上极限和下极限

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非单调数列上极限和下极限

非单调数列上极限和下极限非单调数列是指数列中的元素不按照递增或递减的顺序排列的数列。

在数学中，我们常常研究数列的极限，即数列随着项数的增加而趋向的某个值。

而对于非单调数列来说，它的上极限和下极限并不总是存在，因此需要特殊的讨论和分析。

我们来定义非单调数列的上极限和下极限。

对于一个非单调数列，我们可以找到一个子数列，使得其中的元素递增或递减。

这样，我们定义非单调数列的上极限为这个递减子数列的极限，下极限为递增子数列的极限。

如果递减子数列不存在，则上极限为正无穷；如果递增子数列不存在，则下极限为负无穷。

对于一个非单调数列来说，它的上极限和下极限并不一定相等。

这是因为非单调数列的元素可以在趋近无穷大或无穷小的过程中，经历多次的递增和递减。

这种情况下，数列的上极限和下极限分别代表了数列趋近无穷大和无穷小时的极限值。

下面我们以一个具体的实例来说明非单调数列的上极限和下极限。

考虑数列{-1, 2, -3, 4, -5, 6, ...}，其中正数项递增，负数项递减。

这个数列的递增子数列为{2, 4, 6, ...}，其极限为正无穷；递减子数列为{-1, -3, -5, ...}，其极限为负无穷。

因此，这个非单调数列的上极限为正无穷，下极限为负无穷。

在实际应用中，非单调数列的上极限和下极限具有一定的重要性。

它们可以用来描述数列的趋势和发展方向。

当上极限和下极限存在且相等时，说明数列趋向于一个确定的值；当上极限和下极限存在但不相等时，说明数列在不同的方向上趋向于不同的值；当上极限或下极限不存在时，说明数列的趋势不明确或者在趋向于无穷大或无穷小的过程中震荡不定。

为了更好地理解非单调数列的上极限和下极限，我们可以通过数列的图像来进行观察。

在数学软件或者绘图工具中，我们可以将数列的元素按照其在数轴上的位置绘制出来。

通过观察数列图像的变化，我们可以更加直观地理解数列的递增和递减过程，从而推测出数列的上极限和下极限的可能取值。

公差上极限下极限,中偏差_解释说明

公差上极限下极限,中偏差解释说明1. 引言1.1 概述在工程设计与制造领域中，公差是一个非常重要的概念。

它描述了由于各种因素引起的零件尺寸变化或误差范围，以确保产品能够在一定的允许范围内正常工作。

而公差上极限、下极限和中偏差则是衡量和控制这些误差的关键参数。

1.2 文章结构本文将围绕公差上极限、下极限和中偏差展开论述，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。

具体而言，文章会从定义解释、应用场景、影响因素等方面进行阐述，并介绍测量和控制方法以及效果评估与分析方法。

1.3 目的本文的目的是为读者提供关于公差上极限、下极限和中偏差的全面解释和说明。

通过对这些概念的深入理解，读者可以更好地应用它们于工程实践中，并提高产品质量与可靠性。

以上为“1. 引言”部分的内容。

2. 公差上极限2.1 定义解释在工程和制造领域中，公差是指允许的偏离标准规格或设计要求的范围。

公差上极限是指在加工或组装过程中，所允许的最大偏差值。

这个值表示了一个零件或产品能够偏离其理论设计尺寸的最大限度。

2.2 应用场景公差上极限在实际生产中具有广泛的应用。

它可以用于确定产品之间的可互换性，确保不同供应商提供的零部件能够无缝配合。

此外，在制造过程中对零部件进行检验时，公差上极限也被用来判断产品是否合格。

例如，在汽车制造业中，发动机零部件需要具备一定的精度和质量才能正常工作。

零部件与周边部件之间存在一定的间隙和装配误差，而这些误差必须在一定范围内控制。

公差上极限就是通过定义这个范围来保证发动机正常运行。

2.3 影响因素公差上极限受到多种因素影响。

首先是产品本身的要求和设计规范，不同的产品和行业对公差的要求会有所差异。

其次是加工和制造过程中使用的工艺和设备，例如机床、测量工具等。

这些设备的精度和准确性也会影响公差上极限的确定。

此外，材料的物理特性、环境条件以及操作员技能水平等因素也可能对公差上极限产生影响。

因此，在实际应用中需要综合考虑这些因素来确定适当的公差上极限值。

序列的上极限和下极限

序列的上极限和下极限序列的上极限和下极限是数列理论中常用的概念，它们能够帮助我们更好地理解数列的性质和趋势。

下面我将详细介绍这两个概念的定义、性质和应用。

首先，让我们来了解一下序列的定义。

序列是有序数列的集合，其中每个数都有一个特定的位置。

序列中的每个数称为“项”，它们可以按照任意方式排列在一起。

序列中的项可以是整数、分数、小数等各种类型的数。

序列可以按照其项的规律分类。

如果一个序列的各项之间有明显的规律，则称此序列为等差数列、等比数列或斐波那契数列等。

接下来，我们来介绍序列的上极限和下极限。

序列{an}的上极限定义如下：（1）存在实数M，使得对于任意正整数n，都有an≤M。

（2）对于任意实数ε>0，总存在正整数N，使得当n≥N时，有an≤M+ε。

序列{an}的下极限定义如下：（1）存在实数m，使得对于任意正整数n，都有an≥m。

（2）对于任意实数ε>0，总存在正整数N，使得当n≥N时，有an≥m-ε。

序列的上极限和下极限是序列的一种性质，代表了序列中数据的界限。

对于有界序列，上极限和下极限分别是该序列中最大值和最小值，但对于无界序列，则不存在最小值和最大值。

在一般情况下，上极限和下极限都可能是无穷大或无穷小，但它们之间的差值不能为零。

除了定义，了解上极限和下极限的性质也是十分重要的。

我们来看一下下面的性质：1. 若序列{an}单调递增，则其下极限为an序列的第一个元素，上极限为正无穷大。

2. 若序列{an}单调递减，则其上极限为an序列的第一个元素，下极限为负无穷小。

3. 若序列{an}既不单调递增也不单调递减，则其上极限和下极限均存在且相等。

4. 当序列有界时，它的上极限和下极限均存在且有限。

5. 对于任意一个数列{an}，存在一个子数列{an(k)}，使得其上极限和下极限与{an}相等。

在数学的研究中，上极限和下极限经常被用来研究函数的连续性、收敛性等性质。

特别是在传统数学领域的微积分、数学分析中，它们是非常有用的工具与基础概念。

第8节上极限下极限的概念及应用

n N
k 1
两边取上极限
, 则有
能否用夹逼定理？
lim
n
sup y n A
lim
n
(
n
1
N
xk A ) .
k 1
由任意性，
lim
n
sup y n A 0 .
从而
lim
n
inf y n A
lim
n
sup y n A 0 .
A.
能否用夹逼定理？
由任意性， A
lim
n
inf
an bn

lim
n
sup
an bn
A.
b a inf( A )( 1 N ) N A lim bn bn n bN aN lim sup( A )( 1 b ) b A n n n
n sup x n , x n 1 , sup { x k },
kn
则， n }单调递增， { n }单调递减， {
且 lim n a * ,
n
lim n a .
* n
应用举例
例1.
设
lim
n
x n A ，证明
lim
n
k
0,
n 2 k 1,
lim
a n a n1 bn bn1
n
lim
k
例3.
设 lim a n a ，
n
求证 lim
a1 a 2 a n n
n
a.
解：

上极限与下极限

{
}
(ii)当 H = +∞ 时,数列 {an }无上界,由此便获得所要的结论. (iii)当 H = −∞ 时,对任何 G > 0 ,存在 n 0 ,当 n > n0 时 a ≤ β < −G 这表明{an } 的极限为 −∞ .
n +1 n
(i)当 h 为有限时,对 h 的任何ε 邻域 (h − ε , h + ε ) ，在数列 {an } 中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有限多项小于 h − ε (包括一项也没有);
n →∞
}
0
0
因此
H = liman = lim β n ≤ H − ε o
n →∞
这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何 ε > 0，在 {an } 中必有无穷多个项大于 H − ε 再来证明，在 {an } 中最多只有有限多个项大于H + ε ．因为，由于 lim β n = H ，故存在 N,当 n > N 时 n→ ∞ 有 β n < H + ε ,而 β n 又是 an +1, an + 2, an + 3, L 的上确界, 所以当 n > N 时,对一切正整数成立 an + k ≤ β n < H + ε , 这就证明了大于 H + ε 的 an 只可能有有限多个(包括一个也没有).
n>k n>k
可见 α k ≤ β k．令 k = 1,2,3,L ，于是得到一列 {β k } 和一 { 列 {α k }．显然数列 {β k }是单调减少的，α k } 是单调增加的, 所以这两个数列的极限都存在．我们称 {β k }的极限是 { a n } { 的上级限，设它是H ．α k } 的极限是{ a n } 的下极限, 设它是 h .并分别将上极限和下极限记为 lim an , lim an , ．也就 n →∞ n →∞ 是 H = lim a = lim sup{a } = lim β

数学分析7.3上极限和下极限

第七章实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。

定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项；将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项；依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项，且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。

数学分析——上下极限经典讲义

37第二章极限论§2.1 上极限与下极限设{}n x 是有界数列,E 是{}n x 的聚点之集, 由Weierstrass 定理可知E ≠Φ, 且对任意∈a E , 有{}n x inf ≤a ≤{}n x sup , 这表明E 是有界集合。

定义1. α＝sup E , β＝inf E 分别称为数列{}n x 的上极限、下极限，记作 α＝_____lim ∞→n n x , β＝∞→n lim n x由定义可得定理1. 对任意有界数列{}n x , 有 ∞→n lim n x ≤_____lim ∞→n n x定理2. 设α,β是有界数列{}n x 的上、下极限，则α,β是{}n x 的聚点。

证明：设E 是{}n x 的聚点之集, 只需证对任意ε＞0,存在无穷多个n x , 满足|n x －α|＜ε. 事实上, α＝sup E , 对任意ε＞0, 存在α0∈E , 满足α－2ε＜α0≤α＜α＋2ε,对于α0∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个n x 满足 α0－2ε＜n x ＜α0＋2ε从而存在无穷多个n x 满足 α－ε＜n x ＜α＋ε, 这表明α是{}n x 的聚点。

同理可证β是{}n x 的聚点。

证毕。

定理3. α是有界数列{}n x 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有:(1) 存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋ε;38(2) 对任意自然数k , 存在k n k ≥, 使k n x ＞α－ε.证明: 设E 是有界数列{}n x 的聚点之集, 由定理2, 若α是{}n x 的上极限, 则α∈E⇐：由条件可知，α是{}n x 的聚点, 即α∈E , 若α＜sup E ＝α',则对0ε＝α'－α＞0, 由(1)存在自然数N, 当n ≥N 时,n x ＜α＋0ε＝α'＋α另一方面, 由于α'E ∈, 对如上的自然数N, 存在≥N n N, 使 N n x ＞α'－0ε＝α'＋α 引出矛盾, 因此必有 α＝α'＝sup E .⇒：由定理2, α是{}n x 的聚点, 因而(2)成立。

集合列的上下极限

集合列的上下极限
集合列的上下极限是指在一个集合中，最大值和最小值的概念。

它们是集合中最重要的概念，可以用来描述集合的范围和边界。

上极限是指集合中的最大值，它表示集合中的最大值不会超过上极限。

例如，如果一个集合的上极限是10，那么集合中的最大值不会超过10。

下极限是指集合中的最小值，它表示集合中的最小值不会低于下极限。

例如，如果一个集合的下极限是5，那么集合中的最小值不会低于5。

上极限和下极限可以用来描述集合的范围和边界。

它们可以帮助我们更好地理解集合中的数据，并且可以用来检测数据是否超出了集合的范围。

总之，集合列的上下极限是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解集合中的数据，并且可以用来检测数据是否超出了集合的范围。

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上上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质例（ 3p175#2)
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质例（ 3p175#2)
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设 lni m xn=A， lni m xn=A )
同理，小于A的项也至多只有有限多项，从而(A,A)之外含数列至多有限项，
由数列极限的定义，得证。
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二上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
若 {a n}{b n}之一收敛，如 {b n}收敛，则 ln i m a n+ln i m b nln i m （ a n+ b n ） ln i m （ a n+ b n ） ln i m a n+ln i m b n
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一上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
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一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
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一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
)A A,则{xn}只有一个聚点，
由A为上极限，知对任意>0,大于A
的项至多只有有限项，
（否则，在[A, M](M为xn的一个上界）中
又有一个聚点）.
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一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
P175#1
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一上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
求数列上下极限的一般方法：找出数列所有可能的收敛子列的极限，再
比较它们的大小
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
证明：设 ln i m an= a ， ln i m b n= b,ab
取 ab0,则 ab
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
类似地，对下极限有 l n i m （ a n + b n ) l n i m a n + n l i m b n ( p 1 7 6 # 2 ( 2 )
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an中大于a的项有无数多项，而bnan,所以bn中大于b的项也有无数多项，
由于b为上极限，(由定理7.7）矛盾。
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二上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
特别地，对子列有如下性质： lni man lki mank lki mank lni man
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二上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
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二上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设 lni m xn=A， lni m xn=A )lni m xnA ,则 xn的任意子列都收敛于 A , 而 A ， A 为收敛子列的极限，所以 A = A
一上极限与下极限的定义 1 数列的聚点
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一上极限与下极限的定义 2 数列的聚点与点集的聚点的区别
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三上极限与下极限的其它定义形式
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三上极限与下极限的其它定义形式
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三上极限与下极限的其它定义形式
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四非正常上极限与下极限