华东师大数学分析答案

第四章

函数的连续性

第一节 连续性概念

1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：

（1）

x x f 1

)(=

； （2）x x f =)(。 证：（1）x

x f 1

)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有

001

1x x x x x x -=

- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有

02

01

1x x x x x x x x ---≤-

对任意给的正数ε，取,010

2

0>+=x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时，

有 ε<-=

-0

011)()(x x x f x f 可见

)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。

(2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故

)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。

2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x

x 1

+

； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ；

（4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ；

（6）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+∞

<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11

sin )1(1

7,7

,71

解： （1）)(x f 在0=x 间断，由于)1

(lim x

x x +∞

→不存在，故0=x 是)(x f 的第二类间断点。

（2）)(x f 在0=x 间断，由于 1sin lim )(lim 0

==+

+→→x

x

x f x x ， 1sin lim )(lim 0

-=-=-

-→→x

x

x f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点。 （3）)(x f 在πn x =间断，),2,1,0( ±±=n 由于

0]cos [lim )(lim ==++→→x x f n x n x π

π

， 0]cos [lim )(lim ==--→→x x f n x n x π

π

故 πn x = 是)(x f 的可去间断点),2,1,0( ±±=n 。 （4）)(x f 在0=x 间断，由于 1sgn lim )(lim 0

==++→→x x f x x ，

1sgn lim )(lim 0

0==--

→→x x f x x ，故0=x 是)(x f 的可去间断点。

（5）)(x f 在2

2π

π±=k x ),2,1,0( ±±=k 间断，由于

1)(lim 2

1

4-=+

+→

x f k x π

，

1)(lim

2

1

4=-

+→

x f k x π，

1)(lim 2

1

4-=+

-→

x f k x π，

1)(lim 2

1

4=+

-→

x f k x π

故 2

2π

π±

=k x ),2,1,0( ±±=k 是)(x f 的跳跃间断点。

（6）)(x f 在0≠x 的点间断且若00≠x ，则)(lim 0

x f x x → 不存在，故0≠x 是)(x f 的第二类间断点。

（7）)(x f 在7-=x 及

1=x 间断，且7)(lim 7

-=+-→x f x ，)(lim 7

x f x --→不存在，故7-=x 是

)(x f 的第二类间断点。又因 01

1

sin

)1(lim )(lim 1

1

=--=++→→x x x f x x ，1)(lim 1=-→x f x ，

故1=x 是)(x f 的跳跃间断点。

3．延拓下列函数，使在 ),(+∞-∞上连续：

（1）=)(x f 283--x x ； （2）=)(x f 2

cos 3x x

-；

（3）=)(x f x

x 1cos 。

解：（1）当2-=x 时，)(x f 没有定义，

而2lim →x 283--x x =2

lim →x )42(2

++x x =12

于是函数 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=≠--=2,122,28

)(3x x x x x F 是)(x f 的延拓，且在 ),(+∞-∞上连续。

（2）当0=x 时，)(x f 没有定义，而0

lim →x )(x f =0

lim

→x 21

cos 12

=-x

x ，于是 函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=0,2

10,cos 1)(2

x x x x

x F 是)(x f 的延拓，且在 ),(+∞-∞上连续。

（3）当0=x 时，)(x f 没有定义，而0

lim →x )(x f =0

lim →x 01

cos

=x

x ，于是 函数 ⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0,

00,1cos )(x x x

x x F 是)(x f 的延拓，且在 ),(+∞-∞上连续。 4．若f 在0x 点连续，则f ，2

f 是否也在0x 连续？又若f 或2

f 在I 上连续，那么f 在

I 上是否连续？

解：（1）若f 在0x 点连续，则f 与2

f 在0x 连续。

（i ）f 在0x 点连续。事实上，由于f 在0x 点连续，从而对任给正数ε，存在正数δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，而 ≤-)()(0x f x f ε<-)()(0x f x f

故当 δ<-0x x 时，有

ε<-)()(0x f x f ，因此f 在0x 点连续。

（ii ）2

f 在0x 点连续。事实上，由于f 在0x 点连续，从而由局部有界性知：存在0>M 及

01>δ使当10δ<-x x 时， 有 2

)(M

x f <

， （1） 有连续性定义知：对任给正数ε，存在正数2δ，当20δ<-x x 有 M

x f x f ε

<

-)()(0 （2）

先取},m in{21δδδ= ，则当δ<-0x x ，上（1）与（2）式同时成立，因此

=-)()(02

2

x f x f )()(0x f x f -)()(0x f x f +⋅

≤)()(0x f x f -))()((0x f x f +ε<