数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第3章 函数极限
高等数学第3章第1节函数极限的概念.
第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。
数学分析3-3函数极限存在的条件
x1 , x2 , 使得
, xn ,
, xn U ( x0 , n ),
| f ( xn ) A | 0 , n 1, 2, .
另一方面,
0|
xn
x0
| n
n
,
所以
lim
n
xn
x0 .
这与
lim
n
f
( xn )
A
矛盾.
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注: 1、 若 lim f (x) A 存在, x x0
f
为定义在U
(
x0
)上的单调有界函数,
则右极限 lim f ( x) 存在 . x x0
（相信大家也能够写出关于 lim f ( x) , lim f ( x) ,
x x0
x
lim f ( x) 的单调有界定理 .）
x
y y f (x)
几何意义
f (x0)
•
o a x0 b
x 前页 后页 返回
证
从而 f ( x) f ( xN1 ) A . 因此 A f (x) A .
即 lim f ( x) A. x x0
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三、柯西收敛准则
这里 仅给出 lim f ( x) 的柯西收敛准则, 请大家自 x
行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证
明之.
定理3.12 设 f (x) 在 的某个邻域{x | x M }上 有定义, 则极限 lim f ( x) 存在的充要条件是:
不妨设
f
在
U
(
x0
)
递减
.
因为 f (x) 有界, 故 sup f ( x) 存在, 设为A .
xU
§3.2-函数极限的性质-数学分析(华师大-四版)课件-高教社ppt-华东师大教材配套课件
lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。
3.3函数极限存在的条件华师大版数学分析第三章函数的极限ppt
注： 1、归结原则可简述为：
f(x)=A对任何xn→x0(n→∞)有
f(xn)=A.
注： 2、若有以x0为极限的数列{xn}，使 f(xn)不存在， 或两个以x0为极限的数列{x’n}与{x”n}，使
f(x’n)与 f(x”n)都存在但不相等，则 f(x)也不存在.
1、证明极限
不存在.
证：设x’n= , x”n=
f(x) =A，∀ε>0，有正数δ，
当x0<x<x0+δ时，有|f(x)-A|<ε.设递减数列 {xn}⊂U⁰+(x0)趋于x0，则对δ，存在N，使当n>N时， 有0<xn-x0<δ，即x0<xn<x0+δ，从而有|f(xn)-A|<ε. ∴ f(xn)=A.
3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)
(n=1,2,…)，则
x’n→0，x”n→0(n→∞)， 又sin →0，sin →1(n→∞)，
由归结原则可知
不存在.
3.9：设函数f在点x0的某空心右邻域U⁰+(x0)
有定义.
f(x)=A的充要条件是：对任何以x0为
极限的递减数列{xn}⊂U⁰+(x0)，有 f(xn) =A.
证： [必要性]若
有|f(x1)-A|≥ε0,对δ2=min{ ,x1-x0},有x2使0<x2-x0<δ2，
有|f(x1)-A|≥ε0, x2< x1，…依此类推…
取δn=min{ ,xn-1-x0}，存在xn，使0<xn-x0<δn，
有|f(xn)-A|≥ε0，xn< xn-1<…< x2< x1，即{xn}满足：
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
3.1函数极限概念华师大版数学分析第三章函数的极限ppt
注：
4、定义2中的不等式0<|x- x0|<δ等价于x∈U⁰(x0;δ)， 而不等式|f(x)-A|<ε等价于f(x)∈U(A;ε). 所以， ε-δ定义可以写成：任给ε>0，存在δ>0， 使得对一切x∈U⁰(x0;δ)，有f(x)∈U(A;ε). 或任给ε>0，存在δ>0，使得f(U⁰(x0;δ))⊂U(A;ε).
又 f(x)=A，则∀ε>0，∃δ2>0，使得
当x0-δ2< x< x0，即0<x0-x<δ2时，就有|f(x)-A|<ε；
∴对∀ε>0，δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，有
0<x-x0≤|x-x0|<δ≤δ1或0<x0-x≤|x-x0|<δ≤δ2，且
有|f(x)-A|<ε；∴ f(x)=A.
三、函数的极限
1.函数极限的概念
1：设f为定义在[a,+∞)上的函数，A为定数. 若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M时， 有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限， 记作： f(x)=A或f(x)→A(x→+∞).
几何意义如图： 正数ε越小时，一般M越大； f(x)的图象右边落在x=M与 y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里.
<ε.
∴只要取δ= ，则当0<1-x<δ，即1-δ<x<1时，
就有
<ε.∴
=0. 同理，
1-x2≤2(1+x),∀ε>0,当2(1+x)<ε2时，就有
<ε.
∴只要取δ= ，则当0<1+x<δ，即-1<x<-1+δ时，
数学分析之函数极限PPT课件
由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
定理 3.1´ 设f(x)在U（ x0）有定义，则
limf(x)A的充要条 : 件是
xx0
lif m (x ) lif m (x ) A .
x x 0
x x 0
注 试比较定理 3.1 与定理 3.1´.
这就证明了 lim x121. x 1 x1 22
例7
证明
limx2
xx0
x02.
分析 要使
x 2 x 0 2 x x 0 x x 0 ,
可以先限制 xx01, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
数学分析之函数极 限
教学目标：
1.理解函数极限的“ε-δ”定义及单侧极限概念； 2.掌握函数极限的基本性质、极限存在的条件及两个
重要极限； 3.理解无穷大量及无穷小量概念； 4.会求渐进线.
§1 函数极限概念
作为数列极限的推广,函数极限与数列极 限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就 是归结原理.
则称函数 f(x)当 x趋 于 时A 以 为极限. 记为
limf(x)A或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f( x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM 时
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性.
数学分析第三章极限与函数的连续性01
a (1 n )n 1 nn ... nn nn
因此
n
a
1
n
a n
对任意给定的 0 ，不妨设 n N 时，有 n a 1 a
1
，取
N
a
，则当
最后设
n 0 a 1 。这时存在
b 1
使
a
1 b
，因此
n a 1 n 1 1 1 n b 1 n b
2.定义中 必须具有任意性：这样才能保证 xn 与 a 的无限接近，
但为表明渐近过程的不同阶段， 又具有相对固定性。即 的任意性
是通过无限多个相对固定性表现出来的。 这就是任意与固定的辨证关系。
3. 的某个函数也可有同样作用。
4. 定义中，自然数 N 不是唯一的。若存在 N0 满足要求， 则比 N0 大的
b 1
这就证明了
lim
n
xn
yn
ab
iii)
由
lim
n
yn
b0
，根据推论3.2，存在 N1 ，当 n N1时，有
b yn 2 0 从而当 n N1 时，有
xn a bxn ayn b xn a a yn b
yn b
yn b
1 b2
“当 n 无限增大时，xn 无限接近于a ”是什么意思?
以数列
1
n
为例：当 n
1
无限增大时，
n
无限接近于0
只要n足够大
(充分大)
1
与0可以任意接近，要多近有多近
n
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注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 请大家
比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点
与不同点. 例1 证明 lim 1 0.
x x
证 任给 0, 取 M 1 ,当 x M 时,
f (x) 0 1 ,
x 所以(由定义1),
lim 1 0. x x
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1 2 x0 ,
所以 x2 x02 ( 1 2 x0 ) x x0 , 故只要
x x0
1 2
x0
.
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证
0,
取
min
1,
1
2
x0
,当 0
x
x0
时, 有
x2 x02 .
这就证明了
lim
x x0
x2
x02 .
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注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大,
x1 x 1
22
分析 对于任意正数 ,要找到 0, 当 0 | x 1 |
时, 使
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x1 2 1
1
1
x1 2 2
x1 2 2 2
x1 2
x1
2 2(
x1
2) 2 2(
x1
2 )2
.
()
因 x 1 x1 ,
2 2( x 1 2)2
只要 x 1 , () 式就能成立, 故取 即可.
§1 函数极限概念
在本章,我们将讨论函数极限的基本
概念和重要性质.作为数列极限的推广, 函数极限与数列极限之间有着密切的 联系,它们之间的纽带就是归结原理.
一、x趋于时的函数极限 二、x趋于x0 时的函数极限 三、单侧极限
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一、x趋于时的函数极限
设函数 f ( x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
x
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例如 函数 y arctan x, 当 x 趋于 时, arctan x 以 π为极限.
2
y
π 2
1 0.5
O
10 20 30 40 x
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定义1 设 f 为定义在 a, 上的一个函数 . A 为
定数, 若对于任意正数 0，存在 M( a)，使得
当x M 时,
f (x) A ,
则称函数 f ( x) 当 x 趋于 时以 A 为极限. 记为
lim f ( x) A 或者 f ( x) A ( x ).
x
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例2 证明 lim arctan x .
x
2
证 任给 0 ( ), 取 M tan( ).
2
2
因为 arctan x 严格增，当 x M 时，
f ( x) π π arctan x 22
π (π ).
22
这就是说 lim arctan x π .
x
2
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lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
x
2 x
2
则由定理 3.1，lim arctan x 不存在. x
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二、x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有定义. 下面我们直接给出函数 f (x)当 x x0 时以常数 A 为极限的定义. 定义4 设 f ( x) 在点 x0 的某空心邻域U ( x) 内有
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
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x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
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例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
当 x ln 时
ex 0 ex .
这就是说
lim ex 0.
x
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例4
求证
lim
x
1
1 x
2
0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 x M 时, 有
1 1 x2
0
1 x2
,
所以结论成立.
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从定义1、2 、3 不难得到:
定理 3.1 f ( x) 定义在 的一个邻域内，则
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
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证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M 0，当
x M时
f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限，记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,
lim f ( x) A的几何意义
x
y
A AA①任Fra bibliotek给定0
④有 A f (x) A
Oa
M
②存在 M a
x
x
③ 使当 x M 时
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lim f ( x) A的几何意义
x
y
A A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 M a
④有 A f (x) A
x
x
③ 使当 x M 时
定义，A是一个常数. 如果对于任意正数 , 存在正 数 , 当 x U ( x, ) U ( x0 ) 时,
f (x) A ,
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则称 f ( x) 当 x x0 时以 A 为极限 . 记为
或者
lim f ( x) A
x x0
f ( x) A ( x x0 ).
例5 证明 lim x 1 2 1 .
定义2 设 f ( x)定义在 ,b 上, A是一个常数.
若对于任意 0 , 存在 M 0, 当 x M ( b) 时 f (x) A ,
则称 f ( x) 当 x 时以 A 为极限, 记为 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x ).
x
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定义3 设 f ( x)定义在的某个邻域 U () 内, A