2021届高一上学期数学竞赛试题【参考答案】
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商洛中学2021届高一数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有6小题,每题只有一个正确答案,每题5分,共30分)
1.设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N =( )
A .[0,1]
B .(0,1]
C .[0,1)
D .(,1]-∞
【答案】A
2.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能...
等于( ) A .1 B .2 C .
2-12 D .2+12
【答案】C 23.()(1)()(0)()()21
x F x f x x f x f x =+≠-是偶函数,且不恒等于零,则() A. 是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数
D.不是奇函数也不是偶函数
【答案】A
4.函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为 ( )
【答案】B
5.设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则( )
A .0a b ab +<<
B .0ab a b <+<
C .0a b ab +<<
D .0ab a b <<+ 【答案】B
6.设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ 3x -1,x <1,2x ,x ≥1,则满足f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,1 B .[0,1] C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23,+∞ D .[1, +∞) 【答案】C
二、填空题(本大题共有5小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空5分,共30分)
7.已知函数()e x
f x=.若()2
f a b
+=,则(3)(3)
f a f b
⋅的值是.
【答案】8 【解析】依题意2
a b
e+=,则333333
(3)(3)e()28
a b a b a b
f a f b e e e
++
⋅=⋅====
8.设x
x
x
f-
-
=4
log
)
(
3
则满足f(x)≥0的x的取值范围是 .
【答案】[3,4] 【解析】定义域(0,4]. 在定义域内f(x)单调增,且f(3)=0.
故f(x)≥0的x的取值范围为[3,4].
9.已知函数()
()3
2
,2
1,2
x
x
f x
x x
⎧
≥
⎪
=⎨
⎪-<
⎩
若关于x的方程()
f x k
=有两个不同的实根,则实数k的取值范围是。
【答案】(0,1)
10.若函数()2()
x a
f x a R
-
=∈满足(1)(1)
f x f x
+=-,且()
f x在[,)
m+∞单调递增,则实数m的最小值等于_______.
【答案】1
11.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,则这个几何体可以是①球②三棱锥③正方体④圆柱,正确的有(写出你认为正确的所有序号)。
【答案】①②③
12.已知函数2
()1
f x x mx
=+-,若对于任意]1
,
[+
∈m
m
x,都有0
)
(<
x
f成立,则实数m的取值范围是 .
【答案】
2
,0
⎛⎫
- ⎪
⎪
⎝⎭
【解析】画出二次函数的分析简图:
由图象分析可得结论:开口向上的二次函数()
f x在[],m n上恒小于0的充要条件为
()0,
()0.
f m
f n
<
⎧
⎨
<
⎩
开口向下的二次函数()
f x在[],m n上恒大于0的充要条件为
()0,
()0.
f m
f n
>
⎧
⎨
>
⎩
22
()0,2
22
(1)0.3
0.
2
m
f m
m
f m
m
⎧
<<
⎪⎛⎫
<
⎧⎪
⇒⇒∈ ⎪
⎨⎨ ⎪
+<
⎩⎝⎭
⎪-<<
⎪⎩
.
三、解答题(本大题共有3小题,13小题10分,14、15每小题15分,共40分)
13.已知a,b,c为正实数,x y z
a b c
==,
111
x y z
++=,求abc的值.
13.【证明】法一:设0x y z a b c p ===>,则1
x a p =,1y b p =,1z c p =. ......4分 所以111111y x y z x z abc p p p p
++=⋅⋅=. ....................................8分 因为1110x y z
++=,所以01abc p ==. ..............................10分 法二:设0x y z a b c t ===>,则log a x t =,log b y t =,log c z t =. 因为
1110x y z ++=,所以1110log log log a b c t t t ++=, 即log log log 0t t t a b c ++=,log ()0t abc =,所以1abc =.
201,()(0),().2(1);
(2).a x f x x ax a f x m a m m a ≤≤=-+
>14.已知的最小值为用表示求的最大值及此时的值
2
22
min min 2
),[0,1]........(1224
1();........(42224
1(1)1........(722
,()24......(81,()2
(2)10 (2)
a a a x a a a a f a a f a a a a m +-∈≤≤==->==-⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩=-<14.解:(1)f(x)=(x-分)当0<即02时f(x)分)0 a 2当a>2时22max (10111(1);......(1324444 1,.......(154a a m a m ≤=-=--+≤=分)当0 15.设集合{}()(){} 222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈, (1)若{}2A B =求a 的值; (2)若A B A =,求a 的取值范围; (3)若(),U U R A C B A ==,求a 的取值范围. 15.解:{ }2,1=A (1)∵{}2A B = ∴B ∈2 即,0)5(2)12222=-+⋅+⋅+a a ( ,解得13-=-=a a 或