华东师大数学分析课件
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12-3——华东师范大学数学分析课件PPT
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论
若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
数学分析 第十二章 数项级数
Sn
S,
所以对任何正整数 m,都有 m
S,
即级数(7)收敛, 且其和 S.
由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S , 从而得到 S. 这就证明了对正项级数定
理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
um1 um2 umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
数学分析 第十二章Байду номын сангаас数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
例1 级数
n 2
n1 n!
原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
21-9——华东师范大学数学分析课件PPT
I
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
第3步： D J(u,v)dudv.
第4步： D J (u,v)dudv.
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第1步的证明 设(u0,v0 ) int , 0,取正数
J u0,v0 满足1 2 J u0,v0 J u0,v0 .
v
dudv
4n
,
由定理16.2，存在u0,v0 In int . 于是 0,
J u0,v0 I
J u,vdudv I .
I
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
第2步的证明 若有正方形I int 使
T I J u,vdudv 0,
I
将I等分为4个小正方形，则4个小正方形中必有一个
a xu,v x u,v b yu,v y u,v
a b a b .
2 2M 2 2M 2M 2M 2
同理
v1
v
2
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
设 I1 是与 I同中心的正方形，边长是1 ，从而
(u1,v1) I .于是
u1 v1
u v
,
由此
u1 v1
u v
a c
b d
x y
u1 u1
, ,
v1 v1
x y
u, u,
v v
.
数学分析 第二十一章 重积分
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*§9 在一般条件下重积分变量变换公式的证明
于是
u1 u a x u1,v1 x u,v b y u1,v1 y u,v a xu,v xu,v b yu,v yu,v
华东师大数学分析课件01
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二、导函数
如果函数 f 在区间 I 上的每一点都可导 (对于区间 对于区间 端点考虑相应的单侧导数, 如左端点考虑右导数) 端点考虑相应的单侧导数 如左端点考虑右导数 , 上的可导函数. 此时, 则称 f 为区间 I 上的可导函数 此时 对 I 上的任 与之对应, 意一点 x 都有 f 的一个导数 f′(x) 与之对应, 这就
不存在极限, 处不可导. 不存在极限,所以 f 在 x = 0 处不可导
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有限增量公式
可导， 设 f (x) 在点 x0 可导，则 ∆y ε = f ′( x0 ) − ∆x 是当 ∆ x → 0 时的无穷小量，于是 ε ∆ x = o(∆ x). 时的无穷小量 无穷小量， ∆
这样, 这样 函数 f (x) 的增量可以写成
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定义1 定义
的某邻域内有定 设函数 y =f (x) 在点 x0 的某邻域内有定
义，如果极限
f ( x ) − f ( x0 ) lim (3) x → x0 x − x0 存在, 可导, 存在, 则称函数 f 在点 x0 可导, 该极限称为 f 在
x0 的导数，记作 f ′( x0 ) . 导数， 如果令 ∆x = x – x0, ∆y = f (x0 +∆x) –f (x0), 导数就 ∆
∆ y = f ′( x0 )∆ x + o( ∆ x ).
仍然成立. 式对 ∆ x = 0 仍然成立 根据有限增量公式即可得到下面定理. 根据有限增量公式即可得到下面定理
(5)
的有限增量公式, (5)式称为 f (x) 在点 x0 的有限增量公式, 这个公 )
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定理5.1 如果函数 f 在点 x0 可导, 则 f 在点 x0 可导, 定理 连续. 连续. 值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可 导的必要条件. 如例3、 导的必要条件 如例 、例4 中的函数均在 x = 0 处连续，却不可导 处连续，却不可导.
11-2——华东师范大学数学分析课件PPT
f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
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F (u1) F (u2 ) ,
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无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
7-1——华东师范大学数学分析课件PPT
一、区间套定理 二、聚点定理与有限覆盖
定理 三、实数完备性基本定 理
的等价性
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
定义1
设闭区间列 {[an, bn]} 满足如下条件 : 1. [an , bn ] [an1, bn1] , n 1, 2, ,
x
证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 有上界
b1. 所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在.
数学分析 第七章 实数的完备性
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
设
lim
n
an
=
,
从而由定义1 的条件2 可得
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§1 关于实数集完备性的基本定理
区间套定理
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
推论
设 {[an ,bn]} 是一个区间套, [an , bn ], n 1, 2, . 则任给 > 0, 存在 N, 当 n N 时,
[an ,bn ] U ( ; ).
证 由区间套定理的证明可得:
聚点定理与有限覆盖定理
实数完备性基本 定理的等价性
取 [a2, b2] [a1,b1]
aN2
1 22
,
aN2
1 22
.
显然有
1
[a1 ,
b1] [a2 ,
b2 ],
b2 a2
, 2
并且当 n N2 时, an [a2 ,b2 ]. ......
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
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§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
16-3——华东师范大学数学分析课件PPT
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续函数的性质
又若把上述例3 的函数改为
f
( x,
y)
xy
x2 m
y
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在 y m x
§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
有界闭域上连续 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 1， xy 0,
f ( x, y) 0， xy 0 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
数学分析 第十六章 多元函数的极限与连续
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§3 二元函数的连续性 二元函数的连续性概念
由上述定义知道: 若P0 是 D 的孤立点, 则 P0 必定是
f 的连续点. 若P0 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
(2)
PD
如果 P0 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元
函数的对应情形相同 ), 则称 P0 是 f 的不连续点 (或
xy
x2 x2
y2 y2
，
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由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数e ,
存在 > 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
f ( x) f ( x0 ) e .
(2)
注意到(2)式在 x x0 时恒成立, 因此0 x x0 可改写为 x x0 ，这样就得到函数 f (x) 在点x0 连续的e 定义.
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
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则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
注意:上述极限式决不能写成
lim xD( x) lim x lim D( x) 0.
x0
x0 x0
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由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若 lim f ( x) A, x x0
lim f ( x) B
x x0
都存在, 但 A B, 则称点 x0 为 f 的一个为第一类间断
点.
注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是 否有定义无关.
O
x
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又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
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例1证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄里克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
lim f ( x) lim xD( x) 0 f (0).
x0
x0
故 f ( x) 在 x 0 处连续.
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(i) f 在点 x0 无定义或者在点 x0 的极限不存在; (ii) f 在点 x0 有定义且极限存在, 但极限值却不 等于f (x0).
根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：
1. 可去间断点: 若 lim f ( x) A 存在, x x0
而 f 在点x0
无定义, 或者有定义但 f ( x0 ) A, 则称 x0 是 f 的
lim f ( x) lim x 0 f (0),
x0
x0
所以 f ( x)在x 0处左连续.
又因为
yx o
yxa a0
x
y xa a0
lim f ( x) lim ( x a) a,
x0
x0
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所以,当 a 0时 , f ( x)在 x 0 处不是右连续的； 当 a 0 时，在 x 0 处是右连续的. 综上所述,当 a 0 时, f ( x) 在 x 0 处连续； 当 a 0 时，在 x 0 处不连续.
§1 连续函数的概念
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
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二、间断点的分类
定义4 设函数 f 在 x0 的某(空心)邻域 (U o( x0 ))内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 或不连续点. 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:
很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数
的定义可得：
定理4.1 函数 f ( x) 在点 x0 连续的充要条件是：f 在 点 x0 既是左连续，又是右连续.
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例2 讨论函数
x,
f
(
x)
x
a,
解 因为
x0 x 0 在 x 0处的连续性.
y
y xa a0
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定义2 设 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 .如果
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻画函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
3. 若 f 在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在, 则称点 x0 是 f 的一个第二类间断点 .
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例3
试证函数
f
(x)
1
x0 在 x 0处不连续，
存在 > 0, 当 0 | x x0 | 时, 有
f ( x) f ( x0 ) e .
(2)
注意到(2)式在 x x0 时恒成立, 因此0 x x0 可改写为 x x0 ，这样就得到函数 f (x) 在点x0 连续的e 定义.
y y y0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ).
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则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
注意:上述极限式决不能写成
lim xD( x) lim x lim D( x) 0.
x0
x0 x0
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由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
一个可去间断点.
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2. 跳跃间断点：若 lim f ( x) A, x x0
lim f ( x) B
x x0
都存在, 但 A B, 则称点 x0 为 f 的一个为第一类间断
点.
注 x0 是 f (x) 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是 否有定义无关.
O
x
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又如：函数
x,
f
(
x
)
a,
x0 (a 0)
x0
在 x 0 处不连续, 这是因为 lim f ( x) 0 f (0). x0 y
a
O
x
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函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 limsgn x 不存在. x0
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例1证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄里克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
lim f ( x) lim xD( x) 0 f (0).
x0
x0
故 f ( x) 在 x 0 处连续.
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(i) f 在点 x0 无定义或者在点 x0 的极限不存在; (ii) f 在点 x0 有定义且极限存在, 但极限值却不 等于f (x0).
根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：
1. 可去间断点: 若 lim f ( x) A 存在, x x0
而 f 在点x0
无定义, 或者有定义但 f ( x0 ) A, 则称 x0 是 f 的
lim f ( x) lim x 0 f (0),
x0
x0
所以 f ( x)在x 0处左连续.
又因为
yx o
yxa a0
x
y xa a0
lim f ( x) lim ( x a) a,
x0
x0
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所以,当 a 0时 , f ( x)在 x 0 处不是右连续的； 当 a 0 时，在 x 0 处是右连续的. 综上所述,当 a 0 时, f ( x) 在 x 0 处连续； 当 a 0 时，在 x 0 处不连续.
§1 连续函数的概念
一、函数在一点的连续性 二、间断点的分类 三、区间上的连续函数
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一、函数在一点的连续性
定义1 设函数 f ( x)在点 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
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二、间断点的分类
定义4 设函数 f 在 x0 的某(空心)邻域 (U o( x0 ))内有 定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却 在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点 或不连续点. 由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在 点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:
很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数
的定义可得：
定理4.1 函数 f ( x) 在点 x0 连续的充要条件是：f 在 点 x0 既是左连续，又是右连续.
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例2 讨论函数
x,
f
(
x)
x
a,
解 因为
x0 x 0 在 x 0处的连续性.
y
y xa a0
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定义2 设 f ( x) 在点 x0 的某个邻域内有定义 .如果
对任意的e 0, 存在 0,当 x x0 , 时 f ( x) f ( x0 ) e ,
则称 f ( x) 在点 x0 连续. 为了更好地刻画函数在点x0的连续性, 下面引出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x0,
类似于左、右极限，我们引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
3. 若 f 在点 x0 的左、右极限至少有一个不存在, 则称点 x0 是 f 的一个第二类间断点 .
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例3
试证函数
f
(x)
1
x0 在 x 0处不连续，