2.3等差数列的前n项和第一课时教案
2.3等差数列前n项和公式(1)
nm
（3）在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
问题 1：
求和：1+2+3+4+‥ ‥ +99=？
问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:Sn= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n 2 +1 Sn = n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 +
2Sn n(n 1)
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况， an 0且an 1 0
二.等差数列an 的首项a1 0, 公差d 0时，前n项和S n 有最小值
2 d 1、利用S n：S n d n ( a 1 2 )n.借助二次函数最值问题 2
2、利用 an：借助通项公式 an的正负情况与前 n项和S n的 变化情况， an 0且an 1 0
等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列。
如果an 为等差数列 ，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 Sk，公差为k d。
2
二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 得
2.3 等差数列的前n项和(一)讲学稿
前置作业： 1、 已知数列 an 是等差数列， a1 4, a8 18, n 8 ，求 S n
2、已知数列 an 是等差数列， a1 10, d 2, n 20 ，求 S n
研讨探究： 探究一：等差求和公式的推导(预习) 问题 1：计算 1 2 3 100 （思考：计算 1 2 3
2、已知数列 an 是等差数列， d 2, n 15, an 10 ，求 a1 及 S n
3、设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和，若 S 5 25, S 10 100 ，求 an
当堂检测： 1、 （1）设 S n 施等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3, a6 11 ，则 S 7
d=
总结反思：
101）
问题 2：计算 1 2 3
n
探究：数列 an 是等差数列， S n 是前 n 项和，则 S n a1 a2
an 怎么求？
探究二：求和公式的灵活应用 1、已知数列 an 是等差数列， a2 4, a7 18, n 8 ，求 S n （比较一下前置 1）
（2）若 an 中存在 am , an , ap , aq ，满足 m n p q ，则 （3）求和公式： S n = =
2、方法提点：灵活应用通项公式和求和公式解题。
重要例题示范： 例 已知数列 an 是等差数列， a5 10, S 5 30 ，求 S n
an a1 n 1 d a1 4d 10 a1 2 解：方法一：根据 ， n n 1 得： 5a 10d 30 ，解得 d d 2 1 S n a1n 2
数学学科讲学稿
高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和 第一课时 等差数列的前n项和
n＝1 n≥2.
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在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
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nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d， 又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， 所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
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[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
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[自主解答]
an＝a1＋n－1d， 由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11， 得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5， 解方程组得 a1＝3， n＝7， 或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第 二 章 数 列
等 差 数 列 的 前
第一 课时 等差 数列 的前 n项 和
名 师 课 堂 · 一 点 通
创 新 演 练 · 大 冲 关
考点一 考点二 考点三
n
项 和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
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2.3 等差数列的前n项和(1)
解答：假设a1=7，则d=7, an=7n<100. 由7n<100得最大正整数n为14， 所以元素的个数是14. 故S14=14×7+½(14×13×7)=1911, 即这些元素的和是1911.
□范例讲解 例3. 等差数列{an}的前n项和为Sn， 若S4＝16，S8＝64，求S12.
d 2 d S n n (a1 )n 2 2
用a1和an表示
☆能用基本量 a1和d表示吗？
二次函数形式
□范例讲解 例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4，S8＝172，
求a8和d; (2)等差数列－10，－6，－2，2，…前多少 项的和是54？ n(a1 an ) (1)答案：a8=39，d=5; Sn
2
S n na1 n( n 1)d 2
(2)解答：
因为a1=-10，d=4, Sn=54, 则 Sn=na1+½n(n-1)d,即得n² -6n-27=0, 解得n=9. 所以前9项的和是54.
□范例讲解 例2. 求集合
M {m | m 7n, n N * 且m 100}
orLeabharlann n( n 1)d S n na1 2
2.等差数列的前n项和的性质：
在等差数列中， Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也是等差数列.
课后作业
1. 课本P.40 第1题；
2. 作业本 1-9.
“倒序相加”法
□讲授新课 1. 数列的前n项和： 数列{an}中，
a1 a2 a3 an
称为数列{an}的前n项和，记为Sn.
Sn a1 a2 a3 an
2. 等差数列的前n项和公式
2.3等差数列的前n项和第一课时
解法3： 解法 ：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 , ∴2S=(1+100)+(2+99)+ ···+(99+2)+(100+1) =100× =100×101 s=100× s=100×(1+100)/2 ∴S=5050 .
算术法
解法1与解法2 解法1与解法2的比较
课
题
等差数列的前n 等差数列的前n项和 第一课时
三门中学
辛颖
2007 03 19
星期一
问题1 问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1: 解法1:
∵1+100=101， 2+99=101， 3+98=101 ， 4+97=101， ··· ， ··· ， 49+52=101，50+51=101. ∴1+2+3+4+5+···+100 =50×101 =5050.
公式的应用
例1.求和： 1.求和： 求和 （1） 101 + 100 + 99 + 98 + 97 + ⋯ + 64 ； （2） 2 + 4 + 6 + 8 + ⋯ + (2n + 4)（结果用
n表示） 表示）
中前多少项的和是9900 9900？ 例2.等差数列 2, 4, 6,⋯ 中前多少项的和是9900？ 2.等差数列
高斯 德国著名数学家高斯 （Carl Friedrich Causs 1777年~1855 年 ），10岁时曾很快 年）， 岁时曾很快 求出它的结果！ 求出它的结果！
《等差数列前n项和公式》教案
《等差数列前n项和公式》微课教案----天津市木斋中学王珏教材选自：普通高中课程标准试验教材数学（人教A版）《必修5》“§2.3等差数列前n项和”第一课时。
一、教学目标设计《课程标准》指出本节课的学习目标是：探索并掌握等差数列前n项和公式；能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系并能用相关知识解决相应的问题。
考虑到学生的接受能力和课容量，本节课只要求学生探索并掌握等差数列前n项和公式，并会对公式进行简单的应用。
故结合《课标》的要求，我将本节微课的教学目标确定为：知识与技能：探索并掌握等差数列前n项和公式，会用公式解决一些简单的问题；方法与过程：通过对等差数列前n项和公式的探索，体会“从特殊到一般”的数学研究方法和数形结合的数学思想方法，学会观察、归纳、反思；情感、态度与价值观：让学生亲身经历知识的建构过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重、难点：教学重点：能从具体实例中探索并掌握等差数列前n项和公式,并用其解决一些简单的问题。
教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。
三、课堂结构设计新课程提倡在教学过程中，学生是一个积极的探究者，教师的作用是创设问题情境，帮助学生在积极参与中遇水架桥、逢山开路。
因此，本节课设计了如下的课堂结构。
知三求二、渗透思想分析实例，感悟生活演练反馈、提升能力总结反思，深化认识布置作业，任务延伸四、教学过程设计结合本节课的特点，我主要安排了以下六个环节：(一)问题呈现阶段1、创设情境，提出问题——展示图片（印度的泰姬陵）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰汗为纪念其爱妃所建，历时22年，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上右图），奢靡之程度，可见一斑。
欣赏完如此美的故事及图案，请问：你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：源于历史，富有人文气息；图中算数，激发学生学习兴趣和探究欲望；承上启下，探讨高斯算法.2、自主探究，合作交流此时，教师先不参与，给学生一定的思考时间和思考空间，让学生自主活动。
《2.3 等差数列的前n项和》教学设计
附件 1-4
第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛
教学设计表
学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）
设计意图：培养学生观察、比较、分析、归纳等能力.
问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？
学情预设：知三求一的问题
设计意图：培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。
问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？
引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析
设计意图：培养学生类比、反思等思维能力.
设计意图：这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延.更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法.力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值.
（五）剖析例题，理解巩固
例1、众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲.但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA 的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：
600 650 700 750 800 850 900 950 1000 1050 请问：姚明这十天一共投了几个篮？
例2、求等差数列2、4、6、8、…、142的和.
设计意图：1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从。
等差数列前n项和教学设计
等差数列的前n项和（第一课时）教学设计
【教学目标】
一、知识与技能
1.掌握等差数列前n项和公式；
2.体会等差数列前n项和公式的推导过程;
3.会简单运用等差数列前n项和公式。
二、过程与方法
1．通过对等差数列前n项和公式的推导,体会倒序相加求和的思想方法；
2. 通过公式的运用体会方程的思想。
三、情感态度与价值观
结合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数列求和历史的了解,渗透数学史和数学文化。
【教学重点】
等差数列前n项和公式的推导和应用。
【教学难点】
在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。
【重点、难点解决策略】
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。
利用数形结合、类比归
纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒
体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
【教学用具】
多媒体软件，电脑
【教学过程】
一、明确数列前n项和的定义，确定本节课中心任务:
1。
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§2.3 等差数列的前
n 项和 授课类型：新授课
（第1课时） 一、教学目标
知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。
过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。
情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。
二、教学重点
等差数列n 项和公式的理解、推导及应用
三、教学难点
灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题
四、教学过程
1、课题导入
“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家
出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5050。
”
教师问：“你是如何算出答案的？
高斯回答说：因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以
101×50=5050”
这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规
律性的东西。
（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。
2、讲授新课
（1）等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ①
1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--
∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a
∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)(1n n a a n S +=
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性（2）等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d n n na S n -+= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1
但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2)1(1d n n na S n -+
= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1
3、例题讲解：
课本P43的例1
例2：已知一个等差数列{}n a 的前10项和是310，前20项和是1220，由这些条件能确定这个数列的前n 项和公式吗？
解：由题意知：1020310,1220S S == 将它们代入公式1(1)2
n n n S na d -=+ 得到方程组， 111045310201901220
a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解这个方程组得到：14,6a d ==
所以 23n S n n =+
例3：已知数列{}n a 的前n 项和为212
n S n n =+，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，写出它的首项和公差 解：根据12n n S a a a =+++与1121n n S a a a --=+++ 可知，当1n >时，221111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -=-=+
----=- 当1n =时，1132
a S ==， 所以{}n a 的通项公式为122n a n =-，首项为32，公差为2 由例3得与n a 之间的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，
即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n
.
4、课堂练习
课本P45练习1、2、3
练习①：根据题中条件，求相应的等差数列的前n 项和表达式
184,18,8a a n =-=-=
解：由于184,18a a =-=-， 所以8127
a a d -==- 代入前n 项和表达式中：
88(81)8(4)(2)882
S -=⨯-+⨯-=- 练习②：已知数列{}n a 的前n 项和为212343
n S n n =++，求这个数列的通项公式. 解：根据12n n S a a a =+++与1121n n S a a a --=+++ 可知，当1n >时，2211212153(1)(1)34343212n n n a S S n n n n n -=-=
++-----=+ 当1n =时，111112
a S =≠，所以 {}n a 的通项公式为47,112
51,1122
n n a n n ⎧ =⎪⎪=⎨⎪+ >⎪⎩ 练习③：求集合{}
21,,60M m m n n m +==-∈N <且的元素个数，并求这些元素的和.
解：由题意知 216030.5
m n n =-<< 所以，元素个数为30个
3030(301)30129002
S -=⨯+
⨯= 5、课时小结 本节课学习了以下内容：
1.等差数列的前n 项和公式1：2
)(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+
= Ⅴ.课后作业
课本P46习题[A 组]2、3题。