是直角三角形
（3）p ：每个二次函数的图象都与y 轴相交
（4）p ：02,2>-∈∀x x R x
3、已知0>a ，设命题p ：函数x a y =在R 上单调递增，命题q ：不等式012>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，若q p ∧为假，q p ∨为真，求a 的取值范围。
小结：
（1） 全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题
（2） 全称命题、存在性命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题、
存在性命题的否定是将全称量词改为存在量词或将存在量词改为全称量词，并把结论否定；而命题的否定，则直接否定结论即可.。