四种命题典型例题

四种命题·典型例题

能力素质

例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x

[ ]

A y x y

B y kx x y

C x y y ．若≠

，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x

k x

D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x

分析 条件及结论同时否定，位置不变．

答 选D ．

例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．

分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了．

解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角．

例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________．

分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题．

解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}”

例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．

分析 根据命题的四种形式的结构确定．

解 逆命题：若x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0；

否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0；

逆否命题：若x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0．

说明：“x 、y 全为0”的否定不要写成“x 、y 全不为0”，应当是“x ，y

不全为0”，这要特别小心．

例5 有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

A B B A B

④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是

[ ] A．①②B．②③

C．①③D．③④

分析应用相应知识分别验证．

解写出相应命题并判定真假

①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题；

②“不相似三角形周长不相等”为假命题；

③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；

选C．

点击思维

例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题．

①内接于圆的四边形的对角互补；

②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d；

分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题．

解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；

逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”；

否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；

逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”．

对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c ＝b＋d”是结论．所以：

逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”；

否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)；

逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”

说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假．

例7 已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．

分析 如果从正面分类讨论情况要复杂的多，而利用补集的思想(也含有反证法的思想)来求三个方程都没有实根的a 范围比较简单．

解由－－＜－－＜＋＜得 16a 4(34a)0(a 1)4a 04a 8a 0

2222?????

说明：利用补集思想，体现了思维的逆向性．

学科渗透

例8 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． ①＞时，－＋＝无实根；m mx x 10214

②当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0．

分析 改造原命题成“若p 则q 形式”再分别写出其逆命题、否命题、逆否命题．在判定各种形式命题的真假时要注意利用等价命题的原理和规律．

解①原命题：“若＞，则－＋＝无实根”，是真 m mx x 10214

命题；

逆命题：“若－＋＝无实根，则＞”，是真命题；否命题：“若≤，则－＋＝有实根”，是真命题；逆否命题：“若－＋＝有实根，则≤”，是真命题．mx x 10m m mx x 10mx x 10m 22214

14

14

②原命题；“若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0”，是真命题；

逆命题：“若a ＝0或b ＝0或c ＝0，则abc ＝0”是真命题；

否命题：“若abc ≠0，则a ≠0且b ≠0且c ≠0”，是真命题；(注意：“a ＝0或b ＝0或c ＝0”的否定形式是“a ≠0且b ≠0且c ≠0”

逆否命题：“若a ≠0且b ≠0且c ≠0，则abc ≠0”，是真命题．

说明：判定四种形式命题的真假可以借助互为逆否命题的等价性．

例若、、均为实数，且＝－＋π，＝－＋π，＝－＋π，求证：、、中至少有一个大于．9 a b c a x 2y b y 2z c z 2x a b c 022223

6

分析 如果直接从条件推证，方向不明，过程不可预测，较难，可以使用反证法．

解 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则有a ＋b ＋c ≤0，而 a b c (x 2y )(y 2z )(z 2x )222＋＋＝－＋π＋－＋π＋－＋π236 ＝(x 2－2x)＋(y 2－2y)＋(z 2－2z)＋π

＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋(π－3)

∴ a ＋b ＋c ＞0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾．

因此a 、b 、c 中至少有一个大于0．

说明：如下表，我们给出一些常见词语的否定．