2020春新教材高中数学-7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册

7.2.2 单位圆与三角函数线

(教师独具内容)

课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．

教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.

【知识导学】

知识点一 单位圆

(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□

01x 2

＋y 2

＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□

02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线

如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则

(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．

(2)其中|cos α|＝□

04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →

的方向与y

轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →

的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →

的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.

【新知拓展】

1．单位圆中的“单位”

半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．

2．对三角函数线的几点说明

(1)三角函数线是三角函数的图形表示．

(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．

P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，

A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做

(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )

A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→

B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→

C ．正弦线MP →，正切线AT →

D ．正弦线PM →，正切线AT →

(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π

16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )

A ．MP

B ．MP >OM >0

C ．OM

D ．OM >MP >0

(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π

4 C.π4或5π4

D.π4或7π4

答案 (1)C (2)D (3)C

题型一 画出角的三角函数线

例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边． (1)sin α＝2

3；

(2)cos α＝－3

5；

(3)tan α＝2.

[解] (1)作直线y ＝2

3交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.

(2)作直线x ＝－3

5交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.

(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.

金版点睛

1．作三角函数线的四个步骤

(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .

(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其

反向延长线)交于T (T ′)．

(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→

)． 2．单位圆中求作角的终边的方法

应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．

[跟踪训练1] 作出5π

4

的正弦线、余弦线和正切线．

解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作

5π

4

的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →

分别为5π4的正

弦线、余弦线、正切线.

题型二 利用三角函数线比较大小

例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π

5；

(2)cos 2π3与cos 4π

5；

(3)tan 2π3与tan 4π

5.

[解] 如图，在单位圆中，

2π3的终边为OP 1，4π

5

的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.