第五章第2节等差数列及其前n项和
第2节 等差数列及其前n项和课件
[探究] 如何理解应用等差数列通项公式的函数特点？ 提示：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d可变形为an＝dn＋(a1－d)． (1)若d＝0，则an＝a1，其是常数函数； (2)若d≠0，则an是关于n的一次函数． (3)(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上一群孤立的点． (4)单调性：d>0时，数列{an}为单调递增数列；d<0时，数列{an}为单调递减 数列；d＝0时，{an}为常数列．
[提醒] 要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而 是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不 是等差数列．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝__a_1_＋__(_n_－__1_)d___． (2)前 n 项和公式：Sn＝__n_a_1＋___n_（__n_2－__1_）__d____＝n（a12＋an）.
02
能力特训
特训点1 特训点2 特训点3
特训点1 等差数列基本量的计算(自主冲关类)
[题组·冲关] 1．(202X·上海黄浦区模拟)已知等差数列{an}中，a2＝1，前5项和S5＝－15， 则数列{an}的公差为( D )
A．－3 C．－2
B．－52 D．－4
解 析 ： 设 等 差 数 列 {an}的 首 项 为
(3)求和公式法(二次函数)：利用二次函数求最值的方法求解：①若对称轴恰 好取正整数，则在对称轴处取最值；②若对称轴不是正整数，而是相邻的两 个整数的中点值，则n为这两个整数时取最值；③若对称轴既不是正整数， 又不是相邻两个整数的中点值，则与对称轴最近的正整数处取最值． [注意] 求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数” 这一隐含条件．
第五章 5.2等差数列及其前n项和
§5.2 等差数列及其前n项和
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 高频小考点 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一 个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示.
C.公差为6的等差数列
B.公差为4的等差数列
D.公差为9的等差数列
解析
∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)
＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)
＝2＋2×2＝6，
∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列.
解析答案
1 2 1 1 (2)在数列{an}中，若 a1＝1，a2＝2， ＝a ＋ (n∈N*)，则该数列 an＋1 an＋2 n 的通项为( 1 A.an＝n 2 C.an＝ n＋2 ) 2 B.an＝ n＋1 3 D.an＝n
1
2
3
4
5
解析答案
4.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________ 时， 8
{an}的前n项和最大.
解a8＞0，
所以a8＞0.
又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.
故当n＝8时，其前n项和最大.
1
23＋5d>0， 23 23 即 解得－ 5 <d<－ 6 ， 23＋6d<0，
又d为整数，所以d＝－4.
1
2
3
4
5
解析答案
3.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于( B ) A.58 C.143 B.88 D.176
第二节 等差数列及其前n项和
16 ×15 所以 S1 6 ＝1 6 ×3＋ 2 ×(－1 ) ＝－7 2 . 答案： －72
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
等差数列及其前n项和 结
束
]设 等 差 数 { 5.[考 点 二 列 an}的前 n 项 和 为 S n， 已知前 6项和为 36， 最后 6 项 的 和 为 18， 0 Sn＝3 2 4n( ＞6)， 求 数 列 {an}的 项 数 及 a9 ＋a1 0 .
突
破
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
等差数列及其前n项和 结
束
法二：由 等 差 数 列 的 性 质 ，可 S3， S 知 S9－S6， „， 6－S3， S2 1 －S1 8成 等 差 数 列 ， 设 此 数 列 公 D差 . 为 5 所以 5＋2D＝1 0 ，所以 D＝2. 所以 a1 9 ＋a2 0 ＋a2 1 ＝S2 1 －S1 8 ＝5＋6D＝5＋1 5 ＝2 0 . [答案] 20
突
破
点
一
突
破
点
二
突
破
点
三
课时达标检测
等差数列及其前n项和 结
束
]设 Sn 为 等 差 数 { 4[ .考 点 一 列 an}的前 n 项 和 ， a1 2 ＝－8，S9＝－9， 则 S1 6 ＝_ _ _ _ _ _ _ _ .
解析： 设等差数{ 列 an}的 首 项 为 a1， 公 差 为 d， ＝a1＋11d＝－8， a1 2 由已知， 得 9×8 S ＝9a1＋ 2 d＝－9， 9
突 破 点 一 突 破 点 二 突 破 点 三 课时达标检测
2021高考数学一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和练习
第2节 等差数列及其前n 项和[A 级 基础巩固]1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4. 法二 等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8， 所以d ＝4，故选C. 答案：C2．(2020·安阳联考)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝8，则(a 3＋a 7)2－a 5＝( ) A ．60 B ．56 C ．12D ．4解析：因为在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，所以a 2＋a 8＝2a 5＝8，解得a 5＝4，(a 3＋a 7)2－a 5＝(2a 5)2－a 5＝64－4＝60.答案：A3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 3＝6，则S 2n ＋1＝( ) A ．(2n ＋1)(n ＋1) B ．(2n ＋1)(n －1) C ．(2n －1)(n ＋1)D ．(2n ＋1)(n ＋2)解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 则2a 1＋d ＝3，3a 1＋3d ＝6，所以a 1＝d ＝1，则a n ＝1＋(n －1)×1＝n .因此S 2n ＋1＝（2n ＋1）（1＋2n ＋1）2＝(2n ＋1)(n ＋1)．答案：A4．(2020·宜昌一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0，则( )A ．a 7＝0B ．|a 7|＝|a 8|C ．|a 7|>|a 8|D ．|a 7|<|a 8|解析：因为公差d >0，(S 8－S 5)(S 9－S 5)<0， 所以S 9>S 8，所以S 8<S 5<S 9，所以a 6＋a 7＋a 8<0，a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0， 所以a 7<0，a 7＋a 8>0，|a 7|<|a 8|. 答案：D5．中国古诗词中，有一道“八子分棉”的数学名题：“九百九十六斤棉，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤棉分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分棉，年龄小的比年龄大的多17斤棉，那么第8个儿子分到的棉是( )A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤解析：用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的棉数， 由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996， 所以8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.所以a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的棉是184斤． 答案：B6．(2019·江苏卷)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．解析：设数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋d ）（a 1＋4d ）＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27， 解得a 1＝－5，d ＝2，所以S 8＝8×(－5)＋8×72×2＝16.答案：167．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________． 解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2008．在等差数列{a n }中，若a 7＝π2，则sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝________．解析：根据题意可得a 1＋a 13＝2a 7＝π， 2a 1＋2a 13＝4a 7＝2π，所以有sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝ sin 2a 1＋sin(2π－2a 1)＋cos a 1＋cos(π－a 1)＝0. 答案：09．各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1（a n ＋a n ＋2）2＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明：依题意得，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，故1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2. (2)解：由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1（n ＋2）（n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2－1n ＋3，故S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3＝n 6（n ＋3）. 10．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . (1)解：设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k （k －1）2·d ＝2k ＋k （k －1）2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n （2＋n ＋1）2＝n （n ＋3）2.[B 级 能力提升]11．(2020·珠海联考)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n ＋1S n ＝n ＋1n，则数列{a n }( ) A ．既非等差数列，又非等比数列 B ．既是等差数列，又是等比数列 C ．仅为等差数列 D ．仅为等比数列 解析：数列{a n }中，S n ＋1S n ＝n ＋1n ，则S n S n －1＝nn －1(n ≥2)， 则S n ＝S n S n －1×S n －1S n －2×…×S 2S 1×S 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n (n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝1符合，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －(n －1)＝1，当n ＝1时，a 1＝1符合，故a n ＝1(n ∈N *)，则数列{a n }为非零的常数列，它既是等差数列，又是等比数列． 答案：B12．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－3，S 5＝－10，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，5a 1＋5×42d ＝－10， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－3，a 1＋2d ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－4n ＋n 2－n 2＝12(n 2－9n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－818，因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5时，S n 取最小值，最小值为－10. 答案：0 －1013．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的n ∈N *，b n 是a n 和a n ＋1的等比中项．(1)设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列； (2)设a 1＝d ，T n ＝∑k ＝02n(－1)k b 2k，n ∈N *，求证：∑k ＝0n1T k <12d 2.证明：(1)由题意得b 2n ＝a n a n ＋1，有c n ＝b 2n ＋1－b 2n ＝a n ＋1·a n ＋2－a n a n ＋1＝2da n ＋1，因此c n ＋1－c n ＝2d (a n ＋2－a n ＋1)＝2d 2，所以{c n }是等差数列．(2)T n ＝(－b 21＋b 22)＋(－b 23＋b 24)＋…＋(－b 22n －1＋b 22n ) ＝2d (a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝2d ·n （a 2＋a 2n ）2＝2d 2n (n ＋1)．所以∑k ＝0n1T k ＝12d 2∑k ＝0n 1k （k ＋1）＝12d 2∑k ＝0n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝12d 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<12d2. [C 级 素养升华]14．(多选题)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则( ) A ．a 6＋a 7＝4 B ．a 6＋a 7＝12 C ．a 6a 7≥4D ．a 6a 7≤4解析：在等差数列{a n }中，因为S 12＝6(a 6＋a 7)＝24， 所以a 6＋a 7＝4.又a 6>0，a 7>0，所以a 6a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．故选AD. 答案：AD。
数学(理科) 第五章 第2讲 等差数列
方法二，∵S10＝10a12＋a10＝60，∴a1＋a10＝12.
由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4＝12. 又∵a7＝7，∴a4＝5.故选C.
答案：C
考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题
例 3：(1)(2013 年新课标Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn， 已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________.
(3)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则Snn是等差数列. (4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－ S2k，S4k－S3k是等差数列. (5)等差数列的单调性：若公差 d>0，则数列单调递增；若 公差 d<0，则数列单调递减；若公差 d＝0，则数列为常数列. 7.等差数列的最值 在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
(3)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
)
A.－449
B.－489
C.－14
D.－28
解析：由2ann－＋13＝2na－n 5＋1，得2n＋an＋ 11－5＝2na－n 5＋1， 又2－a1 5＝－5， 所以数列2na－n 5是以首项为－5，公差为 1 的等差数列. 则2na－n 5＝－5＋n－1＝n－6.故 an＝(2n－5)(n－6)，n∈N*. 因为当且仅当 n＝3,4,5 时，an<0，而当 n＝6 时，a6＝0， 故 S5＝S6. 所以 Sn－Sm 的最小值为 S5－S2＝a3＋a4＋a5＝－14.
方法四，由等差数列的性质，知Snn是等差数列，∴S1100，S2200， S3300，S4400，即110，S2200，16，S4400成等差数列.∴S4400＝16＋16－2110＝15. ∴S40＝8.故选 B.
等差数列的前n项和 课件
(2)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2×3n－1. ∵a1＝1不适合an＝2·3n－1.
∴an＝12·3n－1
n＝1， n≥2.
[点评] 利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an 时，要注意a1是否也满足由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得出的表达 式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式来表示．
nn－1
2
d
.
类型一 等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利 用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
Hale Waihona Puke 009a1＋a2 2009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中 可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知 三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立 得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法， 在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的 运用．
[分析] 本题是考查前n项和Sn与an之间关系的问题，
2020届高三数学一轮复习： 第5章 第2节 等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.()(3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－1 B.1 C ．2D.－2D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D.] 3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5 B.7 C ．9D.11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100 B.99 C ．98D.97C [法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 法二：∵{a n }是等差数列， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5.故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数． 16 [由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{a n }， 则a 1＝6，d ＝6，得a n ＝6＋(n －1)6＝6n . 由a n ＝6n ≤100，即n ≤1646＝1623， 则在100以内有16个能被6整除的数．]n n 为{a n }的前n项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10D.12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )A ．9 B.10 C ．11D.15(1)B (2)B [(1)∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12， ∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7，∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.][规律方法] 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1] (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A.12B.1 C ．2D.3(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.【导学号：01772176】(1)C (2)－72 [(1)∵S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2，又S 33－S 22＝1， 得a 1＋a 32－a 1＋a 22＝1，即a 3－a 2＝2， ∴数列{a n }的公差为2.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }中的通项公式a n . [解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1.所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1 ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.5分又b 1＝1a 1－1＝－52，所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.7分 (2)由(1)知，b n ＝n －72，9分 则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7.12分[规律方法] 1.判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．[变式训练2] (1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )【导学号：01772177】A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝__________.(1)C (2)480 [(1)∵a 2n －1＋2a 2n －(a 2n －3＋2a 2n －2) ＝(a 2n －1－a 2n －3)＋2(a 2n －a 2n －2) ＝2＋2×2＝6，∴{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列． (2)由已知S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480.]每列的三个数均成等差数列，如果数阵中所有数之和等于63，那么a 52＝( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 41a 42 a 43a 51 a 52 a 53a 61a 62a 63 图5-2-1 A ．2 B.8 C ．7D.4(2)等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 取得最大值．(1)C [法一：第一行三数成等差数列，由等差中项的性质有a 41＋a 42＋a 43＝3a 42，同理第二行也有a 51＋a 52＋a 53＝3a 52，第三行也有a 61＋a 62＋a 63＝3a 62，又每列也成等差数列，所以对于第二列，有a 42＋a 52＋a 62＝3a 52，所以a 41＋a 42＋a 43＋a 51＋a 52＋a 53＋a 61＋a 62＋a 63＝3a 42＋3a 52＋3a 62＝3×3a 52＝63，所以a 52＝7，故选C.法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这9个数均相同，显然满足题意，所以有63÷9＝7，即a 52＝7，故选C.](2)法一：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，4分 即d ＝－213a 1.7分从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1>0，所以－a 113<0.9分 故当n ＝7时，S n 最大.12分 法二：由法一可知，d ＝－213a 1. 要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，5分即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0，9分解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.12分 法三：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，5分故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，9分 所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大.12分 [规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[变式训练3] (1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( )A ．18 B.99 C ．198D.297(2)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝__________.(1)B (2)20 [(1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D .所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.][思想与方法]1．等差数列的通项公式，前n 项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求a 1和d .(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….2．等差数列{a n }中，a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)，均是关于“n ”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．3．等差数列的四种判断方法：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．[易错与防范]1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．3．求等差数列的前n项和S n的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．。
第五章第2讲等差数列及其前n项和
等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充分条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． [做一做] 1．(2014·高考福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．142．已知等差数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的公差为d ，则ca 1，ca 2，ca 3，…，ca n (c 为常数且c ≠0)是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为cd 的等差数列C ．非等差数列D ．以上都不对 1．辨明两个易误点(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．3．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列． [做一做] 3．(2013·高考重庆卷)若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________． 4．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －4，则a n ＝________．考点一__等差数列的基本运算(高频考点)________等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列基本量计算的考查常有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2(2)(2015·江西南昌市模拟测试)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．5B ．10 C.52 D.54 (3)(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [规律方法] 等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．1.(1)(2015·福建福州模拟)已知等差数列{a n }，其中a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为________．(2)(2015·太原市高三年级模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，则a n ＝________.(3)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 考点二__等差数列的判定与证明________________(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 考点三__等差数列的性质及最值________________(1)(2015·兰州市、张掖市高三联合诊断考试)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 (2)(2014·高考江西卷)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，S n ＝324，最后6项和为180(n >6)，求数列的项数n 及a 9＋a 10.[规律方法] 1.等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3.(1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37(2)在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17(3)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为________．方法思想——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________．[名师点评] (1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－12d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很方便．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．1.若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7nn ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23C.278D.2142．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值为________．1．(2014·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 2．(2015·潍坊质检)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( )A ．1B ．2C ．3 D.533．(2015·新乡许昌平顶山第二次调研)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3＝5，S k ＋2－S k ＝36，则k 的值为( )A ．8B ．7C ．6D ．54．已知函数f (x )＝2x，等差数列{a n }的公差为 2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝( )A ．0B ．2－6C ．2－2 D ．－45．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )A ．{5}B ．{6}C ．{5，6}D ．{7} 6．(2014·高考北京卷)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．7．(2015·湖北荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，则此等差数列的项数是________．8．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．9．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；10．(2015·南昌模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．1．已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时其图象过点(2，8)，则a 7的值为( )A.12 B ．7 C ．5 D ．62．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列{a nn}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 43．(2015·东北三校联考)已知正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n ＋1＋a na n －1＝2，则a 12＝________．4．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 5．(2014·高考湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．6．(选做题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫3（lg a n ）（lg a n ＋1）的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．。
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第五章第2节等差数列及其前n 项和
1•设命题甲为九b, C 成等差数列* ,命题乙为呀+7=2” ＞那么
A. 甲長乙的充分不必要条件
B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
解析：由升亩=2,可得XX 込 但久e 均为零时“ K C 成等差数列，但
+ 答案：B 2.在数列｛%｝中，fl| = b 6fn + I = 2(Z… + 2\
（1）设九=誥，证明：数列｛九｝是等差数列;
⑵求数列佃｝的前"项和弗
解；⑴证明：由Cfn + I = 2fln + 2^得
亦+1 二 2"= 亍 =2斤1 1=加+ !•
X*l=fl|=h
因此｛亦｝是首项为1,公差为1的尊豊数列.
⑵由⑴知誥即心="・2宀・
S 幵=l+2X2i+3X22+・・+X2”r,
两边乘以 2 得，2S…=2+2X2^+-+«X2\
两式相减得
Sn=-l-2】-22-------- 2旷1+川2"
=-(2”一1)+川2"
=個一1)2"+1・
3・（2018・《^＜离令）等差数列｛伽｝的前》项和为S”且53=6,
＜73=4,那么公差d 等于题组―
题组二
等差数列的差不多运
C. 2 D ・3
A. 1 {0} +fl3)X3
解析s TS3 = ---- 2 ---- = 6 , ifo(73 = 4 , A«| = O ,
答案：C
4. (2018•广州篠拟燉列｛心｝的前《项和S 〃=”2-9心 第A 项满足5V<nV&那么A 等
(It = 1)
V5<flA <8 , A5<2* - 10<8 ,
/.y<Jfc<9 ,又•••AWN*—8.
答案：B
5•等差数列｛(M 中，42=6,依=15,假设bn=g,那么数列｛亦｝的前5项和尊于 «1 = 3 /
Afln =3 + 3(/1 - 1)= 3w ,bn = rt2n = 6/1 , ASs 4 = 3， 6 + 30
=—^X5 = 90・
答案：90 6.数列｛如满足2fli,+i=fli,+<in+2(«eN*),它的前《项和为S/O 且心=5,
56=36.
(1) 求数列｛伽｝的通项公式；
(2) 设亦=6〃+(—1厂q •加应 为正整数，》€N ・)，试确定Z 的值，使得对任意H €N \ 都有bn^x>bn 成立•
解：= / 是等差数列，设仏｝的首项为"1，公差为4,
如+ 2</ = 5
由心=5 , S6 = 36 得丫 ，解得 41 = 1 M = 2.
16^7] + 15(/= 36
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
解析:««=<*
[Srt • S/i ・l ("=1) (心2)
-10 + 2// (">2)
= 2/1 - 10 ,
fl2 = fli +rf = 6 , 解析価
fl5 = rti + =>5
= 2n• 1.
(2)由(1)知仇=6"( • 1)”・T・・2勿・',要使得对任憲》eN♦都有bn^x>bn恒成立.
•••仇+ 1 •九= 61】 +(- 1)叭】2〃21 • 6" •(- 1)”・1・力2如・丨=5・6” - 5x ( • l)"・i・2勿j>0
即》(-If ■' < (I)"
当《为奇数时,
BDz<2.(|r,而和的最小值为号,
Az <3.
当«为偶数时• 2(|r,
3 9 9
而-2(尹的最大值为2-
Q
由上式可得•务兀3 ,而2为正整数,
题组三等差数列的性质
7•设等差数列｛如的前《项和为S"假设53=9,56=36,那么“7+伽+e等于
A. 63
B. 45
C. 36
D. 27
解析：由｛伽｝是等差数列/那么Ss ■ S G• S—S®• S6成等差数列♦
由2(S6・S3)= S3 + (S9・S6)得到
S® • Sb 二 256 • 35? = 45,0] +(/» + <?9 = 45.
答案：B
&在等差数列｛“”｝中，1傑2(伦+伽)=3,那么等差数列｛必｝的前13项的和,3= 解析：Vlog2((Z5 + Cf9)= 3 / /.fl5+fl9 = 2^ = 8.
13 X (fli + Q13)13X («5 + ①)13X8
Si3 = ~2 = 52.
答案：52
9. (2018•辽宁离事)等差数列｛如的前《项和为S”且6S5-5S3=5,那么心=
解析：设等差数列｛&｝的首项为«1 .公差为d .那么由6S5-553 = 5,得6(«1 + 3d) = 2 ,
10•设数列｛如｝是等差数列，且Cf4=—4tfl9 = 4tSn 是数列｛血的前《项和，那么
因此Cf4 =亍
题组四
等差数列的前》项和及最值咨询
A. S'VS G
B. Ss=S6
C. Si=Ss
D. $7=$6 解析 S 因为 04= - 4,6f9 = 4 ,因此 «4+rt9 = « , BIJfl6 + fl7 = 0 ,因此 S7 = S"Q6 + a7 = S§・
答案：C
Ik （丈）在等差数列伽｝中，假设0】<0, S9=Sl2,那么当《等于 小
值•
时，S"取得最
解析：设数列｛為｝的公差为亿那么由题意得
901 + 2X9X(9 - 10= IZci + ^xnXdZ - 1)亿
即 3rti = • 3(W , Afifi = • lOrf.
V(7i<0 * AS… = /W| + |H (« • lW = *d”2 •号dn
缆，分.441〃
= 10.或《 = 11时，Sn 取最小值•
答案：10或11
pat ）假设数列｛如｝是等差数列，数列｛亦｝满足九=0皿小伽+2（"eN ・），｛bj 的前
《项
解析：（先判定数列｛為｝中正的项与负的项）
V 3(15 = 8^12 > 0 , 3<i5 = 8((15 + Id) > 0 ,
解得 05= -yrf>0 , /.rf<0 , /.fli= -
,
故｛血是首项为正数的递减数列.
:.n = 16<
答案：16
12> (2018侮州槟拟匚次函数/U)=a0+bx+c(xWR),满足八0)= 人卫=o,且/(x)的最 小值是一总设数列仙｝的前《项和为弘 对一切H GN\点(儿S 』在函数几r)的图象 上・
(1)求数列｛心｝的通项公式;
⑵通过加=琵构造一个新的数列血｝,是否存在非零常数C 使得伽｝为等差数列; ⑶令6=邑严，设数列6伐”｝的前"项和为几，求耳.
1 1
解：(1)因为/(0)=血) = 0,因此几r)的对称轴为"丁 =,又因为沧)的最小值是
I,由二次函数图象的对称性^iSf(x) = a(x -护-1
又/(0) = 0 ,因此fif 二2 ,因此/(X) = 2(x 冷2 •卜"2乜
因为点⑺/ Sj 在函数/(x)的图象上,因此S/, = 2"2 • "•当》= 1时,fli = Si = l ；当心2
时"n = S 刀• S…=4" • 3(" = 1 时也成立)，因此 ffn = 4H - 3(/1 eN*) •
竺工2)，令C 二.§cHO),即得亦=2/1 ,现在数列｛亦｝
为等差数列,因此存在非零常数C = •扌，使得｛阴为等差数列-
Sn + n 2〃2 • « + «
(3) c 〃 = —jj —=——-——= 2/1 ,那么c ・2c = 2«X2M = «X22«U
因此 ％ = 1X2* 2X25 + …+ 5 • 1)2勿•心《X2勿",
47； = 1X25 + 2X27 + ••• + (〃 • 1)2M" + «X2助门，
23(1 - 4”)
两式相减得:-3r… = 2^ + 2" + - + 2^*> -/iX2^*^ = --------- 心2 "
1-4
九NO 由
彳 dn "WO
=K 76 • -y*/* {n • l)rf
• ¥〃 + «</冬0 今 15黑”016£, ⑵因为bn =
» + C // +C n+c
23(1 - 4") (3… - 1)2力"3*8 Tn =
3
99。