上、下极限的性质与应用

毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 **********所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __2015年6月10日上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）指导教师:洪洁[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.2 上、下极限的概念2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.注 数列{}n x 的上极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤.同样,下极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.（3）若{}k n x 是{}n x 的子列,则lim lim k n n n n x x →∞→∞≤ , lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.定义2.1.3[7] limsup{}k n k n x a →∞≥=称为数列{}n x 的上极限,liminf{}k n k nx b →∞≥=称为数列{}n x 的下极限.注 由于定义2.1.2 设{}n x 是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{}n x 无界的情况: （1）数列{}n x 有下界而无上界按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{}n x 的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{}n x 所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.3,显然lim n n x →∞=+∞,而inf{}n n kx >单调增加,但可能没有上界,故lim n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.（2）数列{}n x 有上界而无下界,同上.（3）数列{}n x 既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞.据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] ()1inf sup{}1,2,3k n k nx k ≥≥=称为数列{}n x 的上极限,1supinf{}k k nn x ≥≥称为数列{}n x 的下极限.定义2.1.5[9] 设a 是一个实数（1）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x a ε>-,同时至多有有限个n 使得n x a ε>+,数a 称为数列{}n x 的上极限,记作lim n n x a →∞=.（2）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x b ε<+,同时至多有有限个n 使得n x b ε<-,数b 称为数列{}n x 的下极限,记作lim n n x b →∞=.注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.推论 当lim n n x a →∞=的充分必要条件是lim lim n n n n x x a →∞→∞==.注1 若{}n x 是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{}n x 没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为lim n n x →∞=+∞;当{}n x 没有下界时,它的极限为-∞,记为lim n n x →∞=-∞.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限定义2.2.1[10] 设()f x 在点x a =的某去心邻域内有定义,如果存在点列()n n x a x a →≠使lim ()()n n f x A A →∞=∈,则称x a →时,()f x 存在子极限A .或者说A 是当x a →时()f x 的一个子极限.与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M *与最小者M *,分别称作上极限与下极限记为lim ()x af x →以及lim ()x af x →.同样有lim ()x af x →存在且仅当lim ()lim ().x ax af x f x →→=2.3集合列的上、下极限定义2.3.1[11]设{}n A 是一个集合列,记lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==;lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==.它们分别称为集合列{}n A 的上极限与下极限.3 上、下极限的性质性质3.1[12]（保序性） lim lim .n n n n x x →∞→∞≤性质3.2[13]（控制性质） 若{}k n x 为{}n x 的子列,则有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤lim lim .k n n n n x x →∞→∞≤≤性质3.3[5](保不等式性) 设数列{}n x 和{}n y 是两个有界数列且有0N >,使当n N >时,有n n x y ≤则lim lim n n n n x y →∞→∞≤,lim lim n n n n x y →∞→∞≤.注1 若0n n ∀≥有n x α≤(常数),则有lim n n x α→∞≤;若0n n ∀≥有n x β≥,则有lim n n x β→∞≥.注2 若,αβ为常数,又存在0N >,时有n x αβ≤≤则lim lim n n n n x x αβ→∞→∞≤≤≤.性质3.4[14]（符号性质） lim lim()n n n n x x →∞→∞=--,lim lim()n n n n x x →∞→∞=--.性质3.5[15]（符号性质）（1）若0c <,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.性质3.6 若{}n x 为有界递增数列,则lim lim .n n n n x x →∞→∞= 相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{}n x ,{}n y 为有界数列,则 lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+ (3.1)lim()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.(3.2)注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取(1)n n a =-,1(1)n n b -=-,n N +∈,则有lim lim 1n n n n x y →∞→∞==-,lim lim 1n n n n x y →∞→∞==,lim()lim()0n n n n n n x y x y →∞→∞+=+=.推论 若{}n x 和{}n y 中有一个收敛,则有:lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.性质3.8(加减运算性质) 若{}n x ,{}n y 为有界数列,则lim()lim lim lim()n n n n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞→∞+≤+≤+.性质3.9(乘法运算性质) 若0n x ≥,()01,2n y n ≥=,则lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞≤lim()lim lim n n n n x x x x y x y →∞→∞→∞≤.特别地,若{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号.性质3.10（倒数运算性质） 若0(1,2)n x n >=lim 0n n x →∞>,则11limlim n nn n x x →∞→∞=.推论 若0n x >,1,2,3n =,且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=则数列{}n x 收敛.4 上、下极限的应用4.1上、下极限在数列敛散性中的作用上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.例4.1.1若0(1,2,)n x n >=1limn n nx x +→∞≤. 分析 有界数列{}n x 的极限不存在,即有界数列{}n x 发散时,但有界数列{}n x 的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.证 设1limn n nx x x +→∞=,当x =+∞时,结论必然成立. 当0x ≤<+∞时,由数列极限的定义可知,0ε∀>,0N ∃>当k N >时,有1n nx x x ε+<+, 任取n N >,令,1,,1k N N n =+-,将所得n N -个不等式相乘,由k N >可得:121121()n N N N n nN N n n x x x x x x x x x ε-++-+--⋅⋅<+, 即()n N nNx x x ε-<+, 则()n n x M x ε<+.其中()N N M x x ε-=+,于是有)x ε<+,由此得)x x εε≤+=+.由ε的任意性可知,所证结论成立.例4.1.2设{}n x 为有界数列,{}k n x (1,2,)k =是它的一个子列,1,1a a <≠- ,证明,如果()lim k k n k x ax A →∞+= ,则{}n x 收敛并求其极限.证 由上,下极限的性质3.7有()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,于是lim lim lim lim n n n n n n n n x a x x a x →∞→∞→∞→∞+≥+ .由1a < 可得lim lim n n n n x x →∞→∞≥,从而{}n x 收敛,令 lim n n x c →∞=.则()()lim lim lim 1k k n n k n n n n A x ax x a x a c →∞→∞→∞=+=+=+ ,由于1a ≠- ,因此 lim 1n n A x a→∞=+ . 利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.例4.1.3 设非负数列{}n x 满足条件0(1,2,)m n m n x x x m +≤<+=,(1,2,)n = ,证明数列liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞== .证 对任意的1,2,n = 有1121102n n n x x x x x nx --≤≤+≤+≤≤,于是,10n x x n ≤≤,因此数列{}n xn是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 inf{,1,2,}n xn nβ==,则有lim nn x nβ→∞≥.取定正整数m ,对于任意的正整数n ,必有(,,)n pm q p q q m =+∈<,于是n m q a pa a ≤+,因此q n mx x px n pm q n≤++. 对于固定的,m n p →∞⇔→∞,取上极限便得limlim lim q n m m n n n x x px xn pm q n m→∞→∞→∞≤+=+.对于每一个m 都成立,因而liminf{,1,2,}inf{,1,2,}n m n n x x xm n n m nβ→∞≤====,从而有limlim n n n n x xn n→∞→∞≤.又根据limlim n n n n x xn n→∞→∞≥所以liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞==.上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:（1）证明{}n x 有界;（2）证明{}n x 有收敛子列{}k n x 收敛到某个常数a ;（3）证明{}n x 也收敛到a .而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.定理4.1.4 设{}n x 是有界数列.（1）lim n n x a →∞=的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>- 且在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<= ;(2)lim n x x a →∞= 的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>+ 且存在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<=.定理4.1.5 若{}n x 是有界数列且有lim n n x a →∞= 和lim n x x b →∞=,则有（1） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 a ; （2） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 b ;（3）存在{}n x 的任一收敛子列,若其极限为 c ,则有a c b ≤≤ .定理4.1.6（柯西收敛原则） 数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.证 必要性 设lim n x x a →∞= .于是对于任给的0ε> ,都有N ,使当n N > 时,就有2n x a ε-<.于是当,m N n N >> 时,就有m n m n x x x a x a ε-≤-+-< ,即{}n x 为柯西数列.充分性 设{}n x 是柯西数列.于是有N ,使当,m N n N >> 时,就有1m n x x -< .特别地,当1m N =+ 时,有()1111,,N n N x x x n N ++-<<+>可见,{}n x 有界.对于任给的0ε> ,存在N ' ,使当n N '> 时,就有1n N x x ε'+-< ,11,N n N x x x n N εε''++'-<<+> .在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到11lim lim N n n N x n x x x x εε''++→∞→∞-≤≤≤+ .因此有0lim lim 2n n n n x x ε→∞→∞≤-≤ .由0ε> 的任意性即得lim lim n n n n x x →∞→∞≤ .再由定理4.1.5即知{}n x 收敛.注1 柯西数列[10]:设{}n x 是一个数列,如果对于∀0ε>,都存在自然数N ,使当m N >,n N >时,就有m n x x ε-<,则称{}n x 为柯西数列或基本数列.注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用例4.2.1已知lim n n x x →∞=,求证01lim1nn x x x x n →∞+++=+.分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:由于对任意0ε>,存在(1,2,)N N =,当k N >时,有k x x x εε-<<+,所以011N x x x n ++++()1n N x n ε-+-+011n x x x n +++<<+ 011N x x x n ++++()1n Nx n ε-+++(4.1) 令n →∞,得到01()lim ()1nn x x x x x n εε→∞+++-≤≤++.再由ε的任意性得到01lim 1n n x x x x n →∞+++≤+. 错误是预先认定了极限01lim 1nn x x x n →∞++++的存在.如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.证 由（1）,令n →∞,得到0101()limlim ()11n nn n x x x x x x x x n n εε→∞→∞++++++-≤≤≤+++, 再由ε的任意性得到0101limlim 11n n n n x x x x x x x n n →∞→∞++++++==++. 于是推得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.类似上述过程,不少书中直接写为:“令n →∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x ε-和x ε+.”由于ε的任意性可得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.例4.2.2 设1a >,x >1,1,2,31nn na x x n x ++==+ , (4.2)试证 lim n n x →∞=证 易得到01n x a <<+.因而lim n n x β→∞=与lim n n x α→∞=存在,而且0α≥.由此可得到0β>,令()1xf x x α+=+则()()2211()011x x aaf x x x +---'==<++.故()f x 单调递减.在(1)中取上限可得1a a βαααβββ+≥⇒+≥++, 所以有a a αβαβα+≥+⇒≥≥,故αβ=,因而lim n n x →∞存在,在(1)中取极限,可得出lim n n x →∞=注 如果0β≤,则有αβ=,因而{}n x 的极限存在且等于零,在(4.2)中令n →∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设1()sinf x x=,求0lim ()x f x →,0lim ()x f x →.解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列1022n x n =→+则()1()n f x n →→∞.若选取10322n y n =→+则()1()n f y n →-→∞.因此可知0lim ()1x f x →=,0lim ()1x f x →=-.可以证明,任何介于[1,1]-之间的实数都是0x →时1()sin f x x=的子极限. 4.3 上、下极限在级数论中的作用上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.定理4.3.1 对于正项级数1nn u∞=∑,令ρ=那么（1）当1ρ<时,级数1nn u∞=∑收敛;（2）当1ρ>或无穷大时,级数1nn u∞=∑发散;（3）当1ρ=时,级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.注 改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两个判别法中的极限1limn n nu u ρ+→∞=与n ρ=不存在的情形给出的.幂级数收敛半径的结论如下 对于幂级数nn n a x∞=∑,如果1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=, （4.3）则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.定理4.3.2 对于幂级数nn n a x∞=∑,ρ=,则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩注 定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于Lebesgue 积分有三大收敛定理,其中Faton 引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.定理4.4.1（Fatou 引理） 若{()}n f x 是可测集E 上非负可测函数列,则lim ()lim ()nm n x E En n f x d f x d →∞→∞≤⎰⎰.证 非负函数()inf{()}n j g x f x j n =≥显然有1()()n n g x g x +≤,1,2k =,而且lim ()lim ()n n n n g x f x →∞→∞=,x E ∈.由Levi 定理得lim ()lim ()nn E n n E f x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰lim ()lim ()n n EEn n g x dx f x dx →∞→∞=≤⎰⎰.注1 Levi 定理[11]:设{()}k f x 是可测集E 上的非负可测函数列,满足12()()()k f x f x f x ≤≤≤≤,且有lim ()()k k f x f x →∞=,x E ∈,则lim()()k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰.注2 由Faton 引理推导Lebesgue 控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式lim ()()lim ()n x m n m EEn n f x d f x d f x d →∞→∞≤≤⎰⎰⎰.推出 lim()()n m n m EEn f x d f x d →∞=⎰⎰．上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2[2]设集列{}i E 是单调增加的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.定理4.4.3[2] 设集列{}i E 是单调减少的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,且1mE <+∞,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.例4.4.4 设{}n E 是pR 中一列可测集,证明: （1）(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤;（2）若存在0n ,使0()n n n m E ∞=<+∞,则(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.证 （1）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===.记n k k nA E ∞==,则12n A A A ⊂⊂⊂.由定理4.4.3得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N N =,()k n k nm E mE ∞=≤成立,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤.（2）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===,记n k k nB E ∞==,则12n B B B ⊃⊃⊃.又已知存在0n ,使00()()n k k n m B m E ∞==<+∞,由定理4.4.2得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N ,有()k n k nm E mE ∞=≥,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.参考文献[1]隋廷芳.上、下极限的七个等价定义 [J].呼盟电大分校学报,1994:10. 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