14-1——华东师范大学数学分析课件PPT

敛域是半开区间 [1, 1) . 照此方法, 容易验证级数
xn n!
(ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 (, )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 (R, R)内收敛;
对一切满足不等式 x R 的 x , 幂级数(2)都发散;
至于x R, (2)可能收敛也可能发散. 因此称 ( R, R) 为幂级数(2)的收敛区间.
怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
定理14.2
对于幂级数(2), 若
n
lim
n
an ,
(3)
则当
(i) 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R 1 ;
(ii) 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R ;
(iii) 时, 幂级数(2)的收敛半径 R 0.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 设级数 an xn 收敛, 从而数列 {an xn } 收敛于零 n0
且有界, 即存在某正数 M, 使得
| an xn | M (n 0,1,2, ). 对任意一个满足不等式 | x || x |的 x, 设
发散, 如果存在一个 x0 , 满足不等式| x0 || x |, 且使
级数 an x0n 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 n0
(2)应该在 x x 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一
切满足不等式 | x || x |的 x, 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质. 若以2R表示区 间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径.
(i)
当0
时,
幂级数(2)收敛半径
R
1
;
(ii) 当 0 时, 对任何 x 都有 | x | 1, 所以R ;
(iii) 当 时, 除x 0外的任何x都有 | x | 1,
所以 R= 0.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 的情形. 即
数学分析 第十四章 幂级数
一般项为幂函数
a ( x x )n的函数项级数称
n
0
为幂级数, 这是一类最简单
的函数项级数. 幂级数在级
数理论中有着特殊的地位,
在函数逼近和近似计算中
有重要应用, 特别是函数的
幂级数展开为研究非初等
函数提供了有力的工具.
§1 幂级数
一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算
幂级数的性质
幂级数的运算
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
(2)
n0
定理14.1（阿贝尔定理）
若幂级数(2)在 x x 0收敛, 则对满足不等式
| x || x | 的任何x , 幂级数(2)收敛而且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x x 时发散, 则对满足不等式
| x || x |的任何x , 幂级数(2)发散.
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
例1 级数
xn n2
,由于
an1 an
(n
n2 1)2
1(n ),
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 (1, 1); 而当
x 1 时, 有
(1)n n2
1 n2
,
由于级数
1 n2
收敛,
所
以级数
xn n2
在
x
1 时也收敛.
于是级数
xn n2
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
(2)
n0
事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点
的绝对值的上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛;
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 对于幂级数 | an xn |, 由于
n0
lim
n
n
|
an
xn
|
lim
n
n
|
an
|
|
x
|
|
x
|,
根据级数的根式判别法, 当 | x | 1时，级数 | an xn |
n0
收敛；当 | x | 1时, 级数发散. 于是
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn .
(2)
n0
因为只要把(2)中的 x 换成 x x0 , 就得到(1).
首先讨论幂级数(2)的收敛性.
除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
的收敛域为[1, 1].
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
例2 设有级数
x2Байду номын сангаас
xn
x ,
(4)
2
n
由于
R lim an lim n 1 1,
a n n
n
n1
因此幂级数(4)的收敛区间是 (1, 1) . 但级数 (4) 当
x 1 时发散, x 1时收敛, 从而得到级数(4)的收
收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.
在第十二章§2第二段曾经指出: 若 lim | an1 | ,
n | an |
则有
lim
n
n
|
an
|
.
因此也可用比式判别法来得出
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,
可以参考第十二章的相关说明.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
r x 1,
x
则有
| an xn
|
an xn
xn xn
| an xn |
xn Mr n .
x
由于级数 Mr n 收敛, 故由优级数判别法知幂级数
n0
(2)当 | x || x | 时绝对收敛.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
下面证明定理的第二部分.设幂级数(2)在 x x 时