数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
《数学分析华师大》课件
数学分析是一门重要的数学学科，涵盖了诸多内容，从函数性质到微积分应 用等。本课件将带您深入了解数学分析的各个方面。
导言
学科介绍
数学分析是研究数学对象的性质和变化规律的一门学科。
重要性
它为其他数学学科提供了理论基础，并在科学研究和实际应用中发挥着关键作用。
应用领域
数学分析在物理学、工程学、经济学等众多领域有广泛的应用。
了解连续函数的定义和性质，探索连
续函数的局部性质和级数定义。
3
间断点
研究间断点的各种类型，包括可去间
复合函数
4
断和跳跃间断。
学习复合函数的概念和性质，掌握复 合函数的求导和求极限的方法。
导数与应用
1 导数的定义
深入研究导数的定义和 性质，掌握导数的计算 方法和应用。
2 最值与极值
3 曲线的变化
研究函数的最大值和最 小值，探索极值的判定 条件和优化问题的解法。
函数定义、性质和图像， 理解函数的各种特性和变换。
研究二维和三维曲线曲面的性 质，包括弧长、曲率和曲面积 分。
指数函数
探索指数函数的性质和应用， 了解指数增长和衰减的规律。
极限与连续性
1
极限的概念
深入研究极限的定义和性质，掌握极
连续函数
2
限运算和极限存在的条件。
极坐标和指数形式
研究极坐标和指数形式的复数 表示，深入理解复数的乘方和 开方。
微分方程
1 常微分方程
学习常微分方程的基本概念和解法，掌握常微分方程在实际问题中的应用。
2 偏微分方程
了解偏微分方程的基本概念和分类，研究常见偏微分方程的解法。
3 数值方法
探索数值方法在微分方程求解中的应用，包括欧拉方法和龙格-库塔方法。
§3函数概念数学分析(华师大四版)课件高教社ppt华东师大教材配套.ppt
初等 函数
定义1
D与M是R中非空数集,若有对应法则 f , 使 D内每一个数 x , 都有唯一的一个数 yM 与它相 对应, 则称 f 是定义在 D上的函数,记作
f :D M, x y.
D 称为 f 的定义域;
f (D){ y y f ( x), x D} 称为 f 的值域;
数学分析 第一章 实数集与函数
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§3 函 数 概 念
反函数
函数的定义
函数的四 则运算
复合 函数
反函 数
初等 函数
若函数 f 的定义域为 Df , 满足 : y f (D), 惟一 x D, 使 f ( x) y,
则存在函数 f 1, D f 1 f (D) 且 y f (D), f 1( y) x ,其中 x 是使 f ( x) y 的惟一的 x D. 注 反函数表示式 f 1( y) x 中, y 是自变量, x 是
且 g( x) 0}, x Df , g
f g
(
x)
f (x) g( x)
.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§3 函 数 概 念
函数的定义
复合函数
函数的四 则运算
复合 函数
反函 数
初等 函数
设函数 f 的定义域为D f ,函数 g 的定义域为Dg , 复合函数 f g 的定义域为
表法和图象法. 解析法表示函数时, 若没有特别指
明其定义域, 则一般约定其定义域为使该解析式
有意义的自变量的全体(即存在域).
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.4函数的性质ppt
图(1)
12、设定义在[a,+∞)上的函数f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义[a, + ∞)上的函数： m(x)= f(y)，M(x)= f(y).试讨论它们的图像， (1)f(x)=cosx, x∈[0,+∞)；(2)f(x)=x2，x∈[-1,+∞). (2)当x∈[-1,0]时,m(x)=x2；当x∈[0, + ∞)时,m(x)≡0; 当x∈[-1,1]时，M(x)≡1；当x∈[1, + ∞)时，M(x)= x2; ∴m(x)与M(x)的图象如图(2).
(3)f(x)=
=
；
(1)(2)中已证在[-a,a]上, F(x)是偶函数, G(x)是奇函数；
∴在[-a,a]上, 是偶函数； 是奇函数. 得证！
5、设f为定义在D上的函数。若存在σ>0，使得 对一切x∈D有f(x±σ)=f(x)，则称f为周期函数， σ为f的一个周期。 在所有周期中最小的周期，称为基本周期， 或简单称为周期。 常量函数没有基本周期。
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1实数ppt
(3)
.
(3)两边平方得：x-1+2x-1-2
≥3x-2；
化简得-
≥0
∴(x-1)(2x-1)=0；解得x=1或x=1/2.
经检验都不符合原不等式，∴原不等式无解。
3、设a、b∈R， 证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a=b. 证：设a>b，令ε=a-b>0，则|a-b|=ε，与题设不符， 同理可证a<b时，与题设不符，∴a=b.
(3)
.
(2)∵0≤|x-1|<|x-3|，∴
<1；即-1<
<1.
当x-3>0时，-x+3<x-1<x-3；无解.
当x-3<0时，-x+3>x-1>x-3；解得x<2.
∴原不等式的解为x<2 x<2
02
2、求下列不等式的解，并在数轴上表示出来：
(1)x(x2-1)>0；(2)|x-1|<|x-3|；
ak=bk(k=1,2,…j)而aj+1>bj+1， 则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.
2、设x=a0.a1a2…an…为非负实数。 称有理数xn=a0.a1a2…an为实数x的n位不足近似， 而有理数 =xn+10-n称为实数x的n位过剩近似. 对于负实数x= -a0.a1a2…an…， 其n位不足近似与过剩近似分别规定为 xn=a0.a1a2…an-10-n与 =a0.a1a2…an.
一、实数集与函数
1. 实数
1、(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数 x=a0.a1a2…an…，y=b0.b1b2…bn…， 其中a0，b0为非负整数，ak，bk（k=1,2,…）为整数， 0≤ak≤9，0≤bk≤9。 若有ak=bk，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y； 若a0>b0或存在非负整数j，使得
华东师范大学数学系《数学分析》讲义实数集与函数【圣才出品】
第1章实数集与函数1.1本章要点详解本章要点■实数■数集•确界原理■函数的概念■复合函数与反函数重难点导学一、实数1．实数的表示若规定：012012..(1)999n n a a a a a a a a =- 则有限十进小数都能表示成无限循环小数．2．两个实数的大小关系给定两个非负实数其中a 0，b 0为非负整数，a k ，b k （k ＝1，2…）为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9．若有则称x 与y 相等，记为x ＝y ；若a 0＞b 0或存在非负整数l ，使得则称x 大于y 或y 小于x ．分别记为x ＞y 或y ＜x ．对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有－x ＝－y 与－x ＞－y ，则分别称x ＝y 与x ＜y （或y ＞x ）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．3．实数的性质（1）实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．（2）实数集是有序的，即任意两实数a ，b 必满足下述三个关系之一：a ＜b ，a ＝b ，a ＞b ．（3）实数的大小关系具有传递性，即若a ＞b ，b ＞c ，则有a ＞c ．（4）实数具有阿基米德性，即对任何a ，b ∈R ，若b ＞a ＞0，则存在正整数n ，使得na ＞b ．（5）实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有理数，也有无理数．（6）实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点都唯一地代表一个实数．4．绝对值与不等式（1）绝对值①定义||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩②性质a ．|a |＝|－a |≥0；当且仅当a ＝0时有|a |＝0；b ．－|a |≤a ≤|a |；c ．|a |＜h ⇔－h ＜a ＜h ；|a |≤h ⇔－h ≤a ≤h （h ＞0）；d ．三角形不等式：；f ．；g ．．（2）几个重要不等式①222a b ab +≥， sin 1x ≤， sin x x ≤；②均值不等式：12,,,n a a a +∀∈R ，令1211() n n i ii a a a M a a n n =+++==∑ 1121()nnn i n i i G a a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏ 12111()111111i n nni i iinn H a a a a n a a =====+++∑∑ 有平均值不等式() () ()i i i H a G a M a ≤≤等号当且仅当12n a a a === 时成立．③Bernoulli 不等式1x ∀>-，有不等式(1)1, n x nx n +≥+∈N ，且当0x ≠时，(1)1nx nx +>+．二、数集•确界原理1．区间与邻域（1）区间设a,b∈R，且a＜b．称数集{x|a＜x＜b}为开区间，记作（a，b）；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]；数集{x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b}都为半开半闭区间，分别记作[a，b）和（a，b]，以上这几类区间统称为有限区间．满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a，＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作“正无穷大”．记其中－∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．（2）邻域设a∈R，δ＞0，满足绝对值不等式|x－a|＜δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），或简单地写作U（a）．即有U（a；δ）＝{x||x－a|＜δ}＝（a－δ，a＋δ）点a的空心δ邻域定义为U0（a；δ）＝{x|0＜|x－a|＜δ}2．上确界与下确界（1）相关概念①设S是R中的一个数集．若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的个上界（下界）．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．②设S是R中的一个数集．若数η满足a．对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；b．对任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即又是S的最小上界．则称数η为数集S的上确界，记作η＝sup S③设S是R中的一个数集．若数ξ满足a．对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；b．对任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界．则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ＝inf S④上确界与下确界统称为确界．（2）重要定理①确界原理：设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界；②推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界．三、函数的概念1．函数的定义给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数y ∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y称为f在点x的函数值，常记为f（x）．2．函数的表示法主要有三种：表格法、图像法、解析法（公式法）．3．几个特殊的函数（1）常值函数y =c其定义域为D =(－∞，＋∞),其值域为R f ={c }．（2）绝对值函数0||0xx y x x x ≥⎧⎪==⎨⎪-<⎩其定义域为D ＝(－∞,＋∞),其值域为R f =[0,＋∞)．（3）符号函数10sgn 0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩其定义域为D ＝(－∞，＋∞),其值域为R f ={－1，0，1}．（4）取整函数：y=[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数；（5）“非负小数部分”函数[]y x x =-，(,)x ∈-∞+∞它的定义域是(),D =-∞+∞，值域是[)0,1f R =．（6）狄利克雷函数1()0x Qy D x x Q∈⎧==⎨∉⎩其定义域为D ＝(－∞，＋∞)，其值域为f R ={0，1}．（7）取最值函数。
华东师范大学数学分析第四版
? ? 取 ?n ? min 1/ n, xn?1 ? ? , ? xn ? U o(? ; ?n ) I S;
LL .
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这样就得到一列 {xn }? S.由 ?n 的取法, {xn }两两
互异,并且
0?
??xn来自? ?n?1, n
由此
lim
n ??
xn
? ?.
定义2?? 定义2 由极限的定义可知这是显然的 .
? ? [an , bn ], n ? 1, 2, L ,
或者
?
? {? } ? [an , bn ].
n?1
? ?
??? ???
?? ?????
? ? ?
??????????????????
???????
? ??
????????
????????
?? ??????
?????
?? ????
???
????
(i) [an , bn ] ? [a n?1 , bn?1 ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
? an
?
M 2n?1
?
0;
(iii) 每个闭区间 [an, bn] 均含S 的无限多个点 .
由区间套定理 , 存在惟一的 ? ? [an , bn ], n ? 1, 2, ? .
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由定理 1的推论 : 对于任意的正数 ? ,存在 N , 使
定理7.2 (魏尔斯特拉斯 Weierstrass 聚点定理 )
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我们再次使用区间套定理来证明聚点定理 , 请务必 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii).
证 因为S为有界点集 , 所以存在正数 M, 使
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.3函数概念ppt
3、由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算 所得到的函数，统称为初等函数。
7、试问y=|x|是初等函数吗？ 解：y=|x|= = ; u=x2; 可见 y=|x|是由基本初等函数有限次复合而成的函数， ∴y=|x|是初等函数.
8、确定下列初等函数的存在域： (1)y=sin(sinx)；(2)y=lg(lgx)； (3)y=arcsin(lg )；(4)y=lg(arcsin ).
9、下列函数是由哪些基本初等函数复合而成： (1)y=(1+x)20; (2)y=(arcsinx2)2;
(3)y=lg(1+
); (4)y=
.
解：(1)y=u20, u=v1+v2, v1=1, v2=x； (2)y=u2, u=arcsinv, v=x2； (3)y=lgu, u=(u1+u2), u1=1, u2= , v=u1+w, w=x2； (4)y=, u=v2, v=sinx.
或f(x)=xsgn x
狄利克雷函数：D(x)= 定义在[0,1]上的黎曼函数： R(x)=
1、试作下列函数的图象： (1)y=x2+1；(2)y=(x+1)2； (3)y=1-(x+1)2；(4)y=sgn(sinx)；(5)y= 解：如图：
(1)
(2)
(3)
1、试作下列函数的图象： (1)y=x2+1；(2)y=(x+1)2； (3)y=1-(x+1)2；(4)y=sgn(sinx)；(5)y= 解：如图：
注： 两个相同的函数对应法则相同，定义域也相同， 但对应法则的表达形式可能不同，如： f(x)=|x|，x∈R和f(x)= ，x∈R.
函数的三种表示法： 即解析法(或称公式法)、列表法和图象法。 在不同的定义域用不同公式表示的函数称为分段函数。
... 确界原理 数学分析(华师大 四版)课件 高教社ppt .
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<o点的空心邻域；(;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域；(;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域；(;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域；(;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；.；max :S S 数集的最大值min :S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取L = 1,{2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1例22+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故S 有下界.因此S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.注4(ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界S ηη界,条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明L .0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如(0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4.inf sup B A ≤且证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤y . 而inf B 是最大的下界, 因此sup A ≤inf B.一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是B 的一个下界,例5,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有,sup S x ≤于是.sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中,S x ∈必有,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在,0S x ∈使0sup ,x S ε'>-因此0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界..sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是0001,.y B y x ε=∈<且因此inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集S 有上界，则S 的所有上界组成的集合是否3. 在上确界的定义中，00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
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前页 后页 Βιβλιοθήκη 回若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn ,
(2) | a | a | a | .
(3) | a | h h a h, | a | h h a h.
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(4) | a | | b | | a b | | a | | b | (三角形不等式). (5) | ab | | a | | b | . (6) a | a | (b 0).
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n 1之间，则 a0 n. 把(n, n 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 an .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k 1 π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 0，a b ，则 a b.
证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
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六、实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
R : 实数集
N :自然数集(包含0)
R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
Z : 整数集
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一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
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例1
若
b
0,
则
n N+ ,
使得
1 n
b.
证 令a 1,由阿基米德性, n N+ , 使 nb 1，即
1 b. n
阿基米德 ( Archimedes, 287B.C.－212B.C. , 希腊 )
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五、实数的稠密性
1. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间, 必有另一个 实数 c. 例如 c a b . 2
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三、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
(1) x, y R, R+ , 若 x y, 则 x y.
(2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
是正规的十进制小数表示, 规定 a b a0 b0 或 n N+ , 使
a0 .a1a2 an b0 .b1b2 bn , 而an1 bn1. x, y R , 规定 x y x y. x R+ , y R , 规定 y 0 x.
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实数的大小关系有以下性质: (1) x y, x y, x y. 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立. (2) 若 x y, y z, 则 x z. 即大小关系具有传递性.
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反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
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七、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
b |b| 3. 三角形不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |的证明：
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
则 x y an bn , n 0, 1, 2, .
用无限小数表示实数，称为正规表示.
3. Q { x |
x
m ,其中 n
m,n Z,n 0}表示有理数集.
x Q, x 可用循环十进制小数表示，
如
1 7
0.1 42857 .
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一般,
若x
m, n
则 x a0 .a1a2 akak1ak p ,
§1 实数
数学分析研究的是实 数集上定义 的函数, 因此我们首先要掌握实数的 基本概念与性质.
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一、实数的十进制小数表示 二、实数的大小 三、实数的四则运算 四、实数的阿基米德性 五、实数的稠密性 六、实数与数轴上的点一一对应 七、实数的绝对值与三角形不等式
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记号与术语
2. 任意两个不相等的实数 a 与 b 之间，既有有理 数又有无理数. 证 若 a b，则由例 1，存在 n N+ , 使
1 1 (b a). n2
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设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k 1 n
a.
于是, a k 1 k 2 b, 则 k 1, k 2 是
nn