14-1——华东师范大学数学分析课件PPT
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数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
华东师大数学分析课件04
§1 二重积分概念
二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
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一、平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们首先定义平面图形的面积 所谓一个平面图形 P 是有界的 是指构成这个平面图形的点集是平面 是有界的, 上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 P ⊂ R . 的有界点集 设 P 是一平面有界图形 用平行于二坐标轴的某一 是一平面有界图形, 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 图21小闭矩形) 可分为三类: 的网眼 (小闭矩形 ∆ i 可分为三类 小闭矩形 (i) ∆ i 上的点都是 P 的内点 的内点; (ii) ∆ i 上的点都是 P 的外点 即 ∆ i I P = ∅ ; 的外点,
i =1 i =1
n
n
(3) 取极限 当直线网 T 的网眼越来越细密 即分割 取极限: 的网眼越来越细密, T 的细度 || T || = max d i ( d i 为 σ i 的直径 趋于零时 就 的直径)趋于零时 趋于零时, 有
1≤ i ≤ n
∑ f (ξ , η )∆σ
i =1 i i
n
i
→V .
于是由(3)可得 于是由(3)可得 (3)
s P (T ) > I P −
ε
2
, S P (T ) < I P +
ε
2
.
从而对直线网 T 有 S P (T ) − s P (T ) < ε . 充分性 设对任给的 ε > 0 , 存在某直线网 T, 使得
二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存在性 三、二重积分的性质
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一、平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们首先定义平面图形的面积 所谓一个平面图形 P 是有界的 是指构成这个平面图形的点集是平面 是有界的, 上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得 P ⊂ R . 的有界点集 设 P 是一平面有界图形 用平行于二坐标轴的某一 是一平面有界图形, 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T 图21小闭矩形) 可分为三类: 的网眼 (小闭矩形 ∆ i 可分为三类 小闭矩形 (i) ∆ i 上的点都是 P 的内点 的内点; (ii) ∆ i 上的点都是 P 的外点 即 ∆ i I P = ∅ ; 的外点,
i =1 i =1
n
n
(3) 取极限 当直线网 T 的网眼越来越细密 即分割 取极限: 的网眼越来越细密, T 的细度 || T || = max d i ( d i 为 σ i 的直径 趋于零时 就 的直径)趋于零时 趋于零时, 有
1≤ i ≤ n
∑ f (ξ , η )∆σ
i =1 i i
n
i
→V .
于是由(3)可得 于是由(3)可得 (3)
s P (T ) > I P −
ε
2
, S P (T ) < I P +
ε
2
.
从而对直线网 T 有 S P (T ) − s P (T ) < ε . 充分性 设对任给的 ε > 0 , 存在某直线网 T, 使得
数学分析课件华东师大版
202X-01-04
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第4章-函数的连续性(1)可编辑全文
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则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
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例1 证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄利克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
O
x
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x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
A,
x x0 x x0
在 A g( x0 ) 时，x0 恒为F( x)的一个可去间断点.
则函数在点 x0 连续的充要条件是 :
lim y 0.
(3)
x0
这里我们称 x 是自变量(在 x0 处)的增量, y为相
应的函数(在 y0 处)的增量
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例1 证明 f ( x) xD( x) 在 x 0 处连续 , 其中 D( x)
为狄利克雷函数.
证 因为 f (0) 0, D( x) 1, lim x 0, 所以 x0
类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.
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定义3 设函数 f ( x) 在点 x0 的某个右邻域 U ( x0 ) (左邻域U ( x0 )) 有定义，若
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( lim x x0
f (x)
f ( x0 )),
则称 f ( x) 在点 x0 右(左)连续.
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
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例如：f ( x) x sgn x 在 x 0 处连续， 这是因为 lim xsgn x 0 f (0).
x0
y y x sgn x
O
x
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x0
1
所以 x 0 是 f ( x) 的
一个可去间断点 .
O
x
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注 1. 对于任意函数 g( x) ,若它在 x x0 处连续 ， 那么函数
g( x),
F(x)
A,
x x0 x x0
在 A g( x0 ) 时，x0 恒为F( x)的一个可去间断点.
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1实数ppt
(3)
.
(3)两边平方得：x-1+2x-1-2
≥3x-2；
化简得-
≥0
∴(x-1)(2x-1)=0；解得x=1或x=1/2.
经检验都不符合原不等式，∴原不等式无解。
3、设a、b∈R， 证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a=b. 证：设a>b，令ε=a-b>0，则|a-b|=ε，与题设不符， 同理可证a<b时，与题设不符，∴a=b.
(3)
.
(2)∵0≤|x-1|<|x-3|，∴
<1；即-1<
<1.
当x-3>0时，-x+3<x-1<x-3；无解.
当x-3<0时，-x+3>x-1>x-3；解得x<2.
∴原不等式的解为x<2 x<2
02
2、求下列不等式的解，并在数轴上表示出来：
(1)x(x2-1)>0；(2)|x-1|<|x-3|；
ak=bk(k=1,2,…j)而aj+1>bj+1， 则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.
2、设x=a0.a1a2…an…为非负实数。 称有理数xn=a0.a1a2…an为实数x的n位不足近似， 而有理数 =xn+10-n称为实数x的n位过剩近似. 对于负实数x= -a0.a1a2…an…， 其n位不足近似与过剩近似分别规定为 xn=a0.a1a2…an-10-n与 =a0.a1a2…an.
一、实数集与函数
1. 实数
1、(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数 x=a0.a1a2…an…，y=b0.b1b2…bn…， 其中a0，b0为非负整数，ak，bk（k=1,2,…）为整数， 0≤ak≤9，0≤bk≤9。 若有ak=bk，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y； 若a0>b0或存在非负整数j，使得
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
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an xn a0 a1 x a2 x2 an xn .
(2)
n0
因为只要把(2)中的 x 换成 x x0 , 就得到(1).
首先讨论幂级数(2)的收敛性.
除了x=0之外, 幂级数(2)还有其他收敛点吗？
数学分析 第十四章 幂级数
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高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
定理14.2
对于幂级数(2), 若
n
lim
n
an ,
(3)
则当
(i) 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R 1 ;
(ii) 0 时, 幂级数(2)的收敛半径 R ;
(iii) 时, 幂级数(2)的收敛半径 R 0.
发散, 如果存在一个 x0 , 满足不等式| x0 || x |, 且使
级数 an x0n 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 n0
(2)应该在 x x 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一
切满足不等式 | x || x |的 x, 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质. 若以2R表示区 间的长度, 则称R为幂级数的收敛半径.
*点击以上标题可直接前往对应内容
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 的情形. 即
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 设级数 an xn 收敛, 从而数列 {an xn } 收敛于零 n0
且有界, 即存在某正数 M, 使得
| an xn | M (n 0,1,2, ). 对任意一个满足不等式 | x || x |的 x, 设
(i)
当0
时,
幂级数(2)收敛半径
R
1
;
(ii) 当 0 时, 对任何 x 都有 | x | 1, 所以R ;
(iii) 当 时, 除x 0外的任何x都有 | x | 1,
所以 R= 0.
数学分析 第十四章 幂级数
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§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
注 由定理14.2可知, 一个幂级数的收敛域等于它的
幂级数的性质
幂级数的运算
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
(2)
n0
定理14.1（阿贝尔定理）
若幂级数(2)在 x x 0收敛, 则对满足不等式
| x || x | 的任何x , 幂级数(2)收敛而且绝对收敛; 若幂级数(2)在 x x 时发散, 则对满足不等式
| x || x |的任何x , 幂级数(2)发散.
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
证 对于幂级数 | an xn |, 由于
n0
lim
n
n
|
an
xn
|
lim
n
n
|
an
|
|
x
|
|
x
|,
根据级数的根式判别法, 当 | x | 1时，级数 | an xn |
n0
收敛；当 | x | 1时, 级数发散. 于是
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
例1 级数
xn n2
,由于
an1 an
(n
n2 1)2
1(n ),
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 (1, 1); 而当
x 1 时, 有
(1)n n2
1 n2
,
由于级数
1 n2
收敛,
所
以级数
xn n2
在
x
1 时也收敛.
于是级数
xn n2
r x 1,
x
则有
| an xn
|
an xn
xn xn
| an xn |
xn Mr n .
x
由于级数 Mr n 收敛, 故由优级数判别法知幂级数
n0
(2)当 | x || x | 时绝对收敛.
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
下面证明定理的第二部分.设幂级数(2)在 x x 时
敛域是半开区间 [1, 1) . 照此方法, 容易验证级数
xn n!
的收敛域为[1, 1].
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
例2 设有级数
x2
xn
x ,
(4)
2
n
由于
R lim an lim n 1 1,
a n n
n
n1
因此幂级数(4)的收敛区间是 (1, 1) . 但级数 (4) 当
x 1 时发散, x 1时收敛, 从而得到级数(4)的收
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数
幂级数的收敛区间
幂级数的性质
幂级数的运算
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
(2)
n0
事实上, 收敛半径就是使得幂级数(2)收敛的所有点
的绝对值的上确界. 所以有
(i) 当 R 0 时, 幂级数(2)仅在 x 0 处收敛;
数学分析 第十四章 幂级数
一般项为幂函数
a ( x x )n的函数项级数称
n
0
为幂级数, 这是一类最简单
的函数项级数. 幂级数在级
数理论中有着特殊的地位,
在函数逼近和近似计算中
有重要应用, 特别是函数的
幂级数展开为研究非初等
函数提供了有力的工具.
§1 幂级数
一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质 三、幂级数的运算
(ii) 当 R 时, 幂级数(2)在 (, )上收敛;
(iii)当 0 R 时, 幂级数(2)在 (R, R)内收敛;
对一切满足不等式 x R 的 x , 幂级数(2)都发散;
至于x R, (2)可能收敛也可能发散. 因此称 ( R, R) 为幂级数(2)的收敛区间.
怎样求得幂级数(2)的收敛半径和收敛区间呢?
收敛区间再加该区间端点中使幂级数收敛的点.
在第十二章§2第二段曾经指出: 若 lim | an1 | ,
n | an |
则有
lim
n
n
|
an
|
.
因此也可用比式判别法来得出
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,
可以参考第十二章的相关说明.
数学分析 第十四章 幂级数
高等教育出版社
§1 幂级数