小学几何之蝴蝶定理大全
实用文库汇编之小学奥数之几何蝴蝶定理问题
作者： 方升座作品编号： 58001984419960354 创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2CFEADB上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABE ∶ S △AEC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △ADC ∶ S △DCB = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？CBE FDA例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
小学奥数之几何蝴蝶定理问题精编版
EFG的面积大6平方厘米。
ABC的面积是多少平方厘米?
A
F
G
BDEC
三、练习题
1、如图，四边形ABCD中，AC和BD订交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？
2、以下图，BD，CF将长方形ABCD分红4块，△DEF的面积是4 cm2，△CED的面积6cm2。
4
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
例12、
10厘米和12厘米，求暗影部
如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
分的面积。
例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。
例14、以下列图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且
D
A
O
C
B
例10、左下列图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块暗影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长。
例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中暗影部分的面积是多少？
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8、已知ABC中，ABAC12cm，ABC的面积是cm2，P是BC上随意一点，P到
AB,AC的距离是x, y，那么xy；
9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延伸AB至D，使BD=AB；延伸BC至E，使CE=2BC；延伸CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。
几何中的蝴蝶定理
几何中的蝴蝶定理1. 哎呀，今天咱们来聊一个特别有意思的几何定理，叫蝴蝶定理！说实话，光听这名字就觉得美滋滋的，像是在数学花园里看见了一只翩翩起舞的蝴蝶。
2. 这个定理说的是啥呢？想象一下，在一个圆里面，画了两条相交的弦，就像蝴蝶的两个翅膀一样交叉在一起。
这时候就神奇了！3. 这两条弦交叉的那个点，把每条弦都分成了两段。
要是把这四段线段相乘，你猜怎么着？两组乘积居然完全相等！这就跟变魔术一样神奇。
4. 打个比方啊，假如咱们画了两条弦，一条被分成3厘米和5厘米两段，另一条被分成4厘米和3.75厘米两段。
你用计算器算算：3×5=15，4×3.75=15，这不就神了吗？5. 有的同学可能要问了：这定理咋这么像蝴蝶呢？你仔细看啊，两条相交的弦就像蝴蝶的翅膀，交点就像蝴蝶的身体，这不是活脱脱一只几何蝴蝶嘛！6. 这个定理还有个特别实用的地方。
要是你在做几何题时遇到圆里面有两条相交的弦，立马就能用上这个定理，分分钟解出来！7. 说到证明过程，其实也不难。
就像是把蝴蝶的翅膀折来折去，用相似三角形就能证明。
不过今天咱们主要是理解这个定理的妙处，就不钻牛角尖啦！8. 这个定理还告诉我们一个道理：看似不相关的东西，其实暗藏玄机。
就像蝴蝶翅膀上看似随意的花纹，背后却藏着严谨的数学规律。
9. 在实际应用中，蝴蝶定理经常和其他定理一起使用。
比如说和圆幂定理搭配，简直就是几何题的双保险！解题的时候，就像蝴蝶飞舞一样轻松自如。
10. 有意思的是，这个定理还能推广到更复杂的情况。
要是在圆里面画更多的弦，它们相交的点也会形成一些有趣的规律，就像一群蝴蝶在跳舞。
11. 学习数学最重要的就是找到乐趣。
蝴蝶定理就是个很好的例子，它把枯燥的几何变成了生动的图画，让人感受到数学之美。
12. 所以啊，下次你看到蝴蝶，别光顾着欣赏它的美丽，也想想它身上藏着的数学奥秘。
这不就是数学最迷人的地方吗？它把大自然的美和严谨的逻辑完美地结合在了一起！。
第六讲蝴蝶定理
S 3S 1S 4S 2abO ACBD五年级秋季第六讲——蝴蝶模型——学而思范基程老师【知识点总结】一、来源：蝴蝶模型是几何图形中非常重要的模型之一，分为任意四边形与梯形中的蝴蝶模型，因形似蝴蝶而得名。
二、模型： 1、任意四边形中的蝴蝶定理：① S 1：S 2=S 4：S 3或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO:OC =(S 1+S 2):(S 3+S 4) {DO:BO =(S 1+S 4):(S 2+S 3)}2、梯形中的蝴蝶定理： 如果AD:BC=:① S 1：S 3=：② S 2= S 4 ③S 1 : S 3: S 2: S 4=::④ 梯形面积所对应的份数为：3、总结：无论是在任意四边形还是梯形当中的蝴蝶模型，都为我们提供了一种解决四边形或梯形面积的新的方法。
任意四边形当中，将不规则四边形的面积与四边形内的三角形结合了起来；而梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。
258OACDBF E【例题精讲】（2007年“数学解题能力展示”读者评选高年级组初赛）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中三块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为_________平方厘米。
【解析】连结DE 、CF 。
（1）在梯形EFCD 中，根据蝴蝶模型，有三角形EOF 与三角形DOC 的面积比为2:8，所以得到DF ：DC=1:2。
那么，三角形EOF 与三角形EOD 的面积比为1:1×2=1:2，所以三角形EOD 的面积为4（平方厘米），三角形COF 的面积也为4（平方厘米）。
因为四边形OEAD 的面积为5（平方厘米），所以，三角形ADE 的面积为1（平方厘米）。
（2）在长方形ABCD 中，三角形ECD 的面积是长方形ABCD 面积的一半，是8+4=12（平方厘米）那么剩下的部分（三角形ADE 与三角形BCE 的面积和也是12），又因为三角形ECF 的面积为2+4=6（平方厘米），所以三角形BCF 的面积为12-1-6=5（平方厘米）。
小学奥数之蝴蝶定理
小学奥数---蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CBEFDA1）Hh C c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
小学奥数几何之蝴蝶定理
几何之蝴蝶定理一、 基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。
S 1 : S 2 = a : b定理2：等分点结论( 鸟头定理)如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的2034153=⨯定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab4）S 的对应份数为（a+b ）2定理4：相似三角形性质CFEADBCBEFDA1）HhC c B b A a ===2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ECS △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是多少平方厘米？例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，14CF CA =，求三角形DEF 的面积.例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=13AB,已知四边形EDCA 的面积是35，求三角形ABC 的面积.例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
小学几何之蝴蝶定理大全
小学几何之蝴蝶定理大全一、基本知识点定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比等于对应底边之比。
定理2：等分点结论（鸟头定理）如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的3 1 35 4 20定理3：任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1）S1∶S2 =S4∶S3 或S1×S3 = S 2× S4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2 ）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）1）S1∶S3 =a2∶b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2）左、右部分的面积相等3）S1∶S3∶S2∶S4=a 2∶b2ab∶abS1 : S2 = a : b4）S 的对应份数为（a+b）2定理 4：相似三角形性质2) S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2定理 5：燕尾定理S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶ ECS △ BGA ∶ S △BGC = S △ AGF ∶ S △GFC = AF ∶FCS △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB二、 例题分析例 1、如图， AD DB ， AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5 平方厘米， 多少平方厘米？1) BCHABC 的面积是例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且AD 1 AB，21ABC中，，D为BC的中点， E 为AB上的一点，且BE= AB,已知四边3形EDCA的面积是35 ，求三角形ABC的面积.例4、例 1 如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。
（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平B三角形DEF 的面积.BE 1BC ，31CF CA ，求4例3、如图，在三角形方厘米？例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9 平方厘米，25 平方厘米，求梯形ABCD 的面积。
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小学几何之蝴蝶定理大全
一、基本知识点
定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比
等于对应底边之比。
定理2：等分点结论（鸟头定理）
如图，三角形△ AED的面积占三角形△ ABC的面积的
3 1
5 4 20
定理3:任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）
1 ）S i：S
2 =S : S
3 或S i X S3 = S 2 x S
上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积
2 ) AO： OC = (S i+ S2)：( S+ S3)
梯形中的比例关系（梯形蝴蝶定理）
A ________ Z_______ 0
1 ）S i : S3 =a2：b2
上、下部分的面积比等于上、下边的
平方比
B b C
2）左、右部分的面积相等
2 2
3 ) S : S B : S2: S
4 =a : b : ab : ab
）S的对应份数为（a+b）
定理4:相似三角形性质
a b _c _h
A B C H
2 2
2 ) S i : S = a : A
定理5:燕尾定理
S △ ABG : S △ AGC = S △ BGE : S △ GEC = BE : EC
S△
BGA :
S △ BGC
=
:S △
AGF :
S △
GFC :
=AF:FC
S
△
AGC :
S △ BCG
=
:S △
ADG :
S △
DGB :=AD:DB
二、例题分析
例1、如图，AD DB , AE EF FC，已知阴影部分面积为5平方厘米, 多少平方
厘米
ABC的面积是
例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且AD - AB，BE
2
1
CF CA，求
4
三角形DEF的面积.
例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，E为AB上的一点，且
1
丄AB,已知四
边
形EDCA勺面积是35,求三角形ABC的面积.
（单位：厘米）
例4、例1如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。
例5、两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。
已知两个三角形的面积（如图所示） ，求
另两个三角形的面积各是多少（单位：平方厘米）
例6、如下图，图中 B0=2DO 阴影部分的面积是 4平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积是多少平 方厘米
例7、（小数报竞赛活动试题）
如图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD 被对角线 AC BD 分成四个部分，△ AOB 面
积为1平方千米，△ BOC 面积为2平方千米，△ COD 勺面积为3平方千米，公园陆地的面积
例8、如图：在梯形 ABCD 中,三角形 AOD 的面积为9平方厘米,
平方厘米，求梯形 ABCD 勺面积。
是平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米
25
面积为
例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）
四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O （如图）所示。
1
如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的-，且
3
AO 2，DO 3，那么CO的长度是DO的长度的________________ 倍。
例10、左下图所示的」'ABCD的边BC长10cm,直角三角形BCE的直角边EC长8cm,已知
2
两块阴影部分的面积和比△ EFG的面积大10cm，求CF的长。
例11、长方形ABCD勺面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB BC CD的中点，H为AD 边上的任一点。
求图中阴影部分的面积是多少
例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是
分的面积。
例13、如图，大正方形 ABCD 勺边长为6,依以下条件求三角形
例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分 别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少
15 a
IS
•
b 3C
例15、如下图，已知 D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且 ADG 的面积比
EFG 的面积大6平方厘米。
ABC 的面积是多少平方厘米 ？
三、练习题
1、如图，四边形 ABCD 中, AC 和BD 相交于0点，三角形ADC 的面积=5,三角形DOC 的面积
10厘米和12厘米，求阴影部
BDF 的面积。
=4,三角形AOB勺面积=15，求三角形BOQ的面积是多少
2、如图所示，BD, CF将长方形ABCD分成4块，△ DEF的面积是4 cm 2, △ CED的面积是6cm2。
问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米
1 1
3、如右图BE=_BC, CD—AC那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的_____________
3 4
4.如图，AKD是1角梯脱皿5蘇，DC=3 &三角形MC的面槪呼方厘米则阴翳分的面积是—平方厘米
5、如图所示，已知 ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2 ，三角形DEF 的面积是16
6、如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示
（单位：平方
厘米），阴影部分的面积是多少平方厘米。
7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形 ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面
8、 已知 ABC 中，AB AC 12cm ， ABC 的面积是 cm 2，P 是BC 上任意一点，P 到
AB , AC 的距离是x, y ，那么x y
9、 如右图所示，已知三角形 ABC 面积为1，延长AB 至D,使BD=AB 延长BC 至E ，使CE=2BC 延长CA 至F ,使AF=3AC 求三角形 DEF 的面积。
平方厘米，求三角形 ABE 的面积是多少平方厘米
积大30平方厘米，求DE 的长是多少
E。