基本不等式的证明(1)
基本不等式证明过程
基本不等式证明过程一、引言基本不等式是高中数学中非常重要的一个概念，它是解决不等式问题的基础。
本文将详细介绍基本不等式的证明过程。
二、基本不等式的定义在高中数学中，我们通常将两个正数a和b的平方和表示为a²+b²，而(a+b)²则表示它们的平方和加上2ab。
因此，我们可以得到以下公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²根据这个公式，我们可以得到一个非常重要的结论：对于任意两个实数a和b，都有以下不等式成立：(a+b)² ≥ 4ab这就是基本不等式。
三、证明过程1. 将(a+b)²展开首先，我们需要将(a+b)²展开，得到以下结果：(a+b)² = a² + 2ab + b²2. 将2ab移到左边，并化简接下来，我们将2ab移到左边，并进行化简：(a+b)² - 4ab = a² - 2ab + b²(a-b)² ≥ 0由于平方永远大于或等于0，所以最后一步成立。
3. 化简左边表达式现在我们需要化简左边的表达式：(a+b)² - 4ab = (a-b)² + 4ab - 4ab(a+b)² - 4ab = (a-b)²4. 得出结论由于(a+b)² ≥ 0，所以(a-b)² ≥ 0。
因此，我们得出结论：(a+b)² ≥ 4ab这就是基本不等式。
四、基本不等式的应用基本不等式在高中数学中非常重要，它可以用于解决各种不等式问题。
例如，我们可以使用它来证明以下结论：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB² + AC² + BC² ≥ 4S²其中S表示三角形ABC的面积。
证明过程如下：1. 将三角形ABC分为四个小三角形：ABD、ACD、BCE和BDE。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
基本不等式证明
所以，ab a b 成立 2
当且仅当a b时取“”
分析法——执果索因
证法3：
对于正数 a,b，有
( a b)2 0 a b 2 ab 0
a b 2 ab
a b ab 2
综合法——由因索果
如果 a,b 是正数，那么 ab a b
2
当且仅当a b时取" " 号
问题 3、当a 0, b 0时 ，这个不等式仍然成立吗？
把不等式 ab a b (a 0,b 0) 称为基本不等式。 2
注意 （1）不等式成立条件（2）等号成立条件
问题4： 你能给出基本不等式几何解释吗？
ab
a
b
“半径不小于半弦”
回顾反思
1、今天这节课学了哪些主要知识？ 2、在解决问题时用了哪些方法？
问题1、如何合理的表示物体的质量？Βιβλιοθήκη b两个正数a、b ，我们把
称为a、b
2
的算术平均数， ab 称为几何平均数。
问题2、两个正数a、b的算术平均数与几何平均数 之间具有怎样的大小关系呢？
猜想：ab a b（a 0,b 0） 2
问题3：如何证明 ab a b（a 0,b 0） 2
不等式证明的基本方法 比较法（作差、作商法）
基本不等式的证明(一)
一、创设问题情景：
❖ 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子 上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果 天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他 因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一 个盘上，此时称得物体的质量为b。
拓展延伸
这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情 形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可 查阅有关资料。
4 基本不等式的证明(1)
4、基本不等式的证明（1）目标：(,0)2a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。
过程：一、问题情境把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a 。
如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a 并非物体的实际质量。
不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。
那么如何合理的表示物体的质量呢？把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2a b A +=表示物体的质量。
这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b ==，有2,M ab M ==,0a b >时，2a b +叫,a b,a b 的几何平均数 2a b +二、建构一般，判断两数的大小可采用“比较法”：02a b+-=≥ 2a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a=或0b =时，以上不等式仍成立。
从而有 2a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式”）当且仅当a b =时取等号。
2a b +≤的几何解释： 如图,,2a b OC CD OC CD +≥==三、运用例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a ba +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2ab a b ab +⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭例2 证明：22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用1(2)1(1)1x x x +≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 22≥ 22>例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b+≥+四、小结五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是数学中极为重要的不等式之一，它可以直接由基本的数学性质和运算法则推导得出。
以下是我详细描述基本不等式的证明方法，以及一些相关的例子和应用。
基本不等式可以表述为：对于正实数a和b，有ab≥2√(ab)，即a乘以b大于等于2乘以a和b的平方根。
首先，我们知道一个数的平方根是非负的，即√(ab)≥0，因此我们可以得出一个结果：2√(ab)≥0。
由此可见，当a和b相等时，等式成立。
例如，当a=b=1时，1*1=2√(1*1)，等式两边都为1，等式成立。
接下来，我们来考虑当a和b不相等时的情况。
这时我们可以假设一个数x，使得x=√a/√b（注意，这里假设了b不等于0）。
根据这个假设，我们可以得出√a=x√b。
将这个结果代入到基本不等式中，得到：ab≥2√(ab)ab≥2√a√b （将√ab代换成x√b）ab≥2(x√b)√b （将√a代换成x√b）ab≥2xb*bab≥2x(b^2)由于a和b是正实数，因此b的平方b^2也是正实数。
而x是我们自己假设的一个数，通过合适的选择，我们可以使2x(b^2)等于a*b。
这样基本不等式就成立了。
这个证明方法的关键在于假设一个适当的数x，使得√a=x√b，从而将原始不等式转化为x的方程，然后通过解这个方程得到基本不等式。
下面是两个具体的示例应用，展示了基本不等式的实际用途：例1：证明当a+b=2时，a*b≤1根据我们的假设，可以令x=1/√b。
那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=1、将这个结果代入到a+b=2中可以得到1+b=2，从而b=1、因此，我们可以得到a*b=1*1=1，满足a*b≤1例2：证明当a+b=1时，(a^2+1)(b^2+1)≥8/9首先，我们假设x=√a/√b，那么根据√a=x√b这个方程，可以得到√a=√b/√b=1，即a=b。
这时，a+b=1可以变为2a=1，从而得到a=b=1/2将这个结果代入到(a^2+1)(b^2+1)中可以得到(1/4+1)(1/4+1)=5/4、因此，我们可以得到(a^2+1)(b^2+1)=5/4，满足(a^2+1)(b^2+1)≥8/9总结一下，我们通过假设一个适当的数x，并将√a=x√b代入到基本不等式中，转化为一个关于x的方程。
苏教版 高中数学必修第一册 基本不等式的证明 课件1
二定：①和a＋b一定时，由
2
a＋b
a＋b
ab≤ 2 变形得ab≤
，即积
2
2
a＋b
ab
___有最大值
；
2
5
a＋b
②积ab一定时，由 ab≤ 2 变形得a＋b≥2 ab，即和 a＋b 有
最小值2 ab．
三相等：取等号的条件都是当且仅当a＝b时，等号成立．
9a
a 2 8a
所以a b a
(a 1)
a 1
a 1
令t a 1 0, 则a t 1
a 2 8a (t 1)2 8(t 1) t 2 10t 9 t 9 10 2 t 9 10 16
y
t
t
a 1
t
≥2
+2
16
+2
−2=6
• 规律与方法
a＋b
1.两个不等式 a ＋b ≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不等式，对于“当
2
2
且仅当…时，
取等号”这句话的含义要有正确的理解.一方面：
当 a＝b 时，
a＋b
a＋b
2 ＝ ab；另一方面：当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2. 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆
1 2
“和定积最大”
s
a=b
大
4
ab有最____值______(当且仅当______时取“=”）.
一正二定三相等
例3、已知a 0, b 0,9a b ab 0, 求a b的最小值
不等式的证明(一)
若x为锐角，则
sin x＜x＜tanx
sin x＜tanx sin x＞tanx
线性规划简述
1.含义：简言之，图象法解二元不等式 2.步骤：一面二线三找点 来先去后为最值
解析几何的基础
形
数
点
坐标
线
方程
面
不等式
二元不等式与平面域
1.直线对坐标平面的划分 (二元一次不等式表示平面域)
直线 Ax By C 0 ,将坐标平面划分成两个半平面 Ax By C 0和 Ax By C 0 ,位于同一半平面内的点 其坐标必适合同一个不等式 （同侧同号，异侧异号）
b
不妨设a b 0,则 a 1, a b 0 b
故
a
ab
1，当且仅当a
b时, 等号成立
b
所以，原不等式成立
作业：
1.课本P： 75 B组 Ex1①② 2.(2010年湖北)设 a＞0，b＞0,称a2abb 为a，b的调和平均数
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法1：如图，易得
y=x y = tanx
y = sinx
(2)三角混合不等式: 若 0＜x＜ ,则 sinx＜x＜tanx
2
法2：如图单位圆O中，角x的终边为OT，易得
S⊿APO＜S扇形APO＜S⊿ATO
而 S⊿APO= AO • PM sin x
注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)
注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性
3.重要的(经典)不等式
⑩ □2+○2≥±2□○ 当且仅当○=□时等号成立
11 均值不等式： 若□,○∈R+,则
基本不等式的20种证明方法
基本不等式的20种证明方法
基本不等式“基本”在哪里？你认为怎样得引入最能体现他的本质？
（1）做差证明
（2）分析法证明
（3）综合法证明
（4）排序不等式
根据排序不等式所说的逆序和小于等于顺序和，便能得到
化简得
（5）函数证明
我们对原函数求导,并令导数等于零。
求的最小值
得出
（5）指数证明
首先这里要用到两个梯形的面积公式。
一个是大家小学都学过的
易得
进而有
进一步有
指取对有
（6）琴生不等式证明
取 y=lnx
由琴生不等式得到
进而有
（7）无字证明（Charles D. Gallant）
（8）无字证明（Doris Schattschneider）
（9）无字证明（Roland H. Eddy）
（10）无字证明（Ayoub B. Ayoub）
（11）无字证明（Sidney H. Kung）
（12）无字证明（Michael K. Brozinsky）
（13）无字证明（Edwin Beckenbach & RichardBellman）
（14）无字证明
（15）无字证明（RBN）
（16）无字证明
进而有
（17）无字证明
进而有
（18）无字证明
有
（19）构造函数证明
由
得
（20）构造期望方差证明
由
得
另外还有向量法，复数法，积分法等，均值定理在数学内外有广泛得运用，不仅可以推广，还可以联系多个领域，一个简单结论证明的背后往往可展示引人人胜的各种思路！。
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1 1 x x 1 1 x 1 x 1 1 2 x 1 1 3， x 1
1 当且仅当x 1 ，即x 2时，取“ ”， x 1
因此，当x=2时，函数有最小值3.
2.已知:a,b,c均为正数,求证:
bc a c a b a bc 3. a b c bc a c a b a b c b c c a a b 证明: 3 a b c a a b b c c
8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科
技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中 国家举办的规模最大的数学会议.
有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？
2002年国际数学家大会会标
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．
a b
2
证法3：综合法
对于正数a, b有
a b
2
0，
a b 2 ab 0，
a b 2 ab，
ab ab， 2
当且仅当a b时，取“ ” .
ab 如果a, b是正数，那么 ab (当且仅当a b时取“” ) 2
ab a 0, b 0称为基本不等式. 我们把不等式 ab 2
1 2
1 2
2
a
2
b
2 a b
a b
2
0，
当且仅当 a b，即a b时，取“ ” .
证法2：分析法
ab 要证 ab ， 2
只要证2 ab a b，
只要证0 a 2 ab b
只要证0
ab 因为最后一个不等式成立，所以 ab 成立， 2 当且仅当a b时，取“ ” .
H 20 20 20 20
83.25 36.74 33.17
57.5 84.5 39.5 55.5
计算结果表明：对于正数a ,b
ab ab ， 2
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平 均数，当两个正数相等时两者相等. 下面证明上述结论是正确的.
证法1：比较法
ab ab 2
16 2 x 2 2 6， x2
证题过程中不要 漏掉等号成立的 说明
16 当且仅当x 2 ，即x 2时，取“ ”， x2
因此，当x=2时，函数有最小值6.
1 1.已知函数y x , x (1, ), 求此函数的最小值. x 1 解：因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式，得
1 1 1 （2）因为a, 均为正数，由基本不等式得a 2 a 2, a a a 所以原不等式成立.
16 例2：已知函数y x , x (2,), 求此函数的最小值. x2
解：因为x>-2,所以x+2>0,由基本不等式，得
16 16 x x 2 2 x2 x2
ab ab； 2
当a=b时，OC=CD，即
a+b 2
C
ab
ab ab . 2
A a
O
D b
B
例1：设a,b为正数，证明下列不等式成立： 1 b a （ ）a 2 2 （） 2 1 a a b a 证明：1）因为a, b为正数，所以 b ， 也是正数，由基本不等式得 （ a b b a b a 只需a,b同号， 2 2, 此式便成立. a b a b 所以原不等式成立.
3.4
基本不等式
ab
a+b （a≥0， 2
b≥0）
3.4.1 基本不等式的证明
1.探索并了解基本不等式的证明过程，体会证明不等式
的基本思想方法；(重点） 2.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的 几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件 是：当且仅当这两个数相等.（难点）
国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会 于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行 一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年
b a c a c b ( ) ( ) ( ) 3， a b a c b c b a c a c b 2, 2, 2， a b a c b c b a c a c b ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3， a b a c b c
基本不等式注意三点：正、定、等.
思考：根据右图说出基本不等式 ab ab 的几何解释. 2
A a C
a+b 2 ab
O
D b
B
线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,以AB为直径作半圆O, 过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C，
OC ab ， 2
CD ab，
当a≠b时，OC>CD，即
ab 对于正数a，b，我们把 2 称为a，b的算术平均数，：观察以下数据，能得出什么结论 A 1 2 3 4 a b
ab
ab 2
B 30 39 34.21 34.5
C 59 99 76.43 79
D 92 23 46
E 70 99
F 25 54
G 11 100
当且仅当a=b=c时,取“=”. 所以原不等式成立.
1.了解基本不等式. 2.理解三种方法证明基本不等式. 3.利用基本不等式解决一些简单问题.
装饰对于德行也同样是格格不入的，因
为德行是灵魂的力量和生气。 ——卢梭