探索用平面截正方体所得截面形状
高一下学期数学人教A版2019必修第二册8.1.3多面体的截面作法与正方体的截面形状课件.pptx
探究与讨论Βιβλιοθήκη 现在用一个平面来截正方体，
D1
截面怎么作图，可能有哪些形状？
A1
G
例1如图，正方体ABCD―A1B1C1D1中， E、F、G分别在AB、BC、DD1上， 求作过E、F、G三点的截面．
D
A
E
C1
B1
C F B
方法(交线法)：
该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．
请数学课代表和6个小组长组织大家组内合作， 将大家能找出的截面草图画出来，然后我会随机 点一位组员分享每个组的学习成果！
注意：每组只有4分钟的时间交流，1-2分钟的时间分享！
各数学学习小组 分享结果汇总ing
第一种情况：截面为三角形
第二种情况：截面为四边形
第三种情况：截面为五边形
第四种情况：截面为六边形
作法： (1)在底面AC内，过E、F作直线EF分别 与DA、DC的延长线交于L、M．
D1
G A1
(2)在侧面A1D内，连结LG交AA1于K．
(3)在侧面D1C内，连结GM交CC1于H．
K
D
(4)连结KE、FH．则五边形EFHFK即为所求的截面． L A
E
C1
B1 H CM
F B
合作与交流
例1告诉咱们正方体的截面可以是五边形， 那么还有哪些形状呢？
教师评价与归纳
课堂小结：
作业布置：
• 做完课时作业中关于截面的习题； • 回家找现有的水箱、水桶、纸箱、大碗等适量盛水移动部分顶点， 观察水面图形的变化；
感谢聆听！
观察与思考
1、将一个西瓜或橘子切成两半，你能想象切面大致是什么形状吗？
《截一个几何体》(教案 (公开课)2022年设计)2
截一个几何体教材分析:“截一个几何体〞是七年级?数学?〔上〕中继“生活中的立体图形〞和“展开与折叠〞之后的一个学习内容。
在本章教材的编排顺序中起着承上启下的作用，截一个几何体是让学生经历切截几何体的活动过程，探索几何体在切截过程中会有怎样的变化，体验以运动的眼光观察事物的过程，丰富几何直觉和数学活动经验，增强动手实践能力和空间想象能力。
教学目标:通过经历对几何体切截的实践过程，让学生体验面与体之间的转换，探索截面形状与切截方向之间的联系，从而丰富学生的几何直觉和数学活动经验，开展学生的空间观念和创造性思维能力，在下载学习工具的过程中学感受学习信息技术的重要性，同时培养学生的数学语言表达能力。
初步形成主动与他人合作交流的意识。
教学重点:经过切截正方体的活动过程，体会正方体截面的变化。
教学难点:正确判断用一个平面去截一个正方体得到的截面形状。
学生分析:七年级学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，通过在网上下载，利用教学软件在运行平台上对正方体进行截割，加工的热情势必较高，如果创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。
课前准备:1.在“Z+Z〞教育平台网站上下载“立体几何〞运行程序，并装在“网络教室〞的学生机及教师机上。
2.在“Z+Z〞教育平台网站上下载教学资源：1-3正方体的截面、1-3正方体的截面〔1〕、1-3正方体的截面〔2〕，共三个内容，并放在学校网站上。
3.用PowerPoint把下载的flash课件链接起来，贯穿全部教学内容。
课后反思：本堂课的教学模式设计理念较为先进，整个教学推进涉及三个维度，〔见以以下图〕彼此环环相扣，由浅入深，学生通过自己的实验操作感受并获取知识，圆满地完成了教学任务。
但在具体的操作过程中，耗时较多，这主要是学生的信息素养差，对下载和安装不熟悉，再就是运用鼠标的能力差，在托动中完不成自己的设想，故今后要加强学生的信息素养的培养。
2014年XXX版七年级数学上册第一章《丰富的图形世界》导学案
2014年XXX版七年级数学上册第一章《丰富的图形世界》导学案第一章丰富的图形世界第一节生活中的立体图形研究目标】1.通过从现实世界中抽象出形象的过程，感受图形世界的丰富多彩。
2.在具体情境中，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征。
3.通过丰富的实例，进一步认识点、线、面，初步感受点、线、面之间的关系。
4.在对图形进行观察、操作等活动中，积累处理图形的经验，发展空间观念。
研究方法】自主探究与合作交流相结合研究重难点】重点：认识常见的几何体的基本元素，了解棱柱的一些基本概念及其某些特性。
难点：用语言描述常见几何体的某些特征及对几何体的分类。
研究过程】模块一预反馈一、研究准备1.在小学研究过的立体图形有哪些？2.长方体有几个面？每一个面都是什么形状？正方体有几个面？每一个面都是什么形状？长方体的表面积和体积分别是多少？正方体的表面积和体积分别是多少？3.阅读教材：p2—p6第1节《生活中的立体图形》，并完成随堂练和题。
二、教材精读4.写出以下几何体的名称：（1）长方体；（2）正方体；（3）圆锥；（4）圆柱；（5）棱柱；（6）球。
5.棱柱的有关概念及其重要特点：1）棱柱的有关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做棱棱。
2）棱柱的三个特征：一是棱柱的所有侧棱长都相等；二是棱柱的上下底面的形状都是相同的多边形；三是侧面都是相同的形状。
3）棱柱的分类：根据底面多边形的边数将棱柱分为三角柱、四边形柱、五边形柱、六边形柱等等；它们的底面分别是三角形、四边形、五边形、六边形等等。
4）棱柱中的元素之间的关系：底面多边形的边数n，可确定该棱柱有n个顶点、n条棱、其中有n-2条侧棱，有2个面，n个侧面。
实践练：请你按适当的标准对下列几何体进行分类。
引导：1）按柱体、锥体、球体分（最常见的分法）。
2）按组成几何体的面的平曲分。
3）按有没有顶点分。
归纳：圆柱和棱柱的异同：相同点：圆柱和棱柱都有个底面，且底面的形状和大小完全相同。
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
北师大版数学七年级上册第一章丰富的图形世界截一个几何体
图形编号
①
②
③
截面形状
图形编号
⑤
⑥
⑦
截面形状
答案 ①圆 ②三角形(等腰三角形) ③圆 ④长方形 ⑤三角形 ⑥梯形 ⑦三角形 ⑧长方形
栏目索引 ④ ⑧
3 截一个几何体
栏目索引
1.用一个平面去截①圆锥;②圆柱;③球;④五棱柱,能得到截面是圆面的 是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
答案 D 几何体共有几个面,截面最多是几边形.四棱柱共六个面,五 棱柱共七个面,圆柱共三个面,它们都截不出八边形,七棱柱共九个面,能 截出八边形.
3 截一个几何体
栏目索引
4.如图1-3-3,观察下列几何体,用平面分别截这些几何体,请在表中填写 各图形截面(阴影部分)的形状.
图1-3-3
3 截一个几何体
答案 B 经过圆锥顶点且垂直于底面的截面是等腰三角形.
3 截一个几何体
栏目索引
2.用一个平面去截一个几何体,截面形 状为三角形,则这个几何体可能为 ①正方体;②圆柱;③圆锥;④正三棱柱.
.(写出所有正确结果的序号)
答案 ①③④
解析 ①截去一角,截面形状为三角形;②用任何平面截圆柱都不能截 出三角形;③沿竖截面截,截面形状为三角形;④用与底面平行的面截,截 面形状为三角形.
3 截一个几何体
栏目索引
图1-3-4①是一个正六面体,把它按图1-3-4②中所示方法切割,可以得 到一个正六边形的截面,则下列展开图中正确画出所有的切割线的是 ()
图1-3-4
3 截一个几何体
栏目索引
答案 C 截面没有过立方体的任何一个顶点,只有C选项符合.故选C.
3 截一个几何体
栏目索引
常见几何体的截面形状初探——“几何体的截面形状”研究性学习论文汇总
“几何体的截面形状”研究性学习论文---- 常见几何体的截面形状初探【摘要】：正用平面去截一个几何体,所截出的面,就叫截面(section),我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
【关键词】：截面形状几何体正方体平面图形等边三角形锐角三角形分类四边形正五边形梯形【正文内容】：按《全国普通高中课程标准》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在北师大版高中数学必修二第一章结尾教材编写者设计了《正方体的截面形状》研究性课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。
众所周知，帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力是高中数学教师义不容辞的责任和义务；教师要通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。
此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。
因此，要培养全面、专业的优秀人才离不开研究性的探究和学习，高中一年级的学生对《正方体的截面形状》研究性课题的深入探究和学习就显得格外重要，很有必要。
用平面去截一个几何体，所截出的面,就叫截面(section),截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况。
用平面去截一个几何体,我们可以想象,类似于用刀去切(截)几何体,把几何体分成两部分,刀在几何体上留下的痕迹就是截面的形状,截面是一个平面图形。
在医学诊断上,有一种与“截几何体”类似的仪器和方法,它是通过X射线扫过人体的患病器官,然后通过计算机处理相关测量数据,重建人体断层图象,并作出诊断,这就是是“CT影像诊断技术”――在医学史上具有划时代意义。
北师大版-数学-七年级上册-《截一个几何体》知识全解
1.3截一个几何体新知概览：知识要点课标要求中考考点用平面去截几何体所得截面的形状探索并理解几何体的截面形状。
截面的定义（掌握）几种常见几何体的截面掌握几种常见几何体的截面。
判断一个几何体的截面(应用)本节重、难点1.重点：截面的定义和形状．2.难点：利用截面解决实际问题．知识全解知识点1截面（1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．（2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.知识警示：（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．知识拓展正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（）思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．知识方法：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．知识点2几种常见几何体的截面（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．图1-3-1A图1-3-2B C D（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.知识警示： (1) 用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形.(2) 用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆.【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ）思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．图1-3-5图1-3-4 图1-3-6。
《截一个几何体》示范教学方案
第一章丰富的图形世界1.3截一个几何体一、教学目标1．通过经历用一个平面去截一个几何体的切截活动，理解截面的意义，识别一些几何体截面的形状.2.培养空间想象能力，丰富数学活动经验，发展空间观念．二、教学重点及难点重点：引导学生参与用一个平面截一个正方体的数学活动，体会截面和几何体的关系. 难点：同一几何体不同角度切截所得截面的不同形状的想象与截法，从切截活动中发现规律三、教学准备三角尺、正方体模型、立方体、圆柱体、球体实物模型、胶泥四、相关资源动画《用平面截正方体》五、教学过程【复习回顾】复习回顾，引出新课此图片是动画缩略图，本动画资源探究了用平面截正方体的过程，适用于截一个几何体的教学.若需使用，请插入【数学探究】用平面截正方体.板书：3.截一个几何体【新知讲解】（一）定义：截面师生活动：用小刀切几何体（胶泥）．展示图片，理解截面的定义用一个平面去截取一个几何体，截出的面叫做截面；变换一个角度，截面的形状可能就有所不同．设计意图：教师借助学生在生活中切菜和削水果的体验，引导学生进入本节的学习，使学生感受到数学知识与实际生活是紧密联系的．（二）平面截几何体，截面形状的探究探究一：用一个平面去截正方体，所得到的截面形状师生活动：老师巡视，鼓励学生从切截活动中验证自己的猜想．此处注意学生空间认知的差异，引导学生相互交流，突出生生之间的交流和评价．截出等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等图形给予肯定．对于先截出五边形或是六边形的小组给予肯定，并且引导其他没有截出五边形或是六边形的小组合作尝试．在师生交流中注意发现学生表述中的闪光点，为下一环节做好准备．归纳总结：三角形截面：正方形截面：长方形截面：梯形截面：五边形截面：六边形截面：总结分析后，引导学生认识到：平面与正方体的几个面相交，就能得到几条线，所得的截面就是几边形，而正方体只有六个面，所以平面最多与正方体的六个面都相交，所得的截面最多有六条边.刚才截一个正方体就得多个不同的截面，那么如果截一个圆柱体呢？或是截一个其他棱柱体呢？你又会得到一些什么样的截面？探究二：平面截圆柱，所得到的截面图形状师生活动：帮助学生完成由实际体验到空间想象的过渡，提高想象能力．并总结各种截面是如何截出来的，它们有什么规律．从圆柱的中间横截得的图形是圆．从圆柱的中间斜截得的图形是椭圆（如图）．从圆柱的中间竖截得的图形是长方形（如图）等．探究三：归纳总结：1.用平面截几何体所得截面的形状有哪些？截面的形状多为圆和多边形，也可能是不规则图形，一般与下面两点有关：①几何体的形状；②切面的方向和角度．一般地，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面与几个平面相交就得到几边形，截面与曲面相交，得到曲线，截面是圆或不规则图形．2.几种常见几何体的截面：正方体的截面有：三角形，等腰三角形，等边三角形；正方形，长方形，平行四边形，菱形，梯形，五边形，六边形；圆柱的截面：圆，椭圆，长方形，不规则图形；圆锥的截面：圆，椭圆，等腰三角形，不规则图形．【典型例题】1．图中的截面分别是什么形状？解：图中的截面分别是：（1）长方形；（2）六边形；（3）三角形：（4）圆形．2．分别指出图中几何体截面形状的标号．解：（1）是B；（2）是C．3．用平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方体，你能想象出原来的几何体可能是什么吗？解：可能是正方体、圆柱、长方体、棱柱等．设计意图：进一步发展学生空间想象能力，并且通过题型训练形成初步技能．同时引导学生进行分析，了解圆柱、圆锥、棱柱、球的截面，提高学生对几何体的截面的认识．4．有下列几何体：（1）圆柱；（2）正方体；（3）棱柱；（4）球；（5）圆锥；（6）长方体．则这些几何体中截面可能是圆的有（）．A．2种B．3种C．4种D．5种5．下列说法中，正确的是（）．A．用一个平面去截一个圆锥，可以是椭圆B．棱柱的所有侧棱长都相等C．用一个平面去截一个圆柱体，截面可以是梯形D．用一个平面去截一个长方体截面不能是正方形6．正方体被一个平面所截，所得边数最多的多边形是（）．A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形答案：4．B．5．B．6．C．【随堂练习】2．用平面去截一个三棱柱，截面可能是什么形状？先想一想，再做一做．3．用平面去截一个几何体，如果截面形状是圆，你能想象出原来的几何体可能是多么吗？如果截面是三角形呢？参考答案：1．解：（1）三角形；（2）圆；（3）五边形；（4）长方形．2．可能是三角形、四边形、五边形．3．解：（1）截面是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球等或其中某些几何体的组合体．（2）截面是三角形的几何体可能是正方体、棱锥、棱柱、圆锥等或其中某些几何体的组合体．六、课堂小结：谈谈本节课你有什么收获？1.师生共同回顾正方体的截面形状和一些常见几何体的截面形状.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？截一个几何体所得平面图形的边数不会超过它的面数【教学说明】学生大胆发言，回顾本节课所学新知，加深印象.。
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探索用平面截正方体所得截面形状
黄山学校陆荣
高二上学期黄山市期末质量检测理科有一道平面截正方体所得截面形状的问题，这一块具有一定的抽象性，现将此类问题做一个归纳总结。
一：问题背景
在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。
而在普通高中课程标准试验教科书《数学（必修2）》中，第一章立体几何初步中的第7节简单几何体的面积和体积中探讨了简单几何体。
于是我们想到了若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？
二：研究方法
先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究，再利用计算机进行模拟实验。
证明，得出结论。
三：结果呈现
当平面经过正方体三个面时，所得截面形状是三角形。
可能是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形。
当平面经过正方体四个面时，所得截面形状是四边形——长方形，正方形，梯形。
当平面经过正方体五个面时，所得截面形状是五边形。
当平面经过正方体六个面时，所得截面形状是六边形。
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
已知：OA比OD=OC比OF=OB比OE
求证：三角形ABC是正三角形
证明：因为OA比OD=OC比OF=OB比OE
所以AC比DF=AB比DE=于BC比EF
又因为DF=DE=EF
所以三角形ABC是正三角形
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
已知：OA比OE=OB比OH；DN比FN=CN比NG；AD，AB都分别垂直于OE，OH
求证：四边形ABCD为矩形
证明：因为OA比OE=OB比OH
所以AB 平行CN
因为EH平行且垂直于FG
所以EFGH为平行四边形
所以AB平行平面EF；GH平行ABDC
因为DN比FN=CN比NG
所以DC平行FG
所以AB平行DC
所以四边形ABCD为矩形
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
已知：OD比OG=OC比OF；AN比HN=NB比NE；且AB不=DN
求证：四边形ABCD是梯形
证明：因为OD比OG=OC比OF
同理AB平行HE
因为GF平行HE
所以AB平行DC
又因为AB不=DC
所以AD，BC一定不平行
所以四边形ABCD是梯形
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。