数学锐角三角函数的专项培优 易错 难题练习题(含答案)含详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．

【答案】．

【解析】

试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．

试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，

∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，

∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

2．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.

特殊发现：

如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．

问题探究：

把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．

(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)记AC BC

＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）

【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE 总是等边三角形

【解析】

【分析】 （1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB

=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证

△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．

（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据

AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．

【详解】

解：（1）PC=PE 成立，理由如下：

如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，

∴EM FP MC PB

=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；

（2）PC=PE 成立，理由如下：

如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中

，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，

∴△DAF ≌△EAF （AAS ），

∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，

∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，

∴△DAP ≌△EAP （SAS ），

∴PD=PE ，

∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，

∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FP MC PB

=， ∵点P 是BF 的中点，

∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，

∴PC=PD ，又∵PD=PE ，

∴PC=PE ；

（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，

∴∠CEP=60°，

∴∠CAB=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°，

∵AC k BC =，AC BC

=tan30°，

∴k=tan30°=3

3

，

∴当k为3

3

时，△CPE总是等边三角形．

【点睛】

考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．

3．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在点T的运动过程中，

①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；

②若MT＝1

2

AD，求点M的坐标；

（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT 时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，

）（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）把点B 的坐标代入抛物线解析式求得系数b 的值即可；

（2）①如图1，连接AD ．构造Rt △AED ，由锐角三角函数的定义知，tan ∠DAE

＝．即∠DAE ＝60°，由圆周角定理推知∠DMT ＝2∠DAE ＝120°；

②如图2，由已知条件MT ＝12AD ，MT ＝MD ，推知MD ＝12

AD ，根据△ADT 的外接圆圆心M 在AD 的中垂线上，得到：点M 是线段AD 的中点时，此时AD 为⊙M 的直径时，MD ＝12

AD ．根据点A 、D 的坐标求得点M 的坐标即可； （3）如图3，作MH ⊥x 于点H ，则AH ＝HT ＝12

AT ．易得H （a ﹣1，0），T （2a ﹣1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT 、动点T 在射线EB 上运动可以得到：0≤a ﹣1≤x≤2a ﹣1． 需要分类讨论：（i ）当2111(1)211

a a a -⎧⎨

----⎩，即413a <，根据抛物线的增减性求得y 的极值． （ii ）当0112111(1)211a a a a <-⎧⎪->⎨⎪--<--⎩

，即43＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y 的极值． （iii ）当a ﹣1＞1，即a ＞2时，根据抛物线的增减性求得y 的极值．

【详解】

解：（1）把点B （3，0）代入y ＝x 2+bx ﹣3，得32+3b ﹣3＝0，

解得b ＝﹣2，

则该二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；

（2）①∠DMT 的度数是定值．理由如下：

如图1，连接AD ．

∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4．

∴抛物线的对称轴是直线x ＝1．

又∵点D

的纵坐标为

∴D （1

，

由y ＝x 2﹣2x ﹣3得到：y ＝（x ﹣3）（x+1），

∴A （﹣1，0），B （3，0）．

在Rt △AED 中，tan ∠DAE

＝

DE AE ==． ∴∠DAE ＝60°．

∴∠DMT ＝2∠DAE ＝120°．