函数极限概念
函数极限的直观理解
函数极限的直观理解函数极限是微积分中一个非常重要的概念，它在描述函数在某一点附近的表现时起着至关重要的作用。
理解函数极限的概念对于深入学习微积分以及解决实际问题具有重要意义。
在本文中，我们将从直观的角度出发，深入探讨函数极限的含义和性质，帮助读者更好地理解这一概念。
### 什么是函数极限？在介绍函数极限之前，我们先来回顾一下函数的定义。
函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，我们通常用符号$f(x)$来表示函数，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的因变量。
函数极限是指当自变量$x$趋向于某个特定的值时，函数$f(x)$的取值趋近于一个确定的值的过程。
具体来说，对于函数$f(x)$，当$x$的取值无限接近于某个数$a$时，如果$f(x)$的取值也无限接近于一个数$L$，那么我们就说函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这里的$L$可以是一个实数，也可以是无穷大。
函数极限的概念可以帮助我们研究函数在某一点附近的性质，揭示函数的变化规律和趋势。
### 函数极限的直观理解要理解函数极限的概念，我们可以从直观的角度出发，通过几何图形和实例来帮助我们把握这一概念。
首先，我们以一些简单的函数为例，来说明函数极限的直观理解。
#### 例1：$f(x) = x^2$考虑函数$f(x) = x^2$，我们来看当$x$趋近于某个数$a$时，$f(x)$的取值会如何变化。
我们可以通过绘制函数$y=x^2$的图像来直观地观察。
```pythonimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npx = np.linspace(-2, 2, 100)y = x**2plt.plot(x, y)plt.xlabel('x')plt.ylabel('f(x)')plt.title('Graph of f(x) = x^2')plt.grid(True)plt.show()```从图中我们可以看出，当$x$趋近于0时，$f(x)$的取值也趋近于0。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
极限的概念和求解方法
极限的概念和求解方法在数学中，极限是一个重要的概念。
它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、特性以及求解方法。
一、极限的定义极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于一个确定的值。
通常用符号x→a来表示自变量x趋于a的极限。
如果当x无限接近a时，函数f(x)的取值无限接近某个值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L，记作lim_(x→a)f(x)=L。
二、极限的特性1. 唯一性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时有极限L，那么极限L 是唯一确定的。
2. 保号性特性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限L大于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也大于0；同理，如果极限L小于0，那么在a的邻域内，函数f(x)的取值也小于0。
3. 夹逼定理：如果函数f(x)、g(x)与h(x)满足在x趋近于a的过程中，存在一点x_0使得当x靠近x_0时，f(x)≤g(x)≤h(x)，并且lim(x→a)f(x)=lim(x→a)h(x)=L，那么lim(x→a)g(x)=L。
三、求解极限的方法1. 代入法：当函数在某个点存在定义时，可以直接将自变量的值代入函数中计算。
例如，对于函数f(x)=2x+3，当x趋近于2时，可以将x=2代入函数中计算，得到极限值为7。
2. 分析法：利用函数的性质和极限特性，通过分析函数在极限点附近的取值趋势，来求解极限。
例如，对于函数f(x)=x^2+3x-1，当x趋近于2时，可以将函数化简为lim_(x→2)(x^2)+lim_(x→2)(3x)-lim_(x→2)(1)=6+6-1=11。
3. 套用已知极限：有时可以利用已知的一些常见极限来求解复杂函数的极限。
常见的一些极限包括sinx/x和e^x的极限值。
例如，对于函数f(x)=(e^x-1)/x，当x趋近于0时，可以套用已知的极限lim_(x→0)(e^x-1)/x=1。
4. L'Hôpital法则：对于一些特殊的函数形式，如0/0或∞/∞，可以使用L'Hôpital法则来求解极限。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
微积分(6)函数极限的概念
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中 是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数 ，只 要求充分接近于 的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列 中的 n 类似，充分接近于 的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分 大的正数。显然， X 刻画了 x 接近 的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数 有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ， 总可以找到某个正数 X ， 使得当 x X 或 x X 时， 函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图） 。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下 结论： 定理： 函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即
函数极限概念
x 情形 :
lim f ( x) = A
x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x 情形 : lim f ( x) = A x
0, $M 0,使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x
x
x
例1 证明lim 1 = 0.
x x
证 0, 取M = 1 ,
则当 x M时有
1 0 = 1 1 =,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
例2 证明:1) lim arctan x = p ; 2) lim arctan x = p .
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
M 0, x M 表示x 的过程.
一般地,当 x趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1 设 f 定义在[ a,)上的函数，A为定数.若对任给的 0,存在 正数M( a) ,使得当 xM 时有 f (x)A , 则 称函数 f 当 x 趋
x
2
x
2
证 任 给 0 ,由于
arctan
x
p
2
等价于 - - p arctan x p ,
2
2
而此不等式的左半部分对 任何 x
x都的成变立化,所范以围只。要为考此察,先其限右制半部分p
2
则有
x
tan
p
2
=
tan
第三章 函数极限
函数极限概念
函数的极限初步定义性质与计算方法
函数的极限初步定义性质与计算方法函数的极限是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点逐渐趋于的值。
在本文中，我们将初步介绍函数的极限的定义性质以及常用的计算方法。
一、函数的极限初步定义性质1. 极限的定义对于函数$f(x)$，当$x$无限接近于$a$时，如果存在一个实数$L$使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，$|f(x)-L| < \varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在$x=a$处的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
2. 左极限和右极限对于函数$f(x)$在$x=a$处的极限，如果函数在$a$的左侧存在且有限，那么称其为左极限，记作$\lim_{x \to a^-} f(x)$。
类似地，如果函数在$a$的右侧存在且有限，那么称其为右极限，记作$\lim_{x \to a^+} f(x)$。
3. 极限的唯一性函数的极限如果存在，则极限唯一。
也就是说，如果$\lim_{x \to a} f(x)$和$\lim_{x \to a} g(x)$都存在，且它们的值不相等，那么函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处的定义不相同。
4. 无穷极限当$x$逼近某个数$a$时，如果函数$f(x)$的值趋于正无穷或负无穷，那么称$\lim_{x \to a} f(x)$为无穷极限。
二、函数极限的计算方法1. 代入法对于简单的多项式函数或分式函数，可以直接代入给定的$x$值计算极限。
2. 四则运算法则对于函数$f(x)$和$g(x)$，如果$\lim_{x \to a} f(x)=A$且$\lim_{x \to a} g(x)=B$存在，那么以下结果成立：- $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$- $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$- $\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$ (其中$B\neq 0$)3. 复合函数法则如果存在函数$g(x)$在$x=a$处的极限为$b$，且函数$f(x)$在$x=b$处的极限为$L$，那么复合函数$f(g(x))$在$x=a$处的极限为$L$。
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引言在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法.一、函数极限概念定义1[]1设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在正数M （a ≥），使得当M x >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作lim ()x f x A →+∞= 或()().f x A x →→+∞定义2[]1（函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作lim ()x f x A →∞=或0()()f x A x x →→.定理1[]1设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。
若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有()f x A ε-<，则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作lim ()(lim ())x x x x f x A f x A +-→→==或00()()(()())f x A x x f x A x x +-→→→→.定理2[]1（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的.定理3[]1（局部有界性）若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域00()U x 内有界.定理4[]1（局部保号性）0lim ()0x x f x A →=>若（或<0），则对任何正数r <A （或r <-A ）,存在00()U x ，使得对一切00()x U x ∈有()0f x r >>（或()0f x r <-<）.定理5[]1（保不等式性）0lim ()x x f x →设与0lim ()x x g x →都存在，且在某邻域0'0(;)U x δ内有()()f x g x ≤，则lim ()lim ().x x x x f x g x →→≤二、函数极限的求解与应用极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对函数极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法.求解函数极限的最基本的方法还是利用函数极限的定义，同时也要注意运用两个重要极限，其中可以利用等量代换，展开、约分等方法化成比较好求的数列，也可以利用函数极限的四则运算法则计算.夹逼性定理和拉格朗日中值定理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用. 洛必达法则是针对某些特殊的函数而言的，还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了.1、利用函数极限的定义根据函数极限的定义，是求极限的最基本的方法之一.例1 证明 1lim0x x→∞=. 证明 ε∀>0，∃M =1ε，则当x >M 时有，10x-=1x <1M =ε.所以有1lim0x x→∞=. 例2 用极限的定义证明20211lim 0x x x x -=-→ 0(||1)x <. 证明 由于||1x ≤, 0||1x <, 因此22=≤≤于是, 对任给的)10(0<<>εε不妨设, 取,212εδx -=则当00||x x δ<-<时,有 .11202ε<---x x注 用极限的定义时, 只需要证明存在)(δ或N , 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有n 的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的N (或δ)一致, 最后结合在一起考虑.2．利用极限的运算法则定理6[]1（四则运算法则） 若极限00lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都存在，则函数f g ±，.f g 当0x x →时极限也存在，且[]0lim ()()lim ()lim ();x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±[]0lim ()()lim ().lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→=；lim ()x x g x →又若00,f g x x ≠→则当时极限存在，且有0()limlim ()/lim ().()x x x x x x f x f x g x g x →→→=例3 求221lim1nnn a a a b b b→∞++++++++, 其中1,1<<b a . 解 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限bb b b b a a a a a n nn n--=++++--=++++++111,1111212,原式=1111lim111111lim11n n n n a b a a b abb +→∞+→∞----==----例4 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++→20211lim x x x x . 解 原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--+-++=→)211(41121lim 220x x x x x x x⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-++--=→)11)(211()11(2lim 2220x x x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-++-=→)11)(211(2lim20x x x x 41-=.注1 对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.3．利用迫敛性（夹逼准则）定理7[]1 （迫敛性）0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==设，且在某0'0(;)U x δ内有()()()f x h x g x ≤≤，则 0lim ().x x h x A →=例5 求下列函数的极限.(1)cos lim x x xx→-∞-；(2)2sin lim 4x x xx →+∞-.解 (1)因为-1≤cos 1x ≤，所以当0x <时，1cos 1x x x x-≤≤-， 于是 1cos 111x x x x x-+≤≤-, 又因为 11lim (1)lim (1)1x x x x→-∞→-∞+=-=，由迫敛性得 cos lim1.x x xx→-∞-= （2）因为1sin 1,x -≤≤2-24xx x >≤-所以当时，22sin 44x x x x x ≤--，又因为 2221lim lim 0,lim 04441x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞--===---， 又迫敛性得 2sin lim 4x x xx →+∞-=0.例6 求⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x x 1sin sin 1lim20. 解 当0≠x 时, 有 222111|sin sin ||sin |x x x x x x⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,从而 2110|sin sin |||x x x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭, 由夹逼准则得 2011lim |sin sin |0x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭, 所以 01sin sin 1lim20=⎪⎭⎫⎝⎛→x x x x . 注1 迫敛性（夹逼准则）多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注2 利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数)(x f , )(x h , 使)(x f ≤)(x g ≤)(x h ； （2）A x h x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0, 由此可得A x g x x =→)(lim 0.4．利用两个重要极限两个重要极限:（1)1sin lim0=→xxx ；(2)e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广: (1)1)()(sin lim0=→x f x f x x ()(,sin ,0)(lim 0x f u uu y x f x x ===→)；(2)e x g x g x x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→)()(11lim 0 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=→)(,11,)(lim 0x g u u y x g ux x . 例7 求下列函数的极限（1）1lim sin ;x x x→+∞（2）30tan sin lim x x xx →- .解（1）令1t x=， 0t 0.1sin lim sin lim 1.x t x tx x t++→+∞→→+∞→==则当 时， 于是 (2)23330002sin sin tan sin sin (1cos )2limlim lim cos cos x x x xx x x x x x x xx x→→→--==220sinsin 12lim ..2cos 211.1.21.2x x x x x x →⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦==例8 求下列函数的极限（1）02lim(1);x x x-→-（2）101lim()1x x x x→+- . 解（1）22221lim(1)=lim 1+-2xx x x e x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦. （2）11122100122lim()lim(1)lim(1)111x x x x x x n x x x x x x x--→→∞→+=+=+--- =2112202lim 11x xxx x e x --→⎡⎤⎛⎫⎢⎥+= ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦.5．利用无穷小的性质和等价无穷小代换定理8[]1 设函数(),(),()f x g x h x 在0(,)U x δ'内有定义, 且有 )(~)(x g x f )(0x x →. (1) 若A x h x f x x =→)()(lim 0, 则A x h x g x x =→)()(lim 0；(2) 若B x f x h x x =→)()(lim, 则B x g x h x x =→)()(lim 0.性质1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理9[]1 设α,β均为无穷小, 且~,~ααββ'', 且αβ''lim 存在,则 αβαβ''=lim lim .例9 求极限22201cos lim sin x x x x →- .解 因为 222()1cos ~;2x x -所以 2220sin cos 1lim x x x x -→=212)(2222=xx x .例10 计算30sin sin tan limxxx x -→. 解 由于 )cos 1(cos sin sin tan x xxx x -=-, 而 )0(~sin →x x x , )0(2~cos 12→-x x x , )0(~sin 33→x x x ,故有 212cos 1lim sin sin tan lim 32030=⋅⋅=-→→x x x x x x x x x .例[]611 计算01lim 1cos x x →-. 解 因为 211cos (0),2xx x -→ 且 22000222sin sin 1cos 22lim lim lim 111222x x x x x x x x x→→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪⎪⎝⎭. 由定理得，x →()2000221lim lim 111122x x x x x x →→→====.注1 对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.注2[]7常用等价代换公式: 当0→x 时, x x ~sin , x x ~arcsin , x x ~tan ,x x ~arctan , x e x ~1-, a x a x ln ~1-等.在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题.6.利用恒等变形法在求函数极限时，利用简单的恒等变形可使极限易于计算，恒等变形的手段有约分法有和有理化法. （1）约分法适用于计算0型函数极限，如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子（特别是零因子）时，可通过约简式计算极限值.例12[]3 计算21lim 1n x x x x nx →+++--的值（n 为正整数）.解 原式=21(1)(1)(1)lim1n x x x x x →-+-++--= 121lim 1(1)(1)n n x x x x x --→⎡⎤++++++++⎣⎦12n =+++=(1)2n n+. 注 要首先将分子分母因式分解，找到公因子（特别是零因子），接着即可约去公因子，求函数极限. （2）有理化法在求解存在根号的函数极限时，通过选择分子或分母，或分子分母同时有理化约去零因子，即可转化为一般的极限问题.例13[]4 计算：0lim x a x→ （其中0a >）.解 原式=0x →=22x →=x →=12a注 此题是通过分子有理化来简化运算，在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化.7.利用洛必达法则（1）0型不定式极限定理10[]1 若函数)(x f 和)(x g 满足： (i ) 0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ'内两者都可导, 且0)(≠'x g ；(iii ) A x g x f x x =''→)()(lim 0(A 可为实数, 也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. （2）∞∞型不定式极限 定理 11[]1 若函数f 和g 满足： (i ) ∞==→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x ；(ii ) 在点0x 的某空心邻域00(,)U x δ内两者都可导, 且0)(≠'x g ； (iii ) A x g x f x x =''→)()(lim 0(A 可为实数,也可为∞), 则=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0. 注[]8洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续使用, 直到求出所求极限. 但是, 对于其他不定式的极限（如,0∞⋅ 001,0,,∞∞∞-∞等类型）如果无法判断其极限状态, 则洛必达法则失败, 但只需经过简单变换, 它们一般可以化为00型和∞∞型的极限. 例 12[]3 计算：（1） 3arcsin lim;(arcsin )x x x x →- （2） 0lim ln x x x +→; （3）()1ln lim xx x →+∞.解 （1）这是一个型的不定式极限, 直接应用洛必达法则得:3000arcsin lim x x x x xx→→→-==)11(13lim2222+---=→x x x x x 61-=.（2）这是一个∞⋅0型的不定式极限, 用恒等变形xxx x 1ln ln =将它转化 为∞∞型不定式极限, 并应用洛必达法则得到 x x x ln lim 0+→0)(lim 11lim 1ln lim 0200=-=-==+++→→→x xx x xx x x .（3）这是个0∞型不定式极限.类似地先求其对数的极限（∞∞型）：(+ln limlim1ln x x x xx→∞→+∞+== 于是有()1ln lim xx x →+∞=e .注1 要注意条件，也即是说，在没有化为0,0∞∞时不可求导.注2 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数.注3 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误.8.利用泰勒展开式泰勒展开式[]9：若()f x 在0x =点有直到1n +阶连续导数,那么,,()2(0)(0)()(0)(0)...()2!n nn f f f x f f x x x o x n =+++++，对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式：(1)21()2!!n xn x x e x o x n =+++++ (2) 352112sin (1)()3!5!(21)!n n n x x x x x o x n --=-+++-+-(3)24221cos 1(1)()2!4!(2)!nnn x x x x o x n +=-+++-+(4)21ln(1)(1)()2nn n x x x x o x n -+=-++-+ (5)2(1)(1)(1)(1)1()2!!nn n x x x x o x n ααααααα---++=+++++(6)211x x ()1n n x o x x=+++++-上述展开式中的符号)(n x o 都有:0)(lim 0=→n n x xx o 例13[]1 计算 2240cos limx x x e x -→- .解 利用泰勒公式求解 245cos 1()224x x x o x =-++22521()28x x xeo x -=-++2452cos ()12x x x e o x --=-+ 因而求得2452440010()cos 112limlim 12x x x x x x e x x -→→-+-==-.9.利用拉格朗日中值定理定理12[]1 若函数f 满足如下条件： (1)f 在闭区间上连续;(2)f 在(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()()().f b f a f b aξ-=-此式变形可为:)10( ))(()()('<<-+=--θθa b a f ab a f b f例14[]10 求x x e e xx x sin lim sin 0--→.解 令x e x f =)( 对它应用中值定理得sin '()(sin )(sin )(sin (sin )) (01).x x e e f x f x x x f x x x θθ-=-=-+-<< 即sin '(sin (sin )) (01).sin x xe ef x x x x xθθ-=+-<<-xe xf =)(' 连续, ''0lim (sin (sin ))(0) 1.x f x x x f θ→∴+-==从而有 sin 0lim1.sin x xx e e x x →-=-结论求解函数极限时，不同的函数类型所采用的技巧是各不相同的.对同一题也可能有多种求法，有难有易，有时甚至需要结合上述各种方法，所以我们必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求我们要吃透其精髓，明了其中的道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时才可能得心应手.从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析,不能机械地用某种方法，对具体题目要具体分析，有时解题时可多种方法相结合，要学会灵活运用.参考文献：[1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M].第三版. 北京: 高等教育出版社, 2001.[2] 彭辉. 高等数学辅导[M].北京: 高等教育出版社, 2003.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 高等教育出版社, 1995.[4] 丁家泰. 微积分解题方法[M]. 北京: 北京师范大学出版社, 1981.[5] 刘三阳. 高等数学典型题解[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 2003.[6] 吉米多维奇. 数学分析习题集解题[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999.[7] 钱志良. 谈极限的求法[J]. 常州信息职业技术学院学报，2003, 4(17):24-26.[8] 张敏捷. 函数极限的几种特殊求法[J]. 黄石理工学院学报, 2008, 4(24):56-58.[9] 程鹏, 张洪瑞, 李占现. 求函数极限的方法[J]. 河南科技学院学报, 2008,9(36):133-134.[10] Rudin W. Principle of Mathematical Analysis[M]. New York: John Pearson Edution, 1990.致谢在本次论文的撰写中，我得到了崇金凤老师的精心指导，不管是从开始定方向还是在查资料准备的过程中，一直都耐心地给予我指导和意见，使我在总结学业及撰写论文方面都有了较大提高；同时也显示了老师高度的敬业精神和责任感.在此，我对崇金凤教授表示诚挚的感谢以及真心的祝福.四年大学生活即将结束，回顾几年的历程，老师们给了我们很多指导和帮助。