北师大版数学高二-2.4 用向量讨论垂直与平行导学案 北师大版选修2-1
北师大版数学高二学案 2.4用向量讨论垂直与平行(一)
§4用向量讨论垂直与平行(一)学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题(重点).2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系(重、难点).知识点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n，则向量n叫做平面α的法向量知识点二(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R).(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R).【预习评价】1.直线的方向向量一定是单位向量吗？提示不一定.直线的方向向量是与直线平行的一个非零向量，长度不一定是1.2.空间两个不共线向量一定共面吗？提示一定共面.题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 【例1】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(2，3，－1)，b ＝(－6，－9，3)； (2)直线l 1与l 2的方向向量分别是a ＝(－2，1，4)，b ＝(6，3，3)； (3)平面α与β的法向量分别是u ＝(1，－1，2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；(4)平面α与β的法向量分别是u ＝(2，－3，4)，v ＝(4，－2，1)；(5)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(0，－8，12)，u ＝(0，2，－3). 解 (1)∵a ＝(2，3，－1)，b ＝(－6，－9，3)， ∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2.(2)∵a ＝(－2，1，4)，b ＝(6，3，3)，∴a·b ≠0且a ≠k b (k ∈R )，∴a ，b 既不共线也不垂直，即l 1与l 2相交或异面. (3)∵u ＝(1，－1，2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12，∴u·v ＝3－2－1＝0，∴u ⊥v ，即α⊥β.(4)∵u ＝(2，－3，4)，v ＝(4，－2，1)，∴u·v ≠0且u ≠k v (k ∈R )，∴u 与v 既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)∵a ＝(0，－8，12)，u ＝(0，2，－3)， ∴u ＝－14a ，∴u ∥a ，即l ⊥α.规律方法 (1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面. (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.【训练1】 设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.解析 ∵α∥β，∴(1，3，－2)＝λ(－2，－6，k )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝1，λk ＝－2，∴λ＝－12，k ＝4. 答案 4题型二 求平面的法向量【例2】 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量.解 如图，以A 为原点，以AD →，AB →，AS →分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1，1，0)，S (0，0，1)，则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 易知向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量.设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1，1). 规律方法 求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面ABC 的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如AC →，AB →； (2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.【训练2】 已知A (1，0，1)，B (0，1，1)，C (1，1，0)，求平面ABC 的一个法向量.解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意知AB→＝(－1，1，0)，BC →＝(1，0，－1).∵n ⊥AB →，n ⊥BC →，∴⎩⎨⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1，则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1，1，1).【探究1】 (1)已知直线l ∥平面ABC ，且l 的一个方向向量为a ＝(2，m ，1)，A (0，0，1)，B (1，0，0)，C (0，1，0)，则实数m 的值是________. (2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是CC 1，B 1C 1，C 1D 1的中点.求证：平面A 1BD ∥平面MNP . (1)解析 因为A (0，0，1)，B (1，0，0)，C (0，1，0). 所以AB→＝(1，0，－1)，AC →＝(0，1，－1). 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，则x ＝y ＝1.所以平面ABC 的一个法向量为(1，1，1).因为直线l ∥平面ABC ，l 的一个方向向量为a ＝(2，m ，1). 所以a ·n ＝0，即2＋m ＋1＝0，解得m ＝－3. 答案 －3(2)证明 以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设正方体的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A 1(2，0，2)，M (0，2，1)，N (1，2，2)，P (0，1，2)所以A 1B →＝(0，2，－2)，A 1D →＝(－2，0，－2)，MN →＝(1，0，1)，MP →＝(0，－1，1).设平面A 1BD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y 1－2z 1＝0，－2x 1－2z 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝z 1x 1＝－z 1.令z 1＝1，则n 1＝(－1，1，1).设平面MNP 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧n 2·MN →＝0，n 2·MP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋z 2＝0，－y 2＋z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝z 2.令z 2＝1，则n 2＝(－1，1，1)，可见n 1∥n 2，所以平面A 1BD ∥平面MNP .【探究2】 在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点.证明：PA ∥平面EDB . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设PD ＝DC ＝a .方法一 连接AC ，交BD 于点G ，连接EG ，依题意得D (0，0，0)，A (a ，0，0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2. 因为四边形ABCD 是正方形， 所以G 是此正方形的中心， 故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2. 又PA→＝(a ，0，－a )，所以PA→＝2EG →，这表明PA ∥EG . 而EG 平面EDB ，且P A 平面EDB ，方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2， 则有⎩⎨⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2（y ＋z ）＝0，a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2－z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令y ＝－1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1，－1，1)，又PA→＝(a ，0，－a )，所以n ·PA →＝(1，－1，1)·(a ，0，－a )＝a －a ＝0. 所以n ⊥PA→.又因为PA 平面EDB ，所以PA ∥平面EDB .方法三 假设存在实数λ，μ使得PA→＝λDE →＋μEB →，即(a ，0，－a )＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，－a 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝μa ，0＝λ·a 2＋μ·a 2＝a 2（λ＋μ），－a ＝λ·a 2－μ·a 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝1.所以PA→＝－DE →＋EB →，且PA 平面BDE ，【探究3】 如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD .解 ∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2， 建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，F (1，1，0)，D (0，2，0). 不妨令P (0，0，t )，∴PF→＝(1，1，－t )，DF →＝(1，－1，0)， 设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧n ·PF →＝0，n ·DF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，解得x ＝y ＝t 2， ∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 2，1.设点G 的坐标为(0，0，m )， 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，则EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG →·n ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝0， 即m －t4＝0， 解得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.规律方法 通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定PA →＝λDE →＋μEB →中λ和μ是否存在的问题.课堂达标1.已知a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1.l 2的方向向量.若l 1∥l 2，则( ) A.x ＝6，y ＝15 B.x ＝3，y ＝152 C.x ＝3，y ＝15D.x ＝6，y ＝152解析 由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152. 答案 D2.已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面( ) A.xOy 平行 B.xOz 平行 C.yOz 平行D.yOz 相交解析 因为AB →＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz .答案 C3.已知u 是平面α的一个法向量，a 是直线l 的一个方向向量，若u ＝(3，1，2)，a ＝(－2，2，2)，则l 与α的位置关系是________. 解析 因为u ·a ＝(3，1，2)·(－2，2，2) ＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0， 所以u ⊥a ，所以l α或l ∥α.答案 lα或l ∥α4.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________(填序号).①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→.解析 ∵AA 1⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ， ∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量. 答案 ②③5.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，若G ，H 分别为AD ，B 1C 1的中点.求证EG ∥FH . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则E (2，2，1)，G (1，0，0)，F (0，0，1)，H (1，2，2). 所以EG→＝(－1，－2，－1)，FH →＝(1，2，1). 所以FH→＝－EG →，所以FH →∥EG →. 显然EG 与FH 不重合，故EG ∥FH .课堂小结1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、高中数学打印版平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 2.证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明.校对完成版本。
高中数学北师大版选修2-1 2.4《用向量讨论垂直与平行》(第一课时)教学设计
2.4用向量讨论垂直与平行（第一课时）1、教学目标：知识与技能：（1）理解用向量法判断空间中平行与垂直位置关系的方法；（2）会用向量法解决立体几何中的平行与垂直问题.过程与方法：通过提出问题-分析问题-解决问题的方式，让学生掌握解决问题的方法。
情感与态度：体会把立体几何几何转化为向量问题优势，培养学生积极解决问题的探索精神。
2、教学重点：会用向量法解决立体几何中的平行与垂直问题.3、教学难点：把立体几何中的平行与垂直问题向向量问题进行转化.教学步骤教学过程设计意图一、复习回顾1、复习向量垂直与平行的结论；2、复习向量共面定理；3、复习直线的方向向量、平面的法向量的相关知识。
通过对向量相关知识的复习，为本节课用向量讨论垂直和平行这两种位置关系做铺垫。
二、新知探究1、采用类比的方法，借助平面向量可以解决平面几何问题，自然想到能够利用空间向量解决立体几何问题。
进而提出问题：借助怎样的空间向量来研究立体几何中的位置关系呢？通过引导学生容易得出：直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，2、师生一起合作获得新知：利用向量法判断立体几何中平行与垂直问题。
通过类比的学习方法，让学生抓住“向量”这个有力的工具来研究空间几何的问题。
同时，通过提出问题-分析问题-解决问题的过程来获得新知，让向量法解决空间几何问题深植于学生心中。
三、学以致用根据学生的认知规律，由易到难来安排教学任务：例1、利用向量法直接判断线面平行、垂直。
例2、利用向量法证明线面垂直判定定理。
已知：如图，.,,,,nlmlBnmnm⊥⊥=⊆⊆αα求证：.α⊥l学情分析：对于这个定理的证明，学生心中肯定存有疑惑，一时找不到证明的思路。
作为教师应该适时引导，回到线面垂直的定义本身，再借助向量法证明。
根据学生的认知特点，由浅入深安排教学内容。
针对这种定理的证明问题学生很害怕，在这个过程中及时鼓励学生积极思考解决问题的方法，要善于动脑，敢于动手。
河南省确山县高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行(1)教案北师大版选修2-1
-向量C(2, -1, 3)和向量D(1, -2, 6)。
3.应用题：已知点P(2, 3, 4)和点Q(1, 0, -1)，求过点P和点Q的平面方程，并判断该平面是否与向量n(1, 2, 3)垂直。
4.解析题：分析以下立体图形，判断线段AC是否与线段BD平行。
-解答疑问：针对学生疑问，进行解答和指导。
学生活动：
-听讲并思考：认真听讲，积极思考，理解向量判定方法的原理。
-参与课堂活动：在小组讨论中，积极发表意见，体验向量知识的应用。
-提问与讨论：针对不懂的问题，勇敢提问，参与课堂讨论。
教学方法/手段/资源：
-讲授法：通过讲解，帮助学生深入理解向量判定方法。
-利用多媒体教学工具，展示动态的向量关系，增强学生的直观感受。
-结合实际立体几何模型，让学生动手操作，加深对向量判定方法的理解。
2.针对难点，采用以下策略突破：
-通过小组讨论和问题引导，激发学生思考向量判定背后的数学原理，培养深度理解能力。
-设计不同难度的练习题，从基础到综合，逐步提升学生的应用能力，特别是在解决复杂立体几何问题时，引导学生如何将问题转化为向量问题，并运用所学知识解决。
在教学管理方面，我尝试通过在线平台和微信群与学生保持联系，以监控他们的预习进度和作业完成情况。我发现这种方法在一定程度上提高了学生的学习积极性和主动性，但也需要花费更多的时间和精力来跟踪学生的学习情况。
重点难点及解决办法
重点：
1.向量垂直与平行的判定方法。
2.向量垂直与平行性质在立体几何中的应用。
难点：
1.理解向量垂直与平行判定的数学原理。
2.将向量知识灵活运用于解决复杂的立体几何问题。
2.4用向量讨论垂直与平行 教案(北师大版选修2-1)
§4用向量讨论垂直与平行●三维目标1．知识与技能掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直与平行问题．2．过程与方法通过对定理的证明，认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法．3．情感、态度与价值观通过对定理的证明，形成多元多维的角度看待立体几何问题的观点．●重点难点重点：用向量方法证明立体几何中的垂直与平行问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，用向量语言证明立体几何中的垂直与平行问题．用向量讨论垂直与平行要围绕两个问题展开教学，一是用什么刻化空间中的垂直与平行；二是怎样刻化．在教学中，引导学生先自主探究，再小组讨论，在这个过程中，让学生去领会用向量讨论垂直与平行的方法．(教师用书独具)●教学建议1．树立以学生发展为本的思想．通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程．2．在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理，通过类比、对比和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去．3．利用多媒体辅助教学，增强动感与直观性，提高教学效果和教学质量．●教学流程设置情境引入课题――→回顾方向向量与法向量在刻化直线与平面中的作用――→探究如何用方向向量与法向量描述空间中的垂直与平行关系――→应用通过例题领会垂直与平行的向量证法――→体验通过练习体验向量法的应用――→总结归纳总结升华认识1．已知直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n .(1)若l ⊥α，则m 与n 有怎样的关系？【提示】 m ∥n .(2)若m ∥n ，则l 与α有怎样的关系？【提示】 l ⊥α.2．问题1中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发？【提示】 可用直线的方向向量与平面的法向量讨论立体几何中的垂直问题．立体几何中垂直关系的向量表示设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面π1，π2的法向量分别为n 1，n 2.(1)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b ＝0.(2)线面垂直：l ⊥π1⇔a ∥n 1⇔a ＝k n 1(k ∈R )．(3)面面垂直：π1⊥π2⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0.。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行教学案 北师大版选修2-1-北师大
§4用向量讨论垂直与平行[对应学生用书P28]直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：假设直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，那么它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：假设l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：假设π1∥π2，那么n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，那么线线平行l∥m⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝k n2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝k n1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02.假设平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，那么这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时 空间向量与平行关系[对应学生用书P28]由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例1] (1)设a ，b 分别是两条不同直线l 1，l 2的方向向量，根据以下条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设n 1，n 2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据以下条件判断π1，π2的位置关系：①n 1＝(1，－1,2)，n 2＝(3,2，－12)；②n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)； ③n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)．(3)设n 是平面π的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据以下条件判断π和l 的位置关系：①n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 此题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b .∴a∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)， ∴a·b ＝0.∴a⊥b .∴l 1⊥l 2. ③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)， ∴a 与b 不共线，也不垂直．∴l 1与l 2的位置关系是相交或异面(不垂直)． (2)①∵n 1＝(1，－1,2)，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴n 1·n 2＝3－2－1＝0. ∴n 1⊥n 2，∴π1⊥π2.②∵n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)， ∴n 1＝－35n 2，∴n 1∥n 2.∴π1∥π2.③∵n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)， ∴n 1与n 2既不共线，也不垂直． ∴平面π1和π2相交(不垂直)． (3)①∵n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴n·a ＝－6＋8－2＝0. ∴n⊥a .∴直线l 和平面π的位置关系是l π或l ∥π. ②∵n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴n ＝－14a .∴n∥a .∴l ⊥π.③∵n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[一点通]用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，假设a·b＝0，那么( ) A．l∥πB．lπC．l⊥πD．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．假设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，那么能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，那么a⊥n，∴a·n＝0.只有D中a·n＝0.答案：D3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，那么E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．∴EF＝(0,1，－1)，GH ＝(0,1，－1)．∴EF ＝GH .∴EF ∥GH . 又∵G ∉EF ，∴EF ∥GH .用空间向量证明线面平行问题[例2] 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，且OA ＝OP ，OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面PAB .[思路点拨] 思路：一证明OD 与平面PAB 的法向量垂直．思路二：证明OD 与面PAB 内某一直线平行．[精解详析] 法一：因为AB ＝BC ，O 为AC 的中点，所以OB ⊥AC ，OA ＝OB ＝OC ，如图，建立空间直角坐标系，设OA ＝a ，那么A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a ，0,0)，P (0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，所以OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2.设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA ＝0，n ·AB ＝0.由于PA ＝(a,0，－a )，AB ＝(－a ，a,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)，所以OD ·n ＝－a 2＋a2＝0，所以OD ⊥n ，因为OD 不在平面PAB 内，所以OD ∥平面PAB .法二：因为O ，D 分别是AC ，PC 的中点，所以OD ＝－CO ＝12－12CA ＝12AP ，所以OD ∥AP ，即OD ∥AP ，O D ⃘平面PAB ，PA 面PAB ，所以OD ∥平面PAB .[一点通]用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ＝.∴MN ∥. ∵M ∉RS .∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 那么MN ＝1MB ＋11B A ＋1A N ＝13c －a ＋12b ，＝RC ＋＋DS ＝12b －a ＋13c ，∴MN ＝，∴MN ∥， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如下图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，1DA ＝(1,0,1)，DB ＝(1,1,0)，设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，那么n ·1DA ＝0且n ·DB ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN ⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN ＝1C N －C 1M ―→＝1211C B －121C C＝12(11D A －1D D )＝121DA ，∴MN ∥1DA . 又DA 1平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .用空间向量证明面面平行[例3] 111111，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .[思路点拨] 此题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么A (4,0,0)，M (2,0,4)，N (4,2,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ，BD 的中点Q ，连AG ，QK ，那么G (3,1,4)，K (1,3,4)，Q (2,2,0)．∴MN ＝(2,2,0)，EF ＝(2,2,0)，AG ＝(－1,1,4)，QK ＝(－1,1,4)．可见MN ＝EF ，AG ＝QK ，∴MN ∥EF ，AG ∥QK . 又M N ⃘平面EFBD ，A G ⃘平面EFBD . ∴MN ∥平面EFBD ，AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G ， ∴平面AMN ∥平面EFBD .法二：由法一得AM ＝(－2,0,4)，MN ＝(2,2,0)，DE ＝(0,2,4)，EF ＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM ＝0，n 1·MN ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1，那么n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12. 设平面BDEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1，那么n 2＝(1，－1，12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面BDEF . [一点通]用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．6.如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：平面EGF ∥平面ABD .证明：如下图，由条件知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由条件知B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)，设BA ＝a ，那么A (a,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，4.所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF ＝(0,1,1)．法一：∵1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0， 所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .因BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .又1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF ，又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EFG ，可知平面EGF ∥平面ABD . 法二：设平面EGF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF ＝0，n 1·EG ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 1＝(0,1，－1)．设平面ABD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA ＝0，n 2·BD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 2＝(0,1，－1)．所以n 1＝n 2.所以平面EGF ∥平面ABD .7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，那么有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，那么y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1. 又因为FC 1⃘平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵11C B ＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行．(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行转化为平面法向量的平行．[对应课时跟踪训练九]1．向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，假设l 1∥l 2，那么( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.答案：D2．l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，那么m ＝( )A ．－8B ．－5C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A3．假设两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，那么( )A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.答案：A4．平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，假设α∥β，那么λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 答案：B5．两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，那么l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．答案：平行或重合6．假设平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，那么y ＋z ＝________.解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0. MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2， OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么n ·＝0，n ·OD ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)． ∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n . 又M N ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：依题意，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，那么A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，那么由n ·1BA ＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F ·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .第二课时 空间向量与垂直关系[对应学生用书P31]用空间向量证明线线垂直[例1] 直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点，在DD 1上存在一点N ，使MN ⊥DC 1，试确定N 点位置．[思路点拨] 此题中DA ，DC ，DD 1两两垂直，故可以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．可设出点N 坐标后利用方程MN ·1DC ＝0，进行求解．[精解详析] 建立空间直角坐标系，如图．那么C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0)，∴1DC ＝(0,2,3)． 设点N (0,0，h )，那么MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h . ∵MN ⊥DC 1，那么MN ·1DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ＝0.∴h ＝43，那么N ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，43.故N 点在DD 1上且|DN |＝43时，有MN ⊥DC 1.[一点通]用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a ，b 的数量积为零，即a·b ＝0.假设图形易于建立空间直角坐标系，那么可用坐标法进行证明，否那么可用基向量分别表示a ，b 后进行证明．1．如图，长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .求证：AD ⊥BM .证明：因为平面ADM ⊥平面ABCM ，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点，∴AD ＝DM ，取AM 的中点O ，连接OD ，那么DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连接ON ，那么ON ⊥AM ，以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系，根据条件，得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，2，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22，那么AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，BM ＝(0，－2，0)，所以AD ·BM ＝0，故AD ⊥BM . 2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，BB 1＝6，M 为CC 1中点，求证：AM ⊥BA 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，那么B (0,0,0)，C (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(0,0，6)，A 1(0，3，6)，C 1(1，0，6)．∵M 为CC 1的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，62. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，62，1BA ＝(0，3，6)．∴AM ·1BA ＝1×0－3＋62×6＝0. ∴AM ⊥1BA ，即AM ⊥BA 1.用空间向量证明线面垂直[例2] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC .[思路点拨] 欲证B 1O ⊥平面PAC ，只需证明1B O 与平面PAC 内的两条相交直线都垂直，1B O 与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，那么A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0，2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)． 于是1OB ＝(1,1,2)，AC ＝(－2,2,0)，AP ＝(－2,0,1)．由于1OB ·AC ＝－2＋2＝0，1OB ·AP ＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC 面PAC ，AP 面PAC ，且AC ∩AP ＝A ， 所以OB 1⊥平面PAC . [一点通]用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．3.如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：建立如下图坐标系，令正方体的棱长为1，那么A (1,0,0)，B 1(1，1,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1，那么1AB ＝(0,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12.法一：令平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝0，n ·AC ＝0，得：⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－1)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，12＝－2EF ，∴n ∥EF ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：∵EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1B A ＝(0，－1，－1)，1B C ＝(－1,0，－1)，又EF ·1B A ＝0，EF ·1B C ＝0， ∴EF ⊥B 1A ，EF ⊥B 1C又B 1C ∩B 1A ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .4．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，以O 为原点，，1OO ，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴1AB ＝(1,2，－3)，BD ＝(－2,1,0)，BA 1―→＝(－1,2，3)． ∵1AB ·BD ＝－2＋2＋0＝0，1AB ·1BA ＝－1＋4－3＝0，∴1AB ⊥BD ，1AB ⊥1BA . 即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD .用空间向量证明面面垂直[例3] 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点．求证：平面BEF ⊥平面ABC .[思路点拨] 此题可建立空间坐标系后，证明面BEF 内某一直线的方向向量为面ABC 的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直．[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设AB ＝a ，那么BD ＝3a ，于是A (0,0，a )，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，法一：可得EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0，BA ＝(0,0，a )，BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0， ∴EF ·BA ＝0，EF ·BC ＝0. 即EF ⊥AB ，EF ⊥BC .又AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC . 又EF 平面BEF ，∴平面ABC ⊥平面BEF . 法二：∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC . 又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·EF ＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0＝0. ∴x ＝y .由n ·BF 0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2＝0， 有32ay ＋a2z ＝0，∴z ＝－3y . 取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)． ∵n ·＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥.∴平面BEF ⊥平面ABC . [一点通]用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．5．：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2，那么有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，A 1(2，0,2)，F (0,1,0)，E (2,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面DEA ，平面A 1FD 1的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥DE .∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1，得n 1＝(0，－1,2)．同理可得n 2＝(0,2,1)． ∴n 1·n 2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.6.如图，ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.证明：法一：取AB 1的中点M ， 那么DM ＝DC ＋CA ＋AM . 又因为DM ＝1DC ＋11C B ＋1B M ， 两式相加，得2DM ＝CA ＋11C B ＝CA ＋， 由于2DM ·1AA ＝(CA ＋)·1AA ＝0，2DM ·AB ＝(CA ＋)·(－CA )＝||2－|CA |2＝0，所以DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ， 又AA 1∩AB ＝A ，所以DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM 平面AB 1D . 所以平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.法二：如图建立空间直角坐标系，取AB 的中点E ，连接CE ，由题意知CE ⊥平面ABB 1A 1.由图知，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫3a 4，a 4，0，B 1(0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，A ⎝⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，0， ∴＝⎝⎛⎭⎪⎫34a ，－34a ，0，1B A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，－a ，1B D ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2.设平面AB 1D 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1B A ＝0，n ·1B D ＝0，即⎩⎨⎧x ＝3y ，z ＝2y ，令y ＝1，那么n ＝(3，1,2)． 又·n ＝34a －34a ＝0，∴⊥n .∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单．[对应课时跟踪训练〔十〕]1．假设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，那么( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定解析：∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2. 答案：B2．假设直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，那么( )A ．l ∥πB ．l ⊥πC ．l πD ．l 与π斜交解析：a ＝－13n ，∴a∥n ，∴l ⊥π.答案：B3．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：建立如下图的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .那么B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，那么BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，那么F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 答案：B4．AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，假设AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，那么向量BP ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫407，－2，－3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，407，－3 解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB x －1＋5y ＋6＝0，且BP ―3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：A5．a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，假设c ⊥d ，那么m ＝________. 解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．在直角坐标系O －xyz 中，点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，假设直线OP 与直线OQ 垂直，那么x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ 0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如下图，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a2.∴PA ＝2EG ，那么PA ∥EG . 又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如下图，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA ＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)，BC ＝(－2,2,0)，1CC ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 10，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，那么x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 20，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，那么x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。
北师大版高中数学选修2-1导学案：2.4用向量讨论垂直和平行(无答案)
§4用向量讨论垂直与平行主备：审核: 班级: 小组：学生姓名：【学习目标】1．理解用向量方法证明垂直与平行的思想实质；2．掌握用向量解决垂直与平行问题的方法．【学习重点】1．回顾用几何法证明垂直与平行问题的知识；2．掌握用向量法证明垂直与平行问题的方法．【学习难点】用向量法证明垂直与平行问题．【旧知回顾】1．什么叫直线的方向向量?2．什么叫平面的法向量?3．写出垂直与平行的四个判定定理，并用图形语言和符号语言表述这四个判定定理．(1)线面平行的判定定理:与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；(2)面面平行的判定定理:与另一个平面平行，则这两个平面平行；(3)线面垂直的判定定理:一条直线与垂直，则该直线与此平面垂直；(4)面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．4．写出垂直与平行的四个性质定理，并用图形语言和符号语言表述这四个性质定理．(1)线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行，则与该直线平行；(2)面面平行的性质定理:两个平面平行，则相互平行；(3)线面垂直的性质定理:的两条直线平行；(4)面面垂直的性质定理:两个平面垂直，则与另一个平面垂直．【合作探究】探究活动一例1．用向量法证明垂直与平行问题的本质是什么？（1）空间两条直线平行的本质是；（2）空间直线与平面平行的本质是；（3）空间两个平面平行的本质是；（4）空间两条直线垂直的本质是；（5）空间直线与平面垂直的本质是；（6）空间两个平面垂直的本质是．练习：课本P41 练习 1，2，3题探究活动二例 2. 用向量法证明三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影，则这两条直线垂直．例3.如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，124AA AB==，点E在CC1上且ECEC31=．（1）求平面BED的一个法向量；（2）证明：A1C⊥平面BED．【今日作业】课本P4２习题 2，3，4题。
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论平行与垂直教学设计北师大版选修2_1
第4节用向量讨论平行与垂直【空间向量的应用之-----垂直】【教学目标】通过本节课的学习让学生体会到向量这种工具在解决立体几何问题中的重要应用，体会数学中数与形的结合，转化之美。
激发学生学习数学的兴趣，减轻空间思维能力差的学生的学习压力。
【课型】新授课【课时安排】1课时【教学难点】利用向量解决立体几何问题的本质即如何将空间中的线面关系转化为相关向量之间的关系【教学重点】1教会学生如何用向量解决空间中的垂直问题2掌握坐标法，知道基底法【设计思路】本节课的教学首先我将重点放在与直线和平面有关的向量问题上，只要学生意识到与直线和平面有关的向量分别是直线的方向向量和平面的法向量，那么如何用向量去研究平行与垂直关系便显而易见！然后结合例题展示解题过程，强化知识点。
【教学方法】启发探讨式【教学过程】一：课前梳理1.空间向量基本定理的内容：已知321,,e e e 是三个_____________的向量，那么对于空间任意一个向量，存在唯一一组实数321,,λλλ使得_____________________.2.空间向量的坐标运算： 已知),,(111z y x =，),,(222z y x = 那么 =+b a =-b a=λ =∙>=<b a ,cos⇔≠)(// ⇔⊥3.与直线有关的向量是_________________4.与平面有关的向量是_________________二：课前预习思考空间中的平行关系包括哪些？如何用向量来体现？空间中的垂直关系包括哪些？如何用向量来体现？三：新知探索：1小组呈现预习思考研究结果（1）平行关系2．应用演练例2：在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，ABCD PA 平面⊥,AP=AB=2，BC=22,E,F PBAC PD ABCD ABCD PD ABCD P⊥=⊥-求证：，4的正方形，2是边长为底面,平面中，：在四棱锥1例分别是AD,PC 的中点，求证：PC ⊥平面BEF练习.在正方体1111A B C D A B C D -中,E F 、分别是1B B C D 、的中点, 求证:1D F ADE ⊥平面.例3：已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，,600=∠BCD E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD,PA=2求证：平面PBE ⊥平面PAB四：点拨与小结:利用向量解决空间的线面关系其本质是研究直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，所以熟练掌握直线的方向向量与平面的法向量的求解方法是解题的关键。
【高中教育】2020高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一学案北师大版选修2_1
【20xx精选】最新高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一学案北师大版选修2_1学习目标1。
会用待定系数法求平面的法向量。
2。
能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题。
知识点一空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔________⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔__________面面平行α∥β⇔μ∥v⇔____________知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量。
若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系。
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论。
类型一求直线的方向向量、平面的法向量令y ＝－1，则x ＝z ＝。
所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(，－1，)。
引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P(0,0,1)，C(1，，0)， 所以＝(1，，－1)，即为直线PC 的一个方向向量。
设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)。
因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)。
由即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以令y ＝1，则z ＝。
所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(0,1，)。
跟踪训练1 解 因为PA ＝PB ，F 为AB 的中点，所以PF⊥AB。
又因为平面PAB⊥平面ABCD ，平面PAB∩平面ABCD ＝AB ，PF 平面PAB ，所以PF⊥平面ABCD ，因为AB ＝BC ，∠ABC＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以CF⊥AB。
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【步步高学案导学设计】高中数学 2.4 用向量讨论垂直与平行导学案北师大版选修2-1课时目标 1.会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系.2.会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．1．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)且(a2b2c2≠0)，则l ∥m⇔___________⇔__________⇔______________．(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔____________⇔________________________．(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔____________⇔______________⇔________________．2．空间中垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m⇔____________⇔__________⇔________________________________．(2)线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________⇔__________⇔__________________．(3)面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔__________⇔____________⇔________________________．一、选择题1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( ) A．l∥α B．l⊥αC．lα D．l与α斜交2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A．平行 B．相交但不垂直C．垂直 D．不能确定3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为( )A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定5．已知A (3,0，－1)，B (0，－2，－6)，C (2,4，－2)，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 6.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是上底面中心，则AC 1与CE 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交C ．相交且垂直D ．以上都不是题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________.8．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有______对． 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( ) ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号)三、解答题10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.11．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?能力提升12．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，点E是棱PB的中点．证明：AE⊥平面PBC.13.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；(2)证明：PB⊥平面EFD.1．平行关系的常用证法证明线线平行只需证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB∥CD只需证AB→＝λCD→.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．2．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．§4 用向量讨论垂直与平行 知识梳理1．(1)a∥b a ＝λba 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(2)a⊥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 (3)u∥v u ＝k va 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0) 2．(1)a⊥b a·b ＝0 a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 (2)u ∥v u ＝λva 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0) (3)u⊥v u·v ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0 作业设计1．B [∵n ＝－2a ，∴n ∥a ，∴l ⊥α.]2．C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．] 3．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ，又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342，得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]4．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]5．C [∵AB →＝(－3，－2，－5)，AC →＝(－1,4，－1)，BC →＝(2,6,4)，∴AB →·AC →＝0， ∴AB ⊥AC ，且|AB →|≠|AC →|≠|BC →|， ∴△ABC 为直角三角形．]6．C [可以建立空间直角坐标系，通过AC 1→与CE →的关系判断．] 7．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 8．0解析 ∵a·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0， a·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0， b·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0.∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α、β、γ中任意两个都不垂直． 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝DP →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P . ∵D 1P面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1.又D 1P 面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1.∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ， ∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D 平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊆平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0.设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OD →＝0n ·OC 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊆平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1. 11．解如图所示，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，设M (1,1，m )，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)．若D 1M ⊥平面EFB 1， 则D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，D 1M →·B 1E →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋12＋m －1×0＝00－12＋1－m ＝0，∴m ＝12，即存在点M 且为B 1B 的中点，使D 1M ⊥平面EFB 1. 12.证明 如图所示，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设D (0，a,0)，则B (2，0,0)，C (2，a,0)，P (0,0，2)，E (22，0，22)．于是AE →＝(22，0，22)，BC →＝(0，a,0)，PC →＝(2，a ，－2)，则AE →·BC →＝0，AE →·PC→＝0.所以AE ⊥BC ，AE ⊥PC . 又因为BC ∩PC ＝C ， 所以AE ⊥平面PBC . 13.证明 (1)以D 为坐标原点，以DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．连结AC ，BD ，AC 交BD 于G . 连结EG .设DC ＝a ，依题意得A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a2， ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， ∴PA →＝(a,0，－a )，EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，－a 2.∴PA →＝2EG →.即PA ∥EG .而EG ⊆平面EDB 且PA ⊆平面EDB ， ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )． 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，∴PB ⊥DE ，由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， 所以PB ⊥平面EFD .。