华东师范大学2004数学分析试题

华东师范大学2004数学分析试题
华东师范大学2004数学分析
一、（30分）计算题。

1、求
2
1
20)2
(cos lim x x x x -→
2、若)),
sin(arctan 2ln x x e y x
+=-求'
y .
3、求
⎰--dx
x xe x
2)1(.
4、求幂级数∑∞
=1
n n
nx 的和函数)(x f . 5、
L
为过
)
0,0(O 和
)0,2
(π
A 的曲线
)
0(sin >=a x a y ,求
⎰+++L
dy y dx y
x .
)2()(3
xdx
a x da dy x a y cos sin ,sin ===
6、求曲面积分⎰⎰++S
zdxdy dydz z x )2(,其中)
10(,22
≤≤+=z y x
z ,
取上侧.
.
二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）
1、若},,2,1,{ =n x n
是互不相等的非无穷大数列，则}
{n
x 至少存在一个聚点).
,(0
+∞-∞∈x
2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连
续. 3、若
)
(x f ,
)
(x g 在]
1,0[上可积，则
∑⎰=∞→=-n i n dx
x g x f n i g n i f n 1
10)()()1()(1lim .
4、若∑∞=1n n
a 收敛，则∑∞
=1
2n n
a 收敛.
5、若在
2
R 上定义的函数
)
,(y x f 存在偏导数
),(y x f x ,)
,(y x f y 且),(y x f
x
,
)
,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在
(0,0)上可微.
6、),(y x f 在2
R 上连续,}
)
()(|),{(),(22
2
r y y x x y x y x D r
≤-+-=
若⎰⎰=>∀∀r
D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0
0 则.),(,0),(2
R y x y x f ∈=
三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞
→
求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。

四、（15分）求证不等式:].
1,0[,122∈+≥x x x
五、设)
(x f
n
,
,2,1=n 在],[b a 上连续,且)
(x f
n
在],[b a 上一致
收敛于
)
(x f .若
]
,[b a x ∈∀,
)(>x f .求证:
,
0,>∃δN 使
],[b a x ∈∀,
N
n >,.
)(δ>x f
n
六、（15分）设}{n
a 满足（1）;
,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k
（2）级数∑∞
=1
n n a 收敛.
求证:0
lim =∞
→n
n na
.
七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证：
x
x f )(在),1[+∞上有界.
八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3
R 有连续偏导数，而且对以任意点)
,(00,
0z y x 为中心，以任意正数r
为半径的上半球面,
,)()()(:02202020z z r z z y y x x S
r
≥=-+-+-
恒有⎰⎰r
S .0),,(),,(),,(=++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P
求证:
.
0),,(),,(,0),,(),,,(=+=∀z y x Q z y x P z y x R z y x y x。