《二次函数综合应用》
第六篇 二次函数综合应用
∵直线 交 轴于A点，交 轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的关系式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该 抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则 ，又 .
当x＞ 时，y随x的增大而增大．
＜0
⑴开口向下，并且向下无限伸展；
⑵当x＝ 时，函数有最大值 ；
当x＜ 时，y随x的增大而增大；
当x＞ 时，y随x的增大而减小．
3.二次函数图象的平移规律
抛物线 可由抛物线 平移得到.由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式 来讨论．简单地说：“左正右负 上正下负”
因为当x=47时，利润y有最大值，而超过47时，利润y反而减少。
要想卖的越多赚的越多，即 随 的增大而增大，
由二次函数性质可知，x≤47，
所以当x=47时，最低售价应定为60－0.1（47－10）=56.3元．
题型四、面积和周长问题最值
例题1、已知二次函数y＝mx2－5mx＋1（m为常数，图像的对称轴对称．
c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
c＝0，抛物线经过原点；
c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．
⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：
①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
(中考数学复习)第18讲-二次函数综合应用-课件-解析
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浙派名师中考 (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 解：(1)把x＝0，y＝2，及h＝2.6代入到y＝a(x－6)2＋h中，
B．4 s
C．3 s
D．2 s
B
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浙派名师中考 B
图18－1
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浙派名师中考
4．(2013·宁波)如图18－2所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3，0)，下列结论
中，正确的一项是
( D )
图18－2 A．abc<0 B．2a＋b<0 C．a－b－c<0 D．4ac－b2<0
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5．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成 的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m加设一根不锈 钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图18－3所示)， 则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( C )
函数图象得
∴函数关系式为y＝－x＋180.
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(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是 商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最 大，最大利润是多少？ 解： W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180) ＝－x2＋280x－18 000 ＝－(x－140) 2＋1 600， 当售价定为140元，W最大＝1 600. ∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1 600元．
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用㈠一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点．(1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．2.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点. （1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：（其中是原点）；（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）.⑴求抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ，c 的值；（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．8如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．9．如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－，0)，点C (0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C ．（1）求∠ACB 的度数；（2）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形．若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．10如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．11在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()40A -，，()04B -，，()20C ，三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB △的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y x =-上的动点，判断有几个位置能够使得点P Q B O ，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．12如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x 轴于点P ，交y 轴于点A ．抛物线y=x 2+bx+c 的图象过点E （﹣1，0），并与直线相交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标；（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．。
(完整版)初中数学二次函数综合应用
3、已知二次函数 y=mx2+5x-4，它的图像开口向下，且与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于 点 C，其顶点为 D。 （1）求 m 的取值范围； （2）如果△ABC 的面积为 6，试求 m 的值； （3）若直线 x=k 将第（2）题中的四边形 ACBD 的面积平分，则直线 x=k 截四边形 ACBD 所得的线段的长为多少？
知识精解
二次函数性质及相关扩展
1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线；
2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下;
3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b2)/4a）,
对称轴：x= -b/2a
4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0)
h= -b/2a, k=(4ac-b2)/4a
②求根公式：x＝ b b2 4ac ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。 2a
当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
当△＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
当△＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
③运用抛物线的对称性：
若已知抛物线上两点 (x1,
y)、(x2 ,
y)
，则对称轴方程可以表示为：x
x1
2
学 科 中考数学 课题名称
二次函数综合应用
教学目标 教学重难点
二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习 二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识 点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后 2 道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题 方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 重点：二次函数解析式的确定，二次函数与 x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的 存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点。
1) 求$c$的取值范围；2) 确定直线$y=cx+l$经过的象限，并说明理由。
2.已知函数$y=mx-6x+1$（$m$是常数）。
⑴证明：不论$m$为何值，该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与$x$轴只有一个交点，求$m$的值。
考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$。
1）求此二次函数的解析式；2）证明：3）若是线段$AB$的图像经过点$C$，且与$x$轴交于点$D$（其中$D$是原点）；二次函数图像及轴于$AB$两点，试问：是否存在这样的点，使$y$的坐标最大；若存在，请求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(1,0)$,$B(-3,0)$两点。
1）求该抛物线的解析式；2）设（1）中的抛物线交$y$轴与$C$点，在该抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使得$\triangle QAC$的周长最小？若存在，求出$Q$点的坐标；若不存在，请说明理由。
3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点$P$，使$\triangle PBC$的面积最大。
若存在，求出点$P$的坐标及$\triangle PBC$的面积最大值。
若没有，请说明理由。
考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线$y=x-3$与$x$轴交于$A$点，交$y$轴于$B$点，过$A$、$B$两点的抛物线交$x$轴于另一点$C$。
⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangleABQ$是等腰三角形？若存在，求出符合条件的$Q$点坐标；若不存在，请说明理由。
7、如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，$OA=1$，$OC=4$，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A$，$B$两点，抛物线的顶点为$D$。
九年级秋季班-第8讲二次函数综合应用
二次函数综合应用内容分析二次函数的综合应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；（3）拟二次函数图像问题，包括拱桥问题，物体的运动轨迹问题等，可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题；（4）二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程和不等式等的代数综合；（5）二次函数与相似三角形、二次函数与动点、二次函数与圆等的几何综合．二次函数综合应用主要考察学生灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题的综合能力，难点在于不同知识点的融会贯通，是最近中考压轴题主要的考察题型之一．知识结构模块一：利润问题知识精讲1、利润问题求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．例题解析【例1】进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系为（）A．y = 2a (x -1) B．y = 2a (1 -x) C．y =a (1 -x2 ) D．y =a (1 -x)2【例2】某化工材料经销公司购进一种化工原料7 吨，价格为每千克30 元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于每千克30 元．经市场调查发现：单价为70 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克．在销售过程中，每天还要支付其他费用450 元．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围．（2）若商店期望日均获利不少于1800 元，则单价应定为多少？（3）在满足商店期望获利条件下，若要尽早销售完毕，则应如何定价？【例3】 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图，折线 ABD 、线段 CD 分别表示该产品每千克的生产成本 y 1 （单位：元）、销售价 y 2 （单位： 元）与产量 x （单位：kg ）之间的函数关系．（1）解释图中点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段 AB 所表示的 y 1 与 x 之间的函数解析式；（3）当该产品的产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？【例4】 为了改善城市环境，某市规划在市中心修建一个市民休闲广场．设计如图所示， 中间为一个矩形，分别以矩形的四条边为直径向外作半圆，要求整个广场的外围周长为 628 米．准备在中间的矩形区域内种植花木和铺设鹅卵石等，平均每平方 米造价为 428 元；在四个半圆区域内种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为 400 元．（ π 取 3.14）（1）试写出矩形相邻两边长 x （米）、y （米）满足的函数关系式；（2）设该项工程总造价为 W 元，求 W 与矩形一边长 x （米）的函数关系式； （3）市政府预算投入 1 千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由；（4）根据题意，显然中间的矩形区域面积越小，总造价越低．考虑到整体美观，要求矩形尽量接近黄金矩形（宽与长之比为 5 -1≈ 0.618 ）．结果通过企业2 募捐，又增加了部分资金，工程结束后核算，总造价为 1064.82 万元．问建成后矩形区域的长和宽各是多少？y 120 C60 A 42 BDO90 130 xQ150 100 O 50150250t( )【例5】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿市场售价 P （元/100 kg ）与上市时间 t （2 月 1 日开始的天数）有函数关系：⎧⎪300 - t (0 ≤ t ≤ 200) P = ⎨ ⎪⎩2t - 300200 < t ≤ 300 ，西红柿的种植成本 Q （元/100 kg ）与上市时间 t 也存在如图所示的二次函数关系式．设市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？【例6】 四川汶川大地震发生后，某工厂 A 车间接到生产一批帐篷的紧急任务，要求不超过 12 天完成．已知每顶帐篷的成本价为 800 元，该车间平时每天能生产车 间 20 顶．为了加快进度，车间组织工人加班，挖掘潜力，生产效率得到了提高．这 样，第一天生产了 22 顶，以后每天生产的帐篷都比前一天多 2 顶．由于机器损 耗能原因，当每天生产的帐篷数达到 30 顶后，每增加一顶帐篷，当天生产的所有帐篷，平均每顶的成本就增加 20 元．设第 x 天生产的帐篷为 y 顶． （1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若这批帐篷的订购价格为没顶 1200 元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为 W 元，试求出 W 与 x 之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？【例7】某产品每件成本50 元，出售价70 元，2014 年销售量5 万件．为了进一步拓展销路，厂家投入一定资金做广告．2015 年和2016 年分别支出广告费用10 万元和20 万元，年销售量分别是做广告前的1.5 倍和1.8 倍．设做广告后年销售量与原销售量的比值y 是关于广告费x（万元）的二次函数．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）设年销售总额减去成本和广告费后所得的利润为S 万元，求S 与x 的函数关系式；（3）你认为厂家是否应该继续投入大量广告费，以求年利润随广告费投入的增加而无限增加？y ACB O x知识精讲例题解析门门门1、 面积问题求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．【例8】 二次函数 y = 3x 2 的图像如图所示，点 O 为坐标原点，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 B 、C 在二次函数的图像上，四边形 OBAC 为菱形，且∠OBA = 120︒ ，则菱形 OBAC 的面积为．【例9】 一边靠长为 15 米的围墙，其他三边用总长 40 米的篱笆围成一个矩形花圃，如何围法，可使花圃的面积最大？【例10】 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙壁（墙壁足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1 m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27 m ，则能建成的饲养室的面积最大为m 2．模块二：面积问题【例11】 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为 80 米的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，设 BC 的长度是 x 米，矩形区域 ABCD 的面积为 y 平方米． （1）求 y 与 x 之间的函数解析式，并注明自变量 x 的取值范围； （2）当 x 取何值时，y 有最大值？最大值是多少？【例12】 如图，某市在城建规划中，准备在市中心一块长方形空地 ABCD 上建一块长方形绿化区域．因为空地一角有一个文物保护设施，所以规划时不能超越线段 EF ，进入 AEF 内．已知长方形的长 AB = 200 米，宽 AD = 160 米，AE = 60 米， AF = 40 米．如何规划能使这个绿化区的面积最大？DFC岸 堤 A E BGHy DGCFP H AEB x【例13】 如图 1，为美化校园，某校计划在一块长为 60 米，宽为 40 米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 a 米．（1）用含 a 的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 38 ，求出此时通道的宽；（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y 1 （元）、 y 2 （元）与修建面积 x （平方米）之间的函数关系如图 2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目， 并要求修建的通道的宽度不少于 2 米且不超过 10 米，那么当通道的宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？通道y62000 48000800 1200图 2x图 11、 拟二次函数图像问题拟二次函数函数图像问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关问题．主要包括拱桥问题、运行轨迹问题等．【例14】 一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度 h （m ）与足球被踢出后经过的时间 t （s ）之间具有函数关系： h = at 2 +19.6t ，已知足球被踢出后经过 4 s 落地，则足球距地面的最大高度是m ．【例15】 如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度 AB = 20 米，顶点 M 距水面 6 米（即 MO = 6 米），小孔顶点 N 距水面 4.5 米（即 NC = 4.5 米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，求此时大 孔的水面宽度 EF ．yMEFNDAOB Cx模块三：拟二次函数图像问题知识精讲例题解析【例16】 学校的围墙上端由一排相同的凹拱形栅栏组成，如图所示，已知拱形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 间，每隔相同的间距 0.3 米用 1 根立柱加固，拱高 OC 为 0.6 米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的解析式为 ； （2）一段这样的栅栏所需立柱的总长度（精确到 0.1 米）为．【例17】 某校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，若球出手时离地面 20米，9与篮圈中心的水平距离为 7 米．设篮球运行的路线为抛物线，当球出手后水平距 离为 4 米时到达最大高度 4 米，已知篮圈离地面 3 米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，试问此球能否准确投中？（2）若对方队员乙再甲前面 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1 米，那么他能否拦截成功？yBCAOxy4米3 米Ox4 米3 米y3O x10跳台支柱池边1【例18】跳水运动员在空中运动时，身体的重心所经过的路线是一条抛物线．在某项10 米跳台的一个规定动作中，正常情况下运动员在跳台边缘向上跃起，重心上升1 米到达最高点，这时跃出水平距离0.4 米，然后下落．在距离水面5 米处完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势．（1）建立如图所示的坐标系，求出抛物线解析式（图中数值的单位是米）（2）运动员入水时距池边多少米（精确到0.1 米）？（3）运动员在空中调整好入水姿势时，与水池边的水平距离是多少米（精确到0.1 米）？【例19】如图，某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A 的水平距离为x（m），与桌面的高度为y（m），运行时间为t（1）当t 为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A 的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y 与x 满足y =a (x - 3)2 +k ．○1 用含a 的代数式表示k；○2 球网高度为0.14 m，球桌长（1.4 ⨯ 2 ）m．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a 的值．At / s 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …x / m 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …y / m 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …模块四：代数综合知识精讲1、代数综合二次函数与代数的综合涉及到二次函数与一次函数、反比例函数在同一直角坐标系中的图像性质问题、交点问题等．难点是函数思想与方程思想、不等式思想的相互转化和结合．例题解析【例20】一次函数y =ax+b与二次函数y =ax2 -bx在同一坐标系中的图像可能是（）y y y yx x x x A．B．C．D．【例21】利用函数图像，求解不等式x2 - 4x + 4 > 0 ．【例22】已知关于x 的方程mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 ．（1）当m 取何整数值时，关于x 的方程mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 = 0 的根都是整数？（2）若抛物线y =mx2 - 3(m -1)x + 2m - 3 向左平移一个单位后，过反比例函数y =k（k ≠ 0 ）上的一点（-1，3）．x○1 求抛物线y =mx2 - 3(m -1)x+ 2m - 3 的解析式；○2 利用函数图像求不等式kx-kx > 0 的解．【例23】已知一次函数y =x - 2 与二次函数y =x2 +kx +k ．（1）若两个函数图像交点的横坐标的平方和等于9，求二次函数解析式；（2）若二次函数图像与x 轴的两个交点位于一次函数图像与x 轴交点的两侧，求k 的取值范围；（3）k 能否取值，使得y 轴右侧抛物线总在直线的下方？若能够，求出k 的取值范围；若不能，试说明理由．0 0【例24】 已知抛物线 y = x 2 + px + q 上有一点 M （ x ， y ）位于 x 轴下方．（1）求证：此抛物线与 x 轴有两个交点；（2）设此抛物线与 x 轴交点为 A （ x 1 ，0），B （ x 2 ，0），且，求证：x 1 < x 0 < x 2 ； （3）当 M 的坐标为（1， -2 ）时，求整数 x 1 ， x 2 ．【例25】 已知关于 x 的一元二次方程(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 （m 为实数）．（1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y = (m -1) x 2 + (m - 2) x -1总过 x 轴上的一个固定点；（3）若 m 是整数，且关于 x 的一元二次方程(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 有两个不相等的整数根，把抛物线(m -1) x 2 + (m - 2)x -1 = 0 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式．yA DB OCx1、 几何综合二次函数与几何的综合，主要是将几何图形与二次函数的图像相结合，求解面积问题、角相等问题、相似问题等．难点是数形结合的思想，这也是中考要求的重点和难点．【例26】 如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y = x 2 - 2x + 2 上运动，过点 A 作AC ⊥ x 轴于点 C ，以 AC 为对角线作矩形 ABCD ，连接 BD ，则对角线 BD 长的最小值为．【例27】 如图所示，抛物线 y = - 1x 2 + bx + 2 交x 轴于 A 、B 两点（点 B 在点 A 的左侧）， 2交 y 轴于点 C ，其对称轴为 x = 3，O 为坐标原点．2 （1）求 A 、B 、C 三点的坐标； （2）求证： ∠ACB 是直角．模块五：几何综合知识精讲例题解析yCB OA xyBP MAN OxyCl OA BxMQP【例28】 如图，一条直线过点（0，4），且与抛物线 y = 1x 2 交于A 、B 两点，其中点 A 4 的横坐标是-2 ．（1）求这条直线的函数解析式及点 B 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 C ，使得∆ABC 是直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段 AB 上一点 P ，作 PM // x 轴，交抛物线于点 M ，点 M 在第一象限， 点 N 的坐标为（0，1），当点 M 的横坐标为何值时，MN + 3MP 的长度最大？最大值是多少？【例29】 已知抛物线 y = x 2 - 2mx + m 2 + m - 1（m 是常数）的顶点为 P ，直线 l ：y = x -1 ．（1）求证：点 P 在直线 l 上；（2）当m = -3 时，抛物线与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，与直线 l 的另一个交点为 Q ，M 是 x 轴下方抛物线上的一点， ∠ACM = ∠PAQ （如图），求 点 M 的坐标；（3）若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 m 的值．【例30】如图，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线y =x2 的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B 两点，Q 是抛物线上一点．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）如图1，若点Q 在直线AB 的下方，求点Q 到直线AB 的距离的最大值；（3）如图2，若点Q 在y 轴左侧，且点T（0，t）（t < 2）是射线PO 上一点，当以P、B、Q 为顶点的三角形与∆PAT 相似时，求所有满足条件的t 的值．yBPA QO xyQBPATO xADBCyOxADBy y y yx x x x【习题1】 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数解析式为，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 米是，这时水面的宽度 AB 为 （ ） 米A ． -20B ．10C ．20D ． -10【习题2】函数 y = ax 2 + a 与 y = a（a ≠ 0 ）在同一坐标系中的图像可能是（ ）xA ．B ．C ．D ．【习题3】如图，假设篱笆（虚线部分）的长度为 16 米，则所围成的矩形 ABCD 的最大面积为（）平方米A ．60B ．63C ．64D ．66【习题4】利用函数图像，解不等式 x 2 + x - 3 ≤ 0 ．随堂检测【习题5】某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克．（1）当每千克涨价为多少元时，每天的盈利最多？最多为多少？（2）若商场只要求保证每天的盈利为6000 元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？【习题6】如图，某足球运动员站在点O 处练习射门，将足球从离地面0.5 m 的A 处正对球门踢出（点A 在y 轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间满足函数关系式：y =at2 + 5t +c ，已知足球飞行0.8 s 时，离地面的高度为3.5 m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度为多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系式x = 10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，那么他能否将球直接射入球门？yAO x【习题7】 如图所示是二次函数 y = (x + m )2+ k 的图像，其顶点坐标为 M （1，-4 ）．（1）求出图像与 x 轴的交点 A 、B 的坐标； （2）在二次函数的图像上是否存在点 P ，使 S的坐标，若不存在，请说明理由．∆PAB= 5 S 4∆MAB，若存在，求出点 P【习题8】 如图， 一小球从斜坡点 O 处抛出， 球的抛出路线可以用二次函数y = -x 2 + 4x 的图像来刻画，斜坡可以用一次函数 y = 1 x 的图像来刻画． 2（1）请用配方法求二次函数图像的最高点 P 的坐标； （2）小球的落点是 A ，求点 A 的坐标；（3）连接抛物线的最高点 P 与点 O 、A 得∆POA ，求∆POA 的面积； （4）在 OA 上方的抛物线上存在一点 M （点 M 与点 P 不重合）， ∆MOA 的面积等于∆POA 的面积，请直接写出点 M 的坐标．yPAOxy O BAxMyCDPO BA x【习题9】 已知抛物线 y = ax 2 + bx + c （ a ≠ 0 ）的顶点坐标为 Q （2， -1 ），且与 y轴交于点 C （0，3），与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿抛物线向点 A 运动（P 与 A 不重合），过点 P 作 PD // y 轴，交 AC 于点 D ．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）当∆ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标，若不存在，请说明理由．【习题10】如图（a），抛物线y =a (x + 6)2 - 3 与x 轴相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C，点D 为抛物线的顶点，直线DE ⊥x 轴，垂足为E，AE2 = 3DE ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）P 为直线DE 上的一点，且∆PAC 是以PC 为斜边的直角三角形，见图（b），求tan ∠PCA 的值；（3）如图（c）所示，M 为抛物线上的一动点，过点M 作直线MN ⊥DM ，交直线DE 于点N，当M 点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN 的情况？若存在，请求出符合条件的所有的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．y y yC C N CMPB E A O x B E A O x B E A O xD D D图（a）图（b）图（c）P 运动时间为 t ，则 S 与 t 的函数图像大致为（ ）y SSSSCB At tttNOPMx3【作业1】 如图是某拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O 、B ，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y = - 1400(x - 80)2 + 16 ，桥拱与桥墩AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC ⊥ x 轴，若 OA = 10 米，则高度 AC 为（）A ．169米 B ． 17 米 C ．167米 D ． 15米40 4404【作业2】如图，有一块边长为 6 cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）cm 2A ．B ． 332C ． 932D ．2732【作业3】 如图，已知 A 、B 是反比例函数（k > 0，x > 0）图像上的两点，BC // x 轴，交 y 轴与点 C ，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O →A →B →C 匀速运动，终点为 C ．过 P 作 PM ⊥ x 轴， PN ⊥ y 轴，垂足分别为 M 、N ．设矩形 OMPN 的面积为 S ，点A ．B ．C ．D ．课后作业y A CO BxDy DCB EOA x【作业4】 如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y = x + 1 相交于 A 、B 两点，且点A 在 x 轴上，点B 的横坐标为 2，连接 AM 、BM ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）判断∆ABM 的形状，并说明理由．【作业5】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12 米，宽是 4米．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y = - 1 x 2 + bx + c 表示，且抛物 6线上的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3 米，到地面 OA 的距离为17米．2（1）求该抛物线的函数解析式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； （2）一辆货车载一长方体集装箱后高为 6 米，宽为 4 米，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线形拱璧需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8 米，那么两排灯的水平距离最小是多少？yBO AxM【作业6】某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时售价为每件20 元，并且每周涨价2 元，从第6 周开始，保持每件30 元的稳定价格销售，直到11 周结束，该童装不再销售．（1）请建立销售价格y（元）与周次x 之间的函数关系式；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x 之间的关系为z=-1(x-8)2 +12，1 ≤x ≤11 ，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周8售出后，每件获得的利润最大？最大利润为多少？【作业7】如图，正比例函数和反比例函数的图像都经过点A（3，3），把直线OA 向下平移后，与反比例函数的图像交于点B（6，m），与x 轴、y 轴分别交于C、D 两点．（1）求m 的值；（2）求过A、B、D 三点的抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否另外存在点E，使四边形OECD 与四边形OACD 的面积相等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．yABOC xD【作业8】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =x2 +bx +c 与x 轴交于A、B 两点，C 为抛物线上一点，且直线AC 的解析式为y =mx + 2m （m ≠ 0 ），∠CAB = 45︒，tan ∠COB = 2 ．（1）求A、C 的坐标；（2）求直线AC 和抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点D，使得四边形ABCD 为梯形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．yCA OB x【作业9】已知关于x 的二次函数y =x2 +(k 2 - 4)x + 2k - 2 的顶点在y 轴的正半轴上．（1）求此抛物线的解析式；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D，再过点D 作DC 垂直于x 轴于点C，可得到矩形ABCD（B、C 两点在x 轴上）．设矩形ABCD 的周长为l，点A 的横坐标为m，试求l 关于m 的函数关系式，并写出m 的取值范围；（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形，若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．yDC MPAOQB x【作业10】 如图，已知抛物线 y = a (x -1)2+ 3 3 （ a ≠ 0 ）经过点 A （ -2 ，0），抛物 线的顶点为 D ，过点 O 作射线 OM // A D ，过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ，B 在 x 轴正半轴上，连接 BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t （s ）．问当 t 为何值是，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OC = OB ，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时， 另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为 k （s ），连接 PQ ，四边形 BCPQ 的面积为 S ，求 S 关于 k 的函数关系式，并写出定义域．。
(完整版)二次函数综合应用---含答案
二次函数应用（能力提高）一、选择题：1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ C ）（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-142.已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过(B)（A）一、二、三象限（B）一、二、四象限（C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限3.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ A ）（C）（D）第7题4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ A ）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是(C )(A)0<S<2 (B) S>1 (C) 1<S<2 (D)-1<S<16.将抛物线y=-2x2-1向上平移若干个单位，使抛物线与坐标轴有三个交点，如果这些交点能构成直角三角形，那么平移的距离为（ A ）（A）个单位 (B)1个单位 (C)个单位 (D)个单位232127.如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，则m的值为（ D ）（A）0（B）（C）－1（D）0或或－121-21-8.（2015浙江）设二次函数11212())0(()y a x x x x a x x=--≠≠，的图象与一次函数()2y dx e d=+≠的图象交于点1(0)x，，若函数21y y y=+的图象与x轴仅有一个交点，则（ B ）（A）12()a x x d-=（B）21()a x x d-=（C）212()a x x d-=（D）()212a x x d+=二、填空题：1.已知二次函数y＝－4x2－2mx＋m2与反比例函数y＝的图像在第二象限内的一个交点的横坐标是xm42+－2，则m的值是 -7t h 2.已知抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴上截得的线段长为6，则该抛物线的解析式为 _ y = −(x +1)(x −5)___3.已知二次函数y ＝ax 2（a≥1）的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为 42+254.老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。
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考点五 用待定系数法求二次函数的解析式 例 5 如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(2,0)，B(0，－1)和 C(4,5)三点．
(1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D， 求点 D 的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线 y＝x＋1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数解析 式及二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系．
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 例 1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________． 【点拨】方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2 ＋2，则顶点坐标为(1,2)．方法二：代入公式 x＝－2ba＝ －2－×21＝1，y＝4ac4－a b2＝4×14××31－22＝2，则顶点坐 标为(1,2)． 【答案】 (1,2)
方法总结： 解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配 方为顶点式y＝ax－h2＋k的形式，得到：对称轴是 x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为h，k；也可以直接 利用公式求解.
考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小 比较
例 2 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1<x2<1，则 y1 与 y2 的大小关系是( )
考点六 利用函数图象解方程(组)或不等式 例 6 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，则函数值 y>0 时，x 的取值范围是( ) A．x<－1 B．x>3 C．－1<x<3 D．x<－1 或 x>3
【点拨】根据图象可知，当 y＞0 时，函数的图象 在 x 轴的上方，由左边一段图象可知 x＜－1，由右边 一段图象可知 x＞3.因此 x<－1 或 x>3.
考点四 抛物线与几何变换
例 4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长
度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式
是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
【点拨】方法一：因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， 所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长 度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝ (x－4)2－2.故选 B.方法二：因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2 －4，所以顶点为(3，－4)，将点(3，－4)先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位所得到的点为(4，－2)， 所以平移后的解析式为 y＝(x－4)2－2.故选 B.
∴当7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低 于16元．
方法总结： 利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大 利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题， 运动型几何问题，方案设计问题等.
练习 1．南宁柿饼加工精细，上市时，外商王经理 按市场价格 10 元/千克在南宁收购了 2 000 千克柿饼存 放入冷库中．据预测，柿饼的市场价格每天每千克将 上涨 0.5 元，但冷库存放这批柿饼时每天需要支出各种 费用合计 320 元，而且柿饼在冷库中最多保存 80 天， 同时，平均每天有 8 千克的柿饼损坏不能出售．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大 增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
最值
抛物线有最 抛物线有最
【答案】 D
方法总结： 利用二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象求不等 式y＞0或y＜0的解集，实质就是求当x在什么范围内 时，函数的图象在x轴的上或下方.
考点七 二次函数的应用 例 7 某种商品每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75，其图象如图所 示．
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值 4ac－b2
4a
y ＝ 最大值 4ac－b2
4a
考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数
a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
开口向上 开口向下
b＝0
对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 系数 a，b，c 的关系
例 3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示， 下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0； ④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得
解 ： (1)∵ 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx＋ c 的 图 象 过 A(2,0)，B(0，－1)和 C(4,5)三点，
4a＋2b＋c＝0， ∴ c＝－1，
16a＋4b＋c＝5，
∴y＝12x2－12x－1.
a＝12，
解得
b＝－12， c＝－1，
(2)当 y＝0 时，12x2－12x－1＝0，解得 x＝2 或－1， ∴D(－1,0). (3)如图，当－1＜x＜4 时，一次函数的值大于二 次函数的值.
【答案】 D
方法总结： 1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称 轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号 ⇔对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图 象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2
【点拨】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴 是 x＝1，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．∵x1<x2<1， ∴y1<y2 . 故选 B.
【答案】 B
方法总结： 当二次函数的解析式与已知点的坐标中含有未知字 母时，可以用如下方法比较函数值的大小：1用含有未 知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；2在相 应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解； 3根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
【答案】 B
例．如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶
部离水面 4 m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向
为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点
时的抛物线解析式是 y＝－19(x－6)2＋4，则选取点 B 为
坐标原点时的抛物线解析式是
.
方法总结： 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自 变量，上加下减常数项.
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，
c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大
值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已
知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为 一般式．
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c
c＜0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交 点(顶点)
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与 x 轴有两个交 点 与 x 轴没有交点
温馨提示： 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c；当 x＝－1 时，y＝a－b ＋c.若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1 时，y＞0；若 a－b＋c ＞0，即当 x＝－1 时，y＞0.
(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利 润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于 16 元？
【点拨】本题考查建立二次函数模型解决实际问 题，用配方法求最值是解决问题的关键．
解：(1)∵y＝ax2＋bx－75 的图象经过点(5,0)，
(7,16)，
∴25a＋5b－75＝0， 解得a＝－1，
49a＋7b－75＝16.
b＝20.
∴y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25.
∴当销售单价为 10 元时，该种商品每天的销售利 润最大，最大利润为 25 元．
(2)∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7,16)在抛物线 上，∴(13,16)也在该抛物线上．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，
则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐
标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后 将解析式化为一般式．
温馨提示： 1.给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 2.一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式，它们之间可以互相转化.将顶点式、交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式或交点式. 3.二次函数 y＝ax－x1x－x2的对称轴为 x＝ x1＋2 x2.
方法总结： 1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求解 析式； 2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则 可设顶点式求解析式，最后化为一般式； 3. 若 已 知 二 次 函 数 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 x1，0、x2，0时，可设交点式求解析式，最后化为 一般式.