用2.3.2等差数列前n项和的性质推导讲课教案

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等差数列的前n项和(第二课时)说课稿

说课稿课题:2.3.2等差数列的前n项和（第二课时）（人教A版·必修5）各位评委、老师大家好！今天我说课的课题是：数学必修5的第二章第三节“等差数列的前n项和”的第二课时.下面我将从几点进行说明.一、说教材（一）教材内容的地位与作用本节课的教学内容是等差数列的前n项和公式及其简单应用．它与前面学过的等差数列的定义、通项公式有着密切的联系；同时，又为后面学习数列求和等内容做好准备．（二）教学目标1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究s n的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观：①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.（三）教学重点与难点教学重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.二、说学法让学生自己发现探究，有助于引起学生内部的学习动机.有助于学生深刻地理解和掌握知识，有助于思维能力的培养和训练，有助于知识的迁移.三、说教法本课时主要采用引导发现法：其基本流程为：“回顾复习——新知探究——解答——引入新问题——解答——小结”.四、说教辅利用多媒体展示需要解决的问题，既增加学习容量，也使各教学环节的衔接更加紧凑自然.五、说过程本课时的教学过程主要由“复习回顾”、“新知探究”、“引入新问题”以及“课堂小结”四个教学环节来体现和达到教学目标.下面我将对各个教学环节的教学内容、处理方法及其设计意图进行说明.I.复习回顾首先，回顾上一节所学的内容：（1）等差数列的前n 项和公式1：()12n nn a a s += （2）等差数列的前n 项和公式2：()112n n n d s na -+= 处理方法：提问，让学生回答.设计意图：帮助学生巩固已学知识，并为下面探究等差数列前n 项和作准备. Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 212+=，求（1）).2(1≥--n S S n n（2）求这个数列的通项公式.（3）这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？处理方法：课本例题，题型比较简单，由3个问题构成，层层递进，化简题目难度，主要是靠引导学生，让学生计算，黑板板书.设计意图：本例题实际上给出了数列前n 项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n 项是一个常数项为0的关于n 的二次型函数. 深化探究如果一个数列{}n a 的前 n 项和为2n S pn qn r =++.其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠ ，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：由2nS pn qn r =++ 得11S a p q r ==++ ⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a ).2()1(≥=n n 又2n S pn qn r =++ 2n ≥ 时 221()[(1)(1)]2()n n n a S S pn qn r p n q n r pn p q -=-=++--+-+=-+⎩⎨⎧+-++=∴)(2q p pn r q p a n ).2()1(≥=n n 1[2()][2(1)()]2n n d a a pn pq p n p q p -=-=-+---+= ∴此类数列从第二项开始为等差数列. 归纳要使数列{}n a 为等差数列，则,)(12r q p q p p ++=+-⨯即.0=r处理方法：通过例1，学生已经有了初步的判断，如何用s n 求解a n ，所以这一环节可以让学生上黑板板书.设计意图：本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n 项公式是一个常数项为0的关于n 的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题例2：已知等差数列 9,7,5,3，…的前n 项和s n ,求使得s n 最大的序号n 的值.分析：等差数列的前n 项和公式可以写成211(1)()222n n n d d d S na n a n -=+=+- ，所以可以看成函数2122d d x a x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，()*x N ∈，当x n =时的函数值.另一方面，容易知道n s 关于n 的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n 的值.解：由题意知，等差数列9,7,5,3，… 的公差为-2 所以当 n 取5时n s 取最大值.设计意图：通过学习等差数列前n 项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。

高中数学：2.3等差数列的前n项和教案

等差数列的前n 项和一、课型：新授课二、课时：2课时三、教学目标知识与能力：（1）掌握等差数列前n 项和公式,理解公式的推导方法；（2）能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。

过程与方法：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。

情感态度价值观：通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

四、教学重点：等差数列前n 项和公式及简单应用。

五、教学难点：获得等差数列前n 项和公式推导的思路。

六、教学方法：问题引导法七、教具：PPT 、教案八、教学过程 1．目标解读：（1）掌握等差数列的前n 项和公式，并能进行简单计算；（2）经历并理解等差数列前n 项和公式的发现和推导过程。

2．复习回顾：（1）等差数列的通项公式：（2）等差数列的性质：n m l k N n m l k +=+∈+,,,,时，有：3．问题导学：上节课我们已经学习了有关等差数列的一些基本性质,那么这节课我们就来探讨一下等差数列的前n 项和公式.问题一: 古算书<<张邱建算经>>中卷有一道题:今有与人钱,初一人与一钱；次一人与二钱;次一人与三钱；以次为之,转多一钱,共有百人。

问:共与几钱?教师：题目中我们可以得到哪些信息?要解决的问题是什么?学生：第一人得一钱, 第二人得二钱, 第三人得三钱,以后每个人都比前一个人多得一钱,共有100人,问共给了多少钱?教师：很好,问题已经呈现出来了,你能用数学语言表示吗?学生:用n a 表示第n 个人所得的钱数,由题意得: 1a =1, 2a =2, 3a =3,……, 100a =100.只要求出1+2+3+……+100即可.教师：高斯在他10岁的时候就神速的算出了结果,他的算法很高明,请问他是如何算的? 学生: 1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101⨯50=5050.教师: 上述问题我们可以看成是等差数列1,2,3,……,100,……的前100项和，即100321100a a a a S ++++=ΛΛ，根据等差数列的特点，首尾配对求和的确是一种巧妙的方法.问题二：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

《等差数列前n项和的公式》教案

《等差数列前n项和的公式》教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握等差数列前 n 项和的公式。

能够熟练运用公式解决与等差数列前 n 项和相关的问题。

2、过程与方法目标通过推导等差数列前 n 项和公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，体会数学中的转化思想。

3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和理解。

公式的熟练运用。

2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想的渗透。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾等差数列的定义和通项公式。

提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导以等差数列：1，2，3，4，5，，n 为例，引导学生思考求和的方法。

方法一：依次相加。

方法二：倒序相加。

设等差数列\（a_n\）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。

＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＋ a_{n-1} ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n-1} ＋ a_{n-2} ＋＋ a_2 ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n-1}）＋＋（a_{n-1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）3、公式理解分析公式中各项的含义。

2.3.2等差数列的前n项和的性质课件

故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
2
例 4：已知一个等差数列{an}的通项公式 an＝25－5n，求数
列{ |an|} 的前 n 项和 Sn.
错因剖析：解本题易出现的错误就是：(1)由an≥0 得，n≤5
理解为n＝5，得出结论：Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝50(n≤5)， 20－5nn－5 Sn＝；(2)把“前 n 项和”认为“从n≥6 起”的和． 2 事实上，本题要对n 进行分类讨论．正解：由an≥0 得n≤5，
4－1.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，Sn＝12n－n2. (1)求|a1|＋|a2|＋|a3|； (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|； (3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：∵Sn＝12n－n2，
∴当n＝1 时，a1＝S1＝12－1＝11，当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(12n－n2)－12(n－1)＋(n－1)2＝13－2n，当n＝1 时，13－2×1＝11＝a1，∴an＝13－2n. 13 ，由an＝13－2n≥0，得 n≤ 2 ∴当1≤n≤6 时，an>0；当n≥7 时，an<0. (1)|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3 ＝S3＝12×3－32＝27；
－15 解：(1)由题意知 S6＝ S ＝－3，a6＝S6－S5＝－8， 5
5a1＋10d＝5 ∴ a1＋5d＝－8
.解得 a1＝7，
∴S6＝－3，a1＝7.
(2)∵S5S6＋15＝0，
∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2 a1＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8. ∴d2≥8.
解法五：∵{an}为等差数列， ∴设Sn＝a·n2＋m＝4m2a＋2mb＝100，

2[1].3.2_等差数列的前n项和(二).ppt

变式:等差数列的前n项的和为Sn，且S10=310，S20=1220，则S30的值等于．
题型二、等差数列的前n项的性质
补充例题：已知等差数列前12项和354，其中偶数项的和与奇数项之比是32:27，求公差d
总结
1. 等差数列的前n项和公式： n(a1 an ) n(n 1) na1 d An2 Bn,( A, B为常数) Sn 2 2 2. 若数列{an}为等差数列：
2.3.2 等差数列的前n项和
习题课
一、复习 1. 若已知数列{an}前n项和为Sn，则该数列的通项公式 S1， n=1 为 a n= Sn-Sn-1，n≥2
2. 等差数列的前n项和公式： n(a1 an ) n(n 1) 2 na1 d An Bn,( A, B为常数) Sn 2 2 注：1.推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法” 2.方程组思想的应用，“知三求一” ，“知三求二” 3.等差数列{a }的前2n-1项和公式：
a1 a9 9 a5 2 b1 b9 b5 9 2
S 9 7 9 2 65 93 12 T9
3. 设等差数列{an}的公差-2，如果a1+a4+a7+….+a97=50, a3+a6+a9+….+a99=
练习4 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n. n=11 提示：a1+a2+a3+a4=26 an+an-1+an-2+an-3=110
四、总结
求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法：
（1）利用Sn=An2+Bn进行配方，求二次函数的最值， B 此时n应取最接近的正整数值； 2A （2）利用等差数列的增减性及an的符号变化，

等差数列前n项和教案（共5篇）

等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。

【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

2.3等差数列前n项和(第一课时)教案

2.3 等差数列的前n项和（第一课时）
等差数列的前n项和的公式及其推导方法
【教学难点】
等差数列的前n项和的公式的推导
【教学方法】
讲授法、启发法、分组教学法
【教学手段】多媒体
情境一世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于古印
度阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶嵌而成，共有100层.你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
情境二某仓库堆放一堆钢管，最上面一层有4根钢管，下面每层都比上一层多一根，最下面一层有九根.怎样计算这堆钢管的总数？解此题，借此回
列的定义
开动脑筋，思考
速
结果来。

在高斯10岁的时候，一天上数学课，老师问了这
问题二当情境一和情境二中的层数是奇数时，怎样计算？(思考)
【教学后记】
等差数列前n项和公式这一节的内容，重点在于公式的推导方法，倒序相加求和法，该方法在数列这一部分有着广泛的运用，因此老师的教学重点应该放在公式的推导过程的讲解上面，要让推导过程变得自然,学生易于接受.
其次课程设计的时候应更周到，后面涉及到要用的新学的性质应该提前复习，这样学生在用到的时候才有一个比较自然的过程.
在备课过程中要认真，避免出现习惯性错误，这样学生对老师的印象就不好了.。

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∴S 偶＝n(a1＋d)＋nn－2 1·2d＝na1＋n(n－1)d＋nd. S 奇＝na1＋nn－2 1·2d＝na1＋n(n－1)d. S 偶－S 奇＝nd. SS奇偶＝nan1＋a1＋nnn－n－1d1＋dnd＝a1＋a1＋n－nd1d＝aan＋n 1.
性质(7)从略．性质(8) ∵Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n， ∴当 a1>0，d<0 时，d2<0，a1－d2>0. 而抛物线的顶点横坐标为－a1－d d2>0，开口向下．所以此时 Sn 存在最大值．
8．方程的思想：在等差数列中，a1，d，an，Sn，n 五个量中知道 3 个可列方程(组)求其余两个．
－S2k
＝k(a1
＋2kd)
＋
kk－1 2
d
＝ka1
＋kk－2 1d
＋
2k2d，
∴Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，构成等差数列，且公差为 k2d.
性质(3) Sn＝na1＋nn－2 1d＝m. Sm＝ma1＋mm2－1d＝n. 两式相减得： ∴(n－m)a1＋d2[(n2－n)－(m2－m)]＝m－n， ∴a1＝－d2(n＋m－1)－1， ∴Sn＋m＝(n＋m)a1＋n＋mn2＋m－1d
教材 45 页例 4，要注意从函数的角度来看待等差数列，注意知识之间的衔接、联系，一方面可从二次函数最值来讨论，另一方面可从一次函数零点和正负值区间来考察，注意体会这种多角度、全方位看问题的方法．
6．课前自主预习中性质的推导：性质(1)
如果{an}是等差数列，公差为 d，则 Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2 n2＋(a1－d2)n，令 A＝d2，B＝a1－d2，则 Sn＝An2＋Bn.反之，若 {an}前 n 项和 Sn＝An2＋Bn，则 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(An2＋ Bn)－[A(n－1)2＋B(n－1)]＝2A＋(B－A)，a1＝S1＝A＋B 也满足，∴an＝2An＋(B－A)，显然{an}为等差数列．
＝(n＋m)[－d2(n＋m－1)－1＋n＋m2－1d] ＝－(n＋m)．性质(4) ∵Sm＝Sn，∴ma1＋mm2－1d＝na1＋nn－2 1d ∴a1＋d2(m＋n－1)＝0，
∴Sm＋n＝(m＋n)a1＋m＋nm2＋n－1d
＝(m＋n)[a1＋d2(m＋n－1)]＝0.
性质(5)
∵{an}，{bn}均为等差数列， 2m－1a1＋a2m－1
同理当 a1<0，d>0 时，Sn 存在最小值．在 a1>0，d<0 时，求Sn 的最大值可以用二次函数求最值，
也可以解不等式组an≥0 an＋1<0
来确定 n；在 a1<0，d>0 时，求 Sn
的最小值可用二次函数求最值，也可以解an≤0 来确定 n. an＋1>0
7．解决数列的应用问题，应重点分清所求问题是数列的通项，还是前 n 项的和．求项数时，要注意分清究竟是多少项，避免多一项和少一项的错误，对其结果，要看有无合理解释，是否符合实际问题．
性质(2) 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 ak＋1＝a1＋kd，a2k＋1＝a1＋2kd. Sk＝ka1＋kk－2 1d. 又 S2k－Sk 为数列第 k＋1 项到第 2k 项这 k 项的和， ∴S2k－Sk＝k(a1＋kd)＋kk－2 1d
＝ka1＋kk－2 1d＋k2d.
同
理
：
S3k
∴AB22mm－－11＝2m－1b21＋b2m－1＝ab11＋＋ab22mm－－11 2
＝22abmm＝abmm.
性质(6) ①在等差数列中， a1＋a2n＝a2＋a2n－1＝…＝an＋an＋1， ∴S2n＝2na12＋a2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)． ②又偶数项的首项为 a2＝a1＋d，偶数项构成以 2d 为公差的等差数列；奇数项的首项为 a1，奇数项构成以 2d 为公差的等差数列，且项数都为 n.
3.等差数列前 n 项和的性质 (8)在等差数列{an}中，a1>0，d<0.则 Sn 存在最__大___值；
a1<0，d>0，则 Sn 存在最__小__值．
(9)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则{Snn}也是等差数列． (10)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，则当 p≠q(p，q∈N*) 时，有: pS＋p＋qq＝Spp－－qSq.
2.3.2等差数列前n项和的性质推导
3．等差数列前 n 项和的性质等差数列有以下 10 条常用的性质： (1)Sn 是等差数列{an}前 n 项和⇔Sn＝An2＋Bn(A、B 为常数)． (2)等差数列(公差 d≠0)依次 k 项之和仍然是等差数列，即 Sk，
S2k－Sk，S3k－S2k…成公差为 k2d 的等差数列． (3)等差数列{an}中，若 Sn＝m，Sm＝n，(m≠n)，则有 Sm＋n＝－__(_m__＋__n_) _。
(4)若 Sm＝Sn(m≠n)，则 Sm＋n＝0.
(5)若{an}和{bn}均为等差数列，且前 n 项的和分别为 An 与 Bn，则有
abmm＝AB22mm－－11.
3.等差数列的前 n 项和的性质 (6)项数为 2n(偶数)的等差数列{an}，有：
S2n＝n(an＋an＋1)，(an、an+1 为中间两项) S 偶－S 奇＝_n_d___， SS奇偶＝aan＋n 1. (7)项数为 2n－1(奇数)的等差数列{an}，有： S2n－1＝__(_2_n_－__1_)_an，(an 为中间项) S 奇－S 偶＝__a_n_， SS奇偶＝n－n 1.