函数的极限(定义及性质)
第二节函数的极限
1 | 0 | . x 1 从而 lim 0. x x 1 由此可知直线y 0是曲线y 的水平渐近线. x
例2
x2 用定义验证 lim 2 1. x x 1
x2 1 1 | 2 1 | 2 2 , x 1 x 1 x
只需x ，即 | x |
使得当 0 | x x0 | 时，有
f(x)>B (f(x)<B).
lim g ( x) B，且A B， 定理2.7 若 lim f ( x) A，
x x0 x x0
则存在正数，当0 | x x0 | 时，有 f ( x) g ( x).
推论1 若 lim f ( x) A ，且A>B(A<B)，则存在 0,
x x0
x x0
| f ( x) A |
成立，则称f(x)在 x0 处的右极限为A，记为
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 ) A.
在上面的定义中将函数f(x)改为在 x0 的左侧附近 有定义(即在 (a, x0 ) 内有定义)，即将 0 x x0 改 为 x x0 0 就得到了f(x)在 x0 处的左极限为A的 定义.相应地记作
x x0
证 任给 0，欲使 | x x0 | ,
只需取 ，当0 | x x0 | 时，恒有 | x x0 | ,
从而 lim x x0 .
x x0
在 lim f ( x) A 的定义中，x可以以任意方式趋向 于x0.有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从x0的 某一侧(从小于x0的一侧或从大于x0 的一侧)趋向于 x0时 f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念. 定义 设函数f(x)在 ( x0 , b) 内有定义，A为常数.若对任 意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当0 x x0 时有
函数的极限定义及性质
思考与练习
1. 若极限
存在,
2. 设函数
且
存在, 则
是否一定有
？
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
3. 函数极限的性质
保号性. 若
且 A > 0 ,
则存在
( A < 0 )
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
推论 若在
的某去心邻域内
, 且
则
思考: 若条件改为
是否必有
不能!
如
定义. 设函数
大于某一正数时有定义,
若
则称常数
时的极限,
几何解释:
记作
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线 .
A 为函数
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
两种特殊情况 :
当
时, 有
当
时, 有
几何意义 :
例如，
都有水平渐近线
都有水平渐近线
又如，
内容小结
1. 函数极限的
或
定义
2. 函数极限的性质:
保号性定理
一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数极限的定义
或
时, 有
当
几何解释
2. 左极限与右极限
左极限 :
当
时, 有
右极限 :
当
时, 有
结论：
例. 给定函数
讨论
时
的极限是否存在 .
解: 利用结论 .
因为
显然
所以
不存在 .
3. 函数极限的性质
保号性. 若
且 A > 0 ,
函数极限的定义
例 函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
注2: 函数f x在点x0的极限的定义说明了如何去证明 函数 f x在点 x0的极限为 A的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f (x) A M x x0 ,
第三节 函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
所以, 0 , 取 ，当 0 x 2 时，可使
2
f (x) A 2x 15 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x
欲使 sin x , 即 sin x , 所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin , 则当 0 x 时，有
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0
1.3 函数的极限
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节 函数的极限
=
当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.
如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节 函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有
函数的极限
若 0 ， 使 得 x U ( x0 , ) , 都 有 f ( x ) ( x ) g( x ) , 且 a b , 则 lim ( x ) a .
x x0
5.有理运算法则
如果 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则
例3 证明
证
lim( 3 x 1) 5
x 2
| f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
0, 要 使 | f ( x ) 5 | 3 | x 2 |
只须 | x 2 |
. 取 , 3 3
当 0 | x 2 | 时
恒有
x 2
1 sin lim sin 2n 0 有 lim n xn n 1 lim sin lim sin( 2n 2) 1 n n yn
y sin
1 x
故由Heine 定理知,
1 li msin 不存在 . x 0 x
二、函数极限的性质
1.唯一性定理 若极限
定义 : 如果 lim f ( x ) c , 则直线 y c是函数y f ( x )
x
的图形的水平渐近线 .
2. 自变量趋于有限值时函数的极限
2( x 2 1) 考察x 1时,函数f ( x ) 的变化趋势 x 1 这个函数虽在x=1处 y 无定义，但从它的图 形上可见，当点从1的 4 左侧或右侧无限地接 近于1时， f(x)的值无 限地接近于4，我们称 o 1 常数4为f(x)当x→1 时 f(x)的极限。
| x|
lim f ( x ) ?
x x0
lim f ( x ) ?
函数与极限：函数极限的概念
函数与极限：函数极限的概念在数学中，函数极限是函数理论中的重要概念之一，它在解析几何、微分学和积分学等领域中有着广泛的应用。
函数极限可以帮助我们理解函数的行为和性质，在研究数学问题时起到至关重要的作用。
本文将从函数极限的定义、基本性质以及在实际问题中的应用三个方面探讨函数极限的概念。
一、函数极限的定义函数极限的定义是通过数列的极限来描述的。
设有一个函数 f(x)，当自变量 x 无限接近于某个数 a 时，如果对于任意一个数ε（ε>0），总存在另一个数δ（δ>0），使得当 x 在 (a-δ, a+δ) 范围内时，都有 |f(x) - L| < ε，那么我们称函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记作：lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的基本性质1. 函数极限的唯一性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，则该极限是唯一的，即该极限值与取近点的方法无关。
2. 极限的四则运算：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限都存在，则有以下性质：(1) lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；(2) lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)；(3) lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
3. 极限的保序性：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限都存在，并且f(x) ≤ g(x)，则有lim(x→a) f(x) ≤ lim(x→a) g(x)。
4. 复合函数的极限：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，并且g(x) 在 x 趋于 f(a) 时的极限存在，则复合函数 g[f(x)] 在 x 趋于 a 时的极限存在，且有lim(x→a) g[f(x)] = lim(u→f(a)) g(u)。
函数的极限与导数的关系
函数的极限与导数的关系函数的极限以及导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系和相互依赖的关系。
本文将探讨函数的极限与导数之间的联系，并说明它们在数学中的重要性。
一、函数的极限的定义与性质函数的极限是研究函数在某一点处的趋势及其极限值的一种方法。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ(不论它多么小，但大于0)，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，那么就称函数f(x)在x=a处有极限A（或说f(x)的极限为A），记作lim {x→a} f(x) = A。
函数的极限具有唯一性和局部有界性的性质。
即在一个点的左右两侧的极限值相等，且函数在该点的邻域内有界。
二、导数的定义与性质导数是用来描述函数的变化率的概念，它表示函数在某一点上的斜率，也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，在点x=a处，若极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|{x=a}。
导数具有唯一性和几何意义的性质。
例如，对于导函数f'(x)存在的函数f(x)，f'(x)就代表了f(x)在x点处的切线斜率。
三、函数的极限与导数之间存在着重要的联系，可以说导数的概念是由极限引出的。
1. 极限为导数的特殊情况若函数f(x)在点x=a处的极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么该极限值就是f(x)在x=a处的导数f'(a)。
此时，函数的极限值和导数值是相等的。
2. 导数的连续性若函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)存在，且f(x)在点x=a处连续，那么可以得出结论：函数f(x)在点x=a处的极限lim {x→a} f(x)存在。
3. 极限的重要性极限是导数存在的前提，它为导数的计算提供了基础。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
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0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
x x0
lim f ( x ) A
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
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例. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
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推论 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
x 0 x 0
显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x ) 存在, 是否一定有 lim f ( x ) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x ) 存在, 则 2. 设函数 f ( x ) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
( A 0)
思考: 若条件改为 f ( x ) 0 , 是否必有 A 0 ?
不能!
如
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0, X 0,
A 为函数
x
lim f ( x ) A
x X 或 x X
第四节 目录
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y
x0 x0 x0
y x 1
1 O 1
y x 1
x
讨论 x 0 时 f ( x ) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
函数的极限（定义及性质）
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
x x0
时函数极限的定义
lim f ( x ) A 或
当 f ( x)
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
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A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
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两种特殊情况 :
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 当 f ( x) A
时, 有
几何解释
x0
x
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2. 左极限与右极限
左极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x 0 , x 0 )
时, 有
右极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1 .
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内容小结