7.2上极限和下极限
上极限和下极限
11.06.2020
上上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质 例（ 3p175#2)
11.06.2020
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22
二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质 例（ 3p175#2)
11.06.2020
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12
二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证 明 ： 设 lni m xn=A， lni m xn=A )
同理，小于A的项也至多只有有限多项， 从而(A,A)之外含数列至多有限项，
由数列极限的定义，得证。
11.06.2020
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13
二 上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
若 {a n}{b n}之 一 收 敛 ， 如 {b n}收 敛 ， 则 ln i m a n+ln i m b nln i m （ a n+ b n ） ln i m （ a n+ b n ） ln i m a n+ln i m b n
11.06.2020
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4
一 上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
11.06.2020
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5
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
11.06.2020
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6
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
11.06.2020
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11.06.2020
上极限和下极限
在概率测度的收敛性研究中，上极限和下极限也发挥了重要作用，例如在研究概率空间的收敛性和概率 测度的弱收敛时。
2023
PART 05
结论
REPORTING
主题总结
上极限和下极限是数学中两个重要的概念，用于描述数列或函数在无穷大 或无穷小的情况下的行为。
上极限和下极限的概念在数学分析、实数理论、函数分析等领域有着广泛 的应用，对于理解函数的性质和行为至关重要。
2023PART 03下极 Nhomakorabea的概念和性质
REPORTING
下极限的定义
• 定义：对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在一个 正整数$N$，使得当$n>N$时，有 $a_n<\alpha+\varepsilon$。则称数$\alpha$为数列 ${a_n}$的下极限。
下极限的性质
唯一性
主题历史背景
上极限和下极限的概念起源于数学分 析的发展，特别是在实数理论的研究 中。
历史上，上极限和下极限的概念在数 学分析中得到了广泛的应用和发展， 为解决一系列数学问题提供了重要的 工具和方法。
2023
PART 02
上极限的概念和性质
REPORTING
上极限的定义
上极限的性质
唯一性
给定数列${ a_n }$的上极限至多有一个。
下极限
下极限是数学中的一个概念，它描述 了一个序列或集合的“下确界”，即 比该序列或集合中所有元素都大的最 小值。
主题重要性
上极限和下极限是数学分析中的重要 概念，它们在研究函数的性质、数列 的收敛性和实数的完备性等方面有着 广泛的应用。
上极限和下极限的概念有助于理解实 数集的完备性，即实数集具有完备性， 意味着实数集的所有子集都有上界和 下界。
7.2 距离空间的极限,抽密集,可分空间
机动
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结束
第2页 2)平面 R 2 按距离， ( x , y )
开球为 Sx0 , r x x R2 , x1 x012 x2 x02 2 r 2 --平面上不含边界的圆域 3）平面R2按距离
x1
y1 x 2 y 2
n n n
lim x n x lim ( x n , x ) 0 注：在距离空间中，n n
0, N ,当n N时， ( xn , x )
定理1 (极限的性质)设(X,d)是距离空间，{xn}X. 1) {xn}收敛其极限唯一 ( ( x, y) ( x, xn ) ( xn , y) ) 2) {xn}收敛{xn}一定是有界的 3) xn x n xn xn , xn x (k )
( x 0 , x 2 ) ( x 0 , x1 ) ( x1 , x 2 ) x 2 A S ( x 0 , ), x 2 x 0 x 0 是 A 的极限点
2
2
x 0 A ( A ) A A 是闭集 x0 ( A ) 0, x1 A S ( x0 , ) ( x0 , x1 ) , x1 x0 2 2
2 (1) 欧氏距离空间Rn, 1 x , y xi yi
n
1 2
i 1
(k ) (k ) xk x1(k ) , x2 ,, xn x x1, x2 ,, xn k
x k , x 0 k
机动 目录
上极限与下极限
{
}
(ii)当 H = +∞ 时,数列 {an }无上界,由此便获得所要的 结论. (iii)当 H = −∞ 时,对任何 G > 0 ,存在 n 0 ,当 n > n0 时 a ≤ β < −G 这表明{an } 的极限为 −∞ .
n +1 n
(i)当 h 为有限时,对 h 的任何ε 邻域 (h − ε , h + ε ) ， 在数列 {an } 中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有 限多项小于 h − ε (包括一项也没有);
n →∞
}
0
0
因此
H = liman = lim β n ≤ H − ε o
n →∞
这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何 ε > 0，在 {an } 中必有无穷多个项大于 H − ε 再来证明，在 {an } 中最多只有有限多个项大 于H + ε ．因为，由于 lim β n = H ，故存在 N,当 n > N 时 n→ ∞ 有 β n < H + ε ,而 β n 又是 an +1, an + 2, an + 3, L 的上确界, 所以当 n > N 时,对一切正整数 成立 an + k ≤ β n < H + ε , 这就证明了大于 H + ε 的 an 只可能有有限多个(包括 一个也没有).
n>k n>k
可见 α k ≤ β k．令 k = 1,2,3,L ，于是得到一列 {β k } 和一 { 列 {α k }．显然数列 {β k }是单调减少的，α k } 是单调增加的, 所以这两个数列的极限都存在．我们称 {β k }的极限是 { a n } { 的上级限，设它是H ．α k } 的极限是{ a n } 的下极限, 设 它是 h .并分别将上极限和下极限记为 lim an , lim an , ．也就 n →∞ n →∞ 是 H = lim a = lim sup{a } = lim β
数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
高等数学(微积分)课件--§7.2正项级数敛散性的判别
N
, 使得当 n N 时 , 有 u n cv n , 则 （1）当
v
n 1 n 1
n
收敛时， u n 收敛 ;
n 1
（ 2）当
u
n
发散时， v n 发散 .
n 1
比较收敛法的前提
要有参考级数. （比较的对象）
6
例 1
P-级数 讨 论 p-级 数
1
p
1
1 3
即部分和数列有上界
(2) 设 sn (n )
n
u n 收敛
n1
.
且 un vn ,
则
sn
是无上界数列 定理证毕.
v n 发散
n1
.
5
比较判别法的推论
推论 设 u n 和 v n 都是正项级数
n 1 n 1
,
且存在常数
c 和自然数
由比较收敛法的推论, 得证.
( 2 ) 由 lim
n
存在 , 若级数
u n 收敛
n1
,
则由结论
( 1 ) 有级数
v n 收敛
n1
, 但级数
v n 发散
n1
,
故级数
u n 不可能收敛
n1
, 即级数发散
.
12
例题讲解
例 解
判定级数
sin
n1
1 n
的收敛性
.
且 un v n ( n 1, 2,) ,若 v n 收敛,则 un 收敛;
n 1 n1
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
2017年3月9日12时2分
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
2017年3月9日12时2分
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
证明：设liman =a ， limbn =b , a b
n n
a b 取 0, 则a b 4 an中大于a 的项有无数多项，
而bn an , 所以bn中大于b 的项也有无数多项， 由于b为上极限，(由定理7.7）矛盾。
2017年3月9日12时2分
n n
) lim xn A,则xn的任意子列都收敛于A,
n
而A ，为收敛子列的极限，所以 A A= A
2017年3月9日12时2分
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11
二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
) A A, 则{xn }只有一个聚点， 由A为上极限，知对任意 >0,大于A 的项至多只有有限项， （否则，在[ A , M ]( M 为xn的一个上界）中 又有一个聚点）.
2017年3月9日12时2分
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7
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义 P175#1
2017年3月9日12时2分
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8
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义 求数列上下极限的一般方法：
找出数列所有可能的收敛子列的极限，再 比较它们的大小
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26
四 非正常上极限与下极限
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27
2017年3月9日12时2分
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20
二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
类似地，对下极限有lim （an +bn ) liman +limbn ( p176 # 2(2)
n n n
若{an }{bn }之一收敛，如{bn }收敛，则 liman + lim bn lim （an +bn） lim （an +bn） liman + limbn
n n n n n n
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21
二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
例 （ 3 p175# 2)
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22
二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
2017年3月9日12时2分
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9
二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
2017年3月9日12时2分
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10
二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设limxn = A ， limxn = A
例 （ 3 p175# 2)
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23
三 上极限与下极限的其它定义形式
2017年3月9日12时2分
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24
三 上极限与下极限的其它定义形式
2017年3月9日12时2分
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25
三 上极限与下极限的其它定义形式
2017年3月9日12时2分
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12
二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证明：设limxn = A ， limxn = A
n n
) 同理，小于A 的项也至多只有有限多项， 从而(A , A )之外含数列至多有限项， 由数列极限的定义，得证。
一 上极限与下极限的定义 1 数列的聚点
2017年3月9日12时2分
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2
一 上极限与下极限的定义 2 数列的聚点与点集的聚点的区别
2017年3月9日12时2分
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3
一 上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
2017年3月9日12时2分
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4
一 上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
2017年3月9日12时2分
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5
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
2017年3月9日12时2分
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6
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
特别地，对子列有如下性质： liman limank limank liman
n k k n
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二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质
2017年3月9日12时2分
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13
二 上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
2017年3月9日12时2分
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14
二 上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
2017年3月9日12时2分
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