数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编

数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。

这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是aaxx =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。

证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。

这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。

因为三角形两边的差 大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba之间。

证明 因为1||1-=-<+-=-++bab b a x b b a x b x a ，1||)()(-=-<+-=-++bab b a x b b x a b b a x b x a 所以x b x a ++介于1与ba之间。

8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数。

证明 （反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得mnp =，其中m 、n 互素。

于是22n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =。

于是222p k p m =，p k m 22=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p 。

这与“m 、n 互素”矛盾。

所以p 是无理数。

P.9 习题2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S 无上界；若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界。

（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界） （2）S 无界。

若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界。

（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）3．试证明数集},2|{2R x x y y S ∈-==有上界而无下界。

证明 S x ∈∀，有222≤-=x y ，故2是S 的一个上界。

而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=12200，但M y -<0。

故数集S 无下界。

4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）},2|{2R x x x S ∈<= 解 2sup =S ，2inf -=S 。

下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）。

S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界。

2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S 。

（2）},!|{+∈==N n n x x S解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup 。

1inf =S 。

S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界。

所以 1inf =S 。

(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：1sup =S 。

0inf =S7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在。

B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=。

由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界。

B A sup sup +<∀α，（要证α不是数集B A +的上界），A B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α。

于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α。

从而α>+=000y x z ，且B A z +∈0。

因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=。

由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是B A B A sup sup )sup(+≤+。

①由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2sup 0ε->A x ，B y ∈∃0，使得2sup 0ε->B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得B A B A sup sup )sup(+≥+ ②由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+ 类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+P.15 习题9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象 解 )arcsin(sin x y =是以2π为周期，定义域为),(∞+-∞，值域为]2,2[ππ-的分段线性函数，其图象如图。

11．试问||x y =是初等函数吗？ 解 因为2||x x y ==，可看成是两个初等函数u y =与2x u =的复合，所以||x y =是初等函数。

12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：（1）当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x （2）当0<x 时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111证明 （1）因为 1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，所以当0>x 时，有x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡111，从而有111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 。

（2）当0<x 时，在不等式1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x 中同时乘以x ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x 111，从而得到所需要的不等式x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111。

P.20 习题 1．证明1)(2+=x xx f 是R 上的有界函数。

证明 因为对R 中的任何实数x 有21212=≤+x x x x )||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界。

2．（1）叙述无界函数的定义； （2）证明21)(x x f =为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数。

解 （1）设函数D x x f ∈)(，若对任何0>M ，都存在D x ∈0，使得M x f >|)(|0，则称 f 是D 上的无界函数。

（2）分析：0>∀M ，要找)1,0(0∈x ，使得M x >201。

为此只需Mx 10<。

证明 0>∀M ，取110+=M x ，则)1,0(0∈x ，且M M x >+=1120，所以f 为区间（0，1）上的无界函数。

（3）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=0101)(x x xx f 是闭区间 [0，1] 上的无界函数。

10．讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ，x x D 0,1)(，的有界性，单调性与周期性。

解 函数)(x D 是有界函数：1|)(|≤x D 。

不是单调函数。

)(x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期。

证明如下：设 r 是任一正有理数。

若 x 是有理数，则r x ±是有理数，于是)(1)(x D r x D ==±；若 x 是无理数，则r x ±是无理数，于是)(0)(x D r x D ==±。

任何无理数都不是)(x D 的周期。