上极限和下极限演示精品PPT课件
上极限和下极限
11.06.2020
上上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质 例（ 3p175#2)
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
22
二 上极限与下极限的性质与判断方法 3 数列的上下极限的不等式性质 例（ 3p175#2)
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
12
二 上极限与下极限的性质与判断方法 1 数列的上下极限的关系
证 明 ： 设 lni m xn=A， lni m xn=A )
同理，小于A的项也至多只有有限多项， 从而(A,A)之外含数列至多有限项，
由数列极限的定义，得证。
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
13
二 上极限与下极限的性质与判断方法 2 数列的上下极限的判断方法
若 {a n}{b n}之 一 收 敛 ， 如 {b n}收 敛 ， 则 ln i m a n+ln i m b nln i m （ a n+ b n ） ln i m （ a n+ b n ） ln i m a n+ln i m b n
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
4
一 上极限与下极限的定义 3 数列的聚点的性质
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
5
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
6
一 上极限与下极限的定义 4 数列的上下极限的定义
11.06.2020
上一页 下一页 主 页 返回 退出
11.06.2020
上极限与下极限
§3 上极限和下极限1. 求以下数列的上、下极限:(1){1+n)1(-};(2){n)1(-12+n n}; (3){2n+1}; (4){12+n n sin 4πn };(5){n n 12+sin n π}; (6){n n 3cos π};解 记原函数为{x n }. (1) 由于∞→k lim 12-k x =0, k k x 2lim ∞→=2,从而对任给正数ε,存在自然数N,当k>N 时,有x 12-k <0+ε,2-ε<x k 2可见小于ε+0的x n 有无限项，大于ε-2的也有无限项，又设有一项x n 使得εε+>-<20n n x x 或,故由定义可知 ∞→∞→=n n n x lim ,0lim x n =2.注：一般地，若p 为自然数，且0lim A x kp k =∞→， ,lim 11A x kp k =+∞→,11lim --+∞→=p p kp k A x 存在，则有min lim =∞→n {A 0，A 1 ，A 1-P }，，，10max{lim A A x n k =∞→ ，A 1-P }。
事实上，对任一正数ε，存在自然数N ，使得当k>N 时 A i —ε<x j kp +<A i +ε )1,,2,1(-=p i设 min{A 0,A 1, ,A 1-P }=A 0,则小于A 0+ε的x n 有无限项，若对某个正数ε，数列{x n }中小于A 0—ε的有无穷项，设他们是x 1n ,x 2n , ,x j n , 其中n 1<n 2< <n j < ,由于自然数集N 可分为有限个子集 {kp }N k ∈,{kp+1 ,}N k ∈, {kp+p-1}N k ∈且n j 有无限个，从而以上p 个子集中，必有一个（设为第j 个）含有无限个n j ,因而 n 1j =k 1p+j ),2,1( =j于是 j j p k l n l A x x j ==+∞→∞→11lim lim .可见A j ≤A 0—ε<A 0.这与A 0为最小者矛盾，因此A 0=n n x ∞→lim .同理 max{A 0,A 1, ,A 1-P }=n n x ∞→lim .(2) 由于21142limlim 2=+=∞→∞→k k x k k k ，21lim 12-=+∞→k k x ，从而由（1）后的注知21lim -=∞→n n x ，n n x ∞→lim =21(3) 由于+∞=+∞→)12(lim n n ，从而+∞==∞→∞→n n n x lim lim .(4) 由于2lim lim lim 38188===+∞→+∞→∞→k k k k k k x x x ，2lim lim ,2lim 785828-===+∞→+∞→+∞→k k k k k k x x x2lim 68-=+∞→k k x从而由（1）题证明之后的注知2lim -=∞→n ，n n x ∞→lim =2.(5)ππππ=•+==∞→∞→∞→nn nn x x n n n n n sin)1(lim lim lim 22 (6)由于)2,1,0(121lim 3cos lim lim 3133===+∞→+∞→+∞→i i x j k k k k j k k π 从而 1lim lim ==∞→∞→n n n n x x .2．设{a n }.{b n }为有界数列，证明： （1）);(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2) );(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3) 若a n >0, b n >0(n=1,2, ),则n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤lim lim lim ，n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≥lim lim lim ；（4）若a n >0,n n a ∞→lim >0,则.lim 11limnn n n a a ∞→∞→=证 （1）设A n =∞→lim ，则对任给正数ε，小于A —ε的a n 至多有限项，小于A+ε的a n 有无限项，即{—a n }中大于—A+ε的至多有限项，大于—A —ε的有无限项，所以A a n n -=-∞→)(lim ，即)(lim lim n n n n a a --=∞→∞→(2)设a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，c b a n n n =+∞→)(lim ，假设c b a >+,由下极限充要条件知对任给正数ε，有无限个n,使得a n +b n <c+ε,今取ε0=)(21c b a -+>0,则有无限个n,使得a n +b n <c+0)(21)(21ε-+=++=-+b a c b a c b a .另一方面，由于a a n n =∞→lim ，b b n n =∞→lim ，故至多有有限个n 和有限个m ，使得a n <2ε-a ，b m <2ε-b ,设{a n }满足关系式bm<2ε-b 的项数为p ，{bm}满足关系式bm<2ε-b 的项数为q,则满足an+bn<b a +0ε-的n 至多为p+q 个，这与上面得到的结论：“有无限个n 使a n +b n <b a +0ε-”相矛盾，所以只可能的b a +≤c,即)(lim lim lim n n n n n n n b a b a +≤+∞→∞→∞→(3)先证第一式,设a a n n =∞→lim ,b b n n =∞→lim ,c b a n n n =∞→lim ,若a=0(或b=0),则因a n >0,b n >0,故c 0≥,所以有.lim lim lim 0n n n n n n n b a c b a ab ∞→∞→∞→=≤==当0.0>>b a 时,假设.c ab >任取正数ε使0>>-εc ab ,则有无限多项满足)(212)(2c ab c ab c c b a n n +=-+<+<ε2ε-<ab . 另一方面,至多有有限项(设为p 项)满足;4ba a n ε-<也至多有有限项(设为q 项)满足,4ab b m ε-<从而至多有p+q 项能满足.abab ab ba b a n n 162)4)(4(2εεεε+-=--<.这样又导致了与前面有无限项满足abab ab b a n n 16222εεε+-<-<相矛盾的结果,所以只能是,c ab ≤即.lim lim lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→≤第二个不等式的证明:设,lim c b a n n n =∞→则存在下列}{k k n n b a ,使.lim c b a k k n n k =∞→因为}{k n a 与}{k n b 都是有界数列,可以假设它们都收敛(必要时,取收敛子列).记,lim ,lim b b a a k k n n n n ==∞→∞→则 ,lim ,lim n n n n b b a a ∞→∞→≤≤从而.lim lim lim n n n n n n n b a ab c b a ∞→∞→∞→≤==(4)设,0lim >=∞→a n 欲证,11lima a nn =∞→对任给正数(ε取ε充分小,使,a <ε且).1<εa 令,121εεεa a -= εεεa a +=122,则0,021>>εε且}{n a 中小于εεa aa -=+11的项有无限多个,}{n a 中小于εεa a a +=-12的项至多有限多个,从而}1{n a 中大于εε-=-aa a 11的项有无限多个,}1{n a 中大于εε+=+aa a 11的项至多有限个.所以 .lim 111limn n nn a a a ∞→∞→==3.证明:若}{n a 为递增数列,则.lim lim n n n n a a ∞→∞→=证 若}{n a 有界,则由单调有界定理,极限n n a ∞→lim 存在,从而有n n n n a a ∞→∞→=lim lim ,若}{n a 无界,则+∞=∞→n n a lim ,从而对任给正数M,}{n a 中大于M 的项有无限多个,设M a N >,由}{n a 的递增性,当N n >时,有M a a N n >≥,所以.lim +∞=∞→n n a4.证明:若且),,2,1(0 =>n a n ,11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 则数列}{n a 收敛.证 因),.2,1(0 =>n a n 故0lim ≥∞→n n a ,若0lim =∞→n n a ,则对任给的正数M,}{n a 中小于M 1的项有无限多个,的项有无限多个，中大于即M a n }1{所以,1lim +∞=∞→n n a 这与11limlim =∞→∞→n n n n a a 相矛盾,故,0lim >∞→n n a 由习题2(4),有nn n n a a ∞→∞→=lim 11lim ,从而由已知11limlim =⋅∞→∞→nn n n a a 知1lim 1lim =⋅∞→∞→n n n n a a ,所以.lim lim n n n n a a ∞→∞→=.于是}{n a 收敛.5.证明定理7.8 证 1︒设.lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→假设b a >,取02>-=ba ε,则}{n a 中大于εε+=--=-b ba a a 2的项有无限多个,由于)(0N n a b n n >≥,故}{n b 中大于ε+b 的项有无限多个,这与b b n n =∞→lim 矛盾,同理可证n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .2︒由定理7.5知.lim lim n n n n a a ∞→∞→≥令α=n c (),N n ∈∀)(N n d n ∈∀=β,则有)(0N n d a c n n n >≤≤,从而由1︒知:βα=≤≤≤=∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n d a a c lim lim lim lim6.证明定理7.9.证 (1)必要性 设).(lim 为有限值A A x n n =∞→则对任给正数ε,}{n x 中大于2ε+A 的项至多有限个,设这有限项下标最大者为N,则当1+≥N n 时,2ε+≤A x n 所以εε+<+≤+≥A A x k N k 2}{sup 1,又对上述,0>ε}{n x 中大于ε-A 的项有无限多个,故对一切n,有,}{sup ε->≥A x k nk 于是,当N n >时,有εε+<<-≥A x A k nk }{sup .所以 .}{sup lim A x k nk n =≥∞→充分性 设).(}{sup lim 为有限值A A x k kn n =≥∞→设},{sup k nk n x A ≥=则}{n A 递减,故}inf{n A A =,从而对任给正数ε,存在N,使A N ε+<A ,于是当时N n ≥,有ε+<A x n ,即}{n x 中大于ε+A 的项至多有限个;又对一切n,有ε->≥A A A n ,所以,}{n x 中大于ε-A 的项有无限个,因此.lim A x n n =∞→(2)由习题2的(1)得)(lim lim n n n n x x --=∞→∞→由该题(1),得}.{inf lim }{sup lim )(lim k nk n k nk n n n x x x ≥∞→≥∞→∞→-=-=-所以,有}.{inf lim lim k nk n n n x x ≥∞→∞→=。
数学分析7.3上极限和下极限
第七章 实数的完备性 3 上极限和下极限定义1：若在数a 的任一邻域内含有数列{x n }的无限多个项，则称a 为{x n }的一个聚点.注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。
定理7.4：有界点列(数列){x n }至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.证：∵{x n }为有界数列，∴存在M>0，使得|x n |≤M ，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 2,b 2]，则[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M. [a 2,b 2]含有{x n }中无穷多个项； 将[a 2,b 2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{x n }中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a 3,b 3]，则 ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M. [a 3,b 3]含有{x n }中无穷多个项； 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有{x n }中无穷多个项，而 其右边至多只有{x n }中有限多个项.由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)， ∴U(ξ; ε)内含有{x n }中无穷多个项，∴ξ为{x n }的一个聚点. 若ξ为{x n }的唯一的聚点，则ξ同时为{x n }的最大聚点和最小聚点. 若{x n }有聚点ζ>ξ，则令δ=31(ζ-ξ)>0，在U(ζ,δ)内含有{x n }中无穷多个项， 且当n 充分大时，U(ζ,δ)将落在[a n ,b n ]的右边，矛盾。
上下极限
____
____
对于函数的上、下极限，也有类似于数列上、下极限的性质，读者可以自证下 述结论。设 A＝ lim f ( x) , B＝ lim f ( x)
x→a x→a
____
1. B≤A; 2. A、B 是 x → a 时 f ( x) 的子极限; 3. 设函数 f ( x) 在 U ( a ) 内有定义且有界, 则 A(B)是当 x → a 时 f ( x) 的上
x nN ≥ α + ε 0 , 据 Bolzano－Weierstrass 致密性定理, 有界点列 x n N 存在收敛的子
列, 且其极限值不小于 α + ε 0 ，这与 α = sup E 矛盾。 定理证毕。 类似于定理 3, 可以证明: 定理 3': β是有界数列 {x n } 下极限的充分必要条件是: 对任意ε＞0 有 (1) 存在自然数 N, 当 n ≥N 时, x n ＞β－ε; (2) 对任意自然数 k , 存在 n k ≥ k , 使 x nk ＜β＋ε. 推论: 有界数列 {x n } 收敛的充分必要条件是: lim x n = lim x n
ε
2
＜α 0 ≤α＜α＋
ε
2
,
对于α 0 ∈E 以及如上的ε＞0, 存在无穷多个 x n 满足 α0－
ε
2
＜ x n ＜α 0 ＋
ε
2
从而存在无穷多个 x n 满足 α－ε＜ x n ＜α＋ε, 这表明α是 {x n } 的聚点。同理 可证β是 {x n } 的聚点。证毕。 定理 3. α是有界数列 {x n } 的上极限, 充分必要条件是对任意ε＞0, 有: (1) 存在自然数 N, 当 n ≥N 时, x n ＜α＋ε;
第二次课、上极限与下极限
A
lim
n
yn
2 ,
同理可证
cn
supxk
k n
yk
A
sup yk
k n
A
lim
n
yn
2 ,
于是当 n N 时恒有
A
lim
n
yn
2
cn
A
lim
n
yn
2 ,
令
n ，得
A
lim
n
yn
2
lim
n
cn
A
lim
n
yn
2
,
由 的任意性，得
lim(
n
xn
yn )
lim
n
cn
A lim n
yn.
制作人：杨寿渊
第二节 上极限与下极限
定义2.1 设xn是一个有界数列，令
bn supxn1, xn2 , supxk ,
k n
an
inf
xn1,
xn2 ,
inf
k n
xk ,
则bn 单调递减且有下界，bn 单调递增且有上界，因此
它们都存在极限，记
lim
n
xn
lim
n
bn
lim sup
n k n
xk
a
(n
1
1) n1
n
n
1
n1
,
n
1
b
n
n
1
n1
n n
2 1
n1
,
得
n
n
(n
1
1) n1
n 1 n1 n
n n1 n 1
上极限和下极限
an < A + , 2
ε
bn < B + , 2
前页 后页 返回
ε
故
an + bn < A + B + ε .
再由定理 7.8 的 (4) 式, 得
n→∞
lim ( an + bn ) ≤ A + B + ε .
因为 ε 是任意的 故 是任意的,
n →∞
lim (an + bn ) ≤ A + B = lim an + lim bn .
定义 2 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点
A 分别称为 { xn } 的上、下极限 记为 的上、下极限,
A = lim xn ,
n→ ∞
A = lim xn .
n→ ∞
前页 后页 返回
得知, 有界数列必有上、下极限. 注 由定理 7.4 得知 有界数列必有上、下极限 这样, 下极限的优越性就显现出来了: 这样 上、下极限的优越性就显现出来了 一个 数列若有界, 它的极限可以不存在, 数列若有界 它的极限可以不存在 此时想通过 极限来研究该数列往往是徒劳的; 极限来研究该数列往往是徒劳的 但是有界数列 的上、下极限总是存在的 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 提供了一个新的平台. 提供了一个新的平台
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn > B ε ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk < B + ε , k = 1, 2, .
n→∞
lim xn = B 的充要条件是: 对于任意的 ε > 0, 的充要条件是
在形式上是对称的, 证 1 和 2 在形式上是对称的 所以仅证明 1 .
第9章第1节上极限与下极限
并且h是an 中所有收敛子列的极限 中的最小值 .
2015年8月30日星期日
12
§9.1上极限与下极限
证明: 仅以上极限H来证明如下. (分三种情形)
(1).当 H ，由定理1 ，必有an 一个子列收敛于H. 另外 0， an中只能有有限多个项大于H ，
2015年8月30日星期日
3
第九章
数项级数
主要内容
§9.1上极限与下极限 §9.2 级数的收敛性及其基本性质 §9.3 正项级数 §9.4一般项(任意项)级数 §9.5绝对收敛和条件收敛级数的性质 *§9.6无穷乘积
2015年8月30日星期日
4
§9.1 上极限与下极限
引 言 在关于级数理论的研究 与讨论中，需要涉及到有关 上、下极限的概念.本节作 为预备知识简要介绍有关内 容.它属于极限论的范围.
2015年8月30日星期日
16
因此，H liman lim n H 0，与假设矛盾，
n n
这就证明了 0，在an中必有无穷多个项大于H 0.
2015年8月30日星期日
9
§9.1上极限与下极限
再证,在 an 中最多只有有限多个项大于 H .
因为lim n H , 故N ,当n N时有n H ,
an 这表明 的极限为 .
2015年8月30日星期日
(证毕)
10
§9.1上极限与下极限
定理2:
设h lim ห้องสมุดไป่ตู้n，则
n
（） 1 .当h为有限时, U (h, ),
an 中有无穷多个项属于这个邻域,
而最多有有限个小于 h （包括一项也没有）；
§9 上极限和下极限
liminf yn limsup yn ,
n
n
lim yn A. n
§应用： Stolz 定理
定理１
lim 设bn严格增 ,若
n
an an1 bn bn1
A，
lim 则
an A.
b n n
lim lim 即
an
an an1 .
b n n n bn bn1
证明： ⑴ 设Ａ为有限数
n
n
limsup xn limsup yn .
n
n
三、应用举例
lim lim 例1.
设
n
xn A，证明
n
x1 x2 xn A. n
证明： 0, N 0, n N , xn A ,
令
yn
x1
n
xn
,则
yn
A
( x1
A) ( x2
A) n
( xn
A)
1 n
N k 1
例２.
1k
lim
n
2k nk 1
nk
解： nk1 (n 1)k1
k N*
nk1 [nk1 (k 1)nk ck21nk1 (1)k1]
(k 1)nk ck21nk1 (1)k2
lim 原式
n
nk nk1 (n 1)k1
lim
n
nk (k 1)nk
(1)k2
xk
A
,
n N
两边取上极限, 则有
lim lim n
sup yn A
n
(1 n
N k 1
xk
A
)
.
由任意性， limsup yn A 0. n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
意的 0, 存在 K 0, 当 k > K 时，A xnk .
将 { xnk } 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii).
又因 A 是 { xn } 的最大聚点, 所以对上述 ,在区间
[ A , ) 上, 至多只含 { xn } 的有限项. 不然的
话, 因为 { xn } 有界, 故 { xn } 在 [ A , ) 上
故由确界原理, 存在 A sup E, A inf E.
下面证明 A 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 A E. 首先, 由上确界的性质, 存在 an E, 使 an A.
前页 后页 返回
因为 ai 是 { xn } 的聚点, 所以对任意正数 , 在区间
(ai , ai ) 内含有 { xn}的无限多项. 现依次令
还有聚点, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 设这有限项
前页 后页 返回
的最大下标为 N, 那么当 n > N 时,
xn A .
充分性 任给 0, 综合 (i) 和 (ii), 在 ( A , A )
前页 后页 返回
例1 考察以下两个数列的上、下极限:
lim 1 lim 1 0 ( lim 1 );
n n n n
n n
lim (1)n n 1, lim (1)n n 1 .
n
n1nLeabharlann n1从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限
之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文.
前页 后页 返回
n
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn B ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk B , k 1, 2, .
证 1 和 2 在形式上是对称的, 所以仅证明 1 .
前页 后页 返回
必要性
设
lim
n
xn
A.
因为
A
是
{ xn }的一个聚点,
所以存在 { xnk }, 使得 xnk A (k ), 故对于任
1 1, 存在 xn1 , 使 | xn1 a1 | 1;
2
1, 2
存在
xn2 (n2 n1), 使 | xn2
a2
|
1 2
;
............
k
1, k
存在
xnk (nk
nk1 ),
使
|
xnk
ak
|
1; k
............
前页 后页 返回
这样就得到了 { xn } 的一个子列 { xnk }, 满足:
二、上(下)极限的基本性质
由上、下极限的定义, 立即得出:
定理7.5 对任何有界数列 { xn }, 有
lim
n
xn
lim
n
xn .
(1)
下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关
系.
定理7.6
有界数列 { xn } 存在极限的充要条件是:
lim
n
xn
lim
n
xn .
(2)
前页 后页 返回
证
设
lim
*§3 上极限和下极限
数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 , 上(下)极限也是不可缺少的工具.
一、上(下)极限的基本概念 二、上(下)极限的基本性质
定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大
聚点和最小聚点.
前页 后页 返回
证 设 { xn}为有界数列, 由致密性定理, 存在一个 收敛子列 { xnk }, xnk x0 (k ), 于是 x0 是{ xn } 的一个聚点.
又设 E x | x 是 { xn}的聚点, 由于 E 非空有界,
前页 后页 返回
一、上(下)极限的基本概念
定义1 若数列 { xn} 满足: 在数 x0 的任何一个邻域 内均含有{ xn }中的无限多项, 则称 x0 是数列 { xn } 的一个聚点. 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无 限多个项”. 现举例如下: 常数列 (an a)只有一个聚点: a .
前页 后页 返回
{ (1)n } 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点;
但作为数列来说, 它却有两个聚点: 1 和 1.
数列
{
sin
nπ 4
}
有五个聚点:
1,
2 2, 0,
2 2, 1.
从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 { xn} 的聚
点的一个充要条件是: 存在 { xn } 的一个子列{ xnk }, xnk x0 , k .
n
xn
A.
对于任意正数 ,
在
U ( A; )
之外 { xn } 只有有限项. 这样, 对任意的 B A, 若
取
0
|B 2
A|
0,
那么在 U (B; 0 ) 内( 此时必
在 U ( A; 0 ) 之外 ) { xn }只有有限项. 这就是说, B
不是 { xn } 的聚点, 故 { xn } 仅有一个聚点 A, 从而
lim
n
xn
lim
n
xn .
反之, 若上式成立, 则 { xn } 的聚点惟一 (设为 A) ,
前页 后页 返回
此时易证
lim
n
xn
A.
倘若不然,则存在 0 0,
使得在 U ( A; 0 ) 之外含有
{ xn} 的无限多项. 由致密
性定理, 这无限多项必有
另一聚点, 导致与聚点惟
一的假设相矛盾.
lim
k
xnk
lim (
k
xnk
ak
)
lim
k
ak
A
,
即证得 A 也是 { xn}的一个聚点, 所以
同理可证 A E.
A E.
定义 2 有界数列 { xn } 的最大聚点 A 与最小聚点 A 分别称为 { xn } 的上、下极限, 记为
A
lim
n
xn
,
A lim xn.
n
前页 后页 返回
注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 一个 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 极限来研究该数列往往是徒劳的; 但是有界数列 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 提供了一个新的平台.
前页 后页 返回
定理7.7 设 { xn } 为有界数列, 则有
1
lim
n
xn
A
的充要条件是: 对于任意的
0,
(i) 存在 N, 当 n > N 时, xn A ;
(ii) 存在 { xnk }, xnk A , k 1, 2, .
2 lim xn B 的充要条件是: 对于任意的 0,