函数极限概念
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
函数极限相关知识点总结
函数极限相关知识点总结一、函数极限的定义1. 函数极限的定义在数学中，函数极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
具体来说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数值f(x)无限接近某个确定的数L，那么我们就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim_{x→a}f(x) = L。
换句话说，当x在逼近a时，f(x)的取值会趋于L。
这一定义可以用数学符号严格表述为：对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当0＜ |x-a| ＜δ时，都有 |f(x)-L| ＜ε成立。
2. 函数极限的右极限和左极限如果函数f(x)在点a的左侧和右侧分别有极限，则称这两个极限为函数f(x)在点a处的左极限和右极限。
左极限记作lim_{x→a^-}f(x)，右极限记作lim_{x→a^+}f(x)。
当左极限、右极限和函数值在点a处都存在且相等时，我们称函数f(x)在点a处存在极限，且极限为此值。
3. 函数极限的无穷极限当自变量x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷极限。
具体来说，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＞M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = ∞。
类似地，若对于任意正数M，存在一个正数N，使得当|x|＞N时，都有|f(x)|＜M成立，则我们称lim_{x→∞}f(x) = -∞。
4. 函数极限的存在性函数极限在很多情况下是存在的，但也有一些特殊的函数，它们在某些点处的极限并不一定存在。
比如，当函数在某一点的左右极限不相等时，该点处的极限可能不存在；当函数在某一点的极限为无穷大时，该点处的极限也可能不存在。
因此，在研究函数极限时，我们需要考虑函数在极限点处的性质，以确定函数极限是否存在。
二、函数极限的求解方法1. 用极限的定义求解函数极限函数极限的定义是要求对任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立。
高考数学中的极限及相关概念
高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。
极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。
为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。
一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。
例如，当x趋近于1时，y趋近于2。
在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。
二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。
例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。
在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。
三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。
具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。
连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。
四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。
在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。
结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。
在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握极限及其相关概念是现代数学研究的基础。
希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。
函数与极限知识总结
函数与极限知识总结1、定义极限（Limit）又称微积分的基本概念，它是指当函数f(x)的一些变量x逐渐靠近但又不等于一些特定的常数a时，函数f(x)的值一定要逐渐接近于一个特定的实数L，而接近的程度可以任意接近，即变量x靠近常数a时，函数f(x)的值即靠近常数L，记作$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$这就是极限的定义，a称作极限点，L称作极限值。
2、性质（1）不等式极限性质若$f(x)≥0,a>0$,当x靠近$a^{+}$时，则有$$f(x)≥\lim_{x \to a^{+}}f(x)≥0$$当x靠近$a^{-}$时，则有$$f(x)≤\lim_{x \to a^{-}}f(x)≤0$$（2）加法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$$（3）乘法极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B$,当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)g(x)]=AB$$（4）恒等式极限性质设$\lim_{x \to a}f(x)=A,\lim_{x \to a}g(x)=B,f(a)=B,g(a)=A $当x靠近a时，有$$\lim_{x \to a}[f(x)=g(x)]=A=B$$（5）极限连续性设$\lim_{x \to a}f(x)=L$当x靠近a时，有$$f(a)=L$$这就是极限连续性性质。
3、极限的计算（1）无穷小除以无穷大当$\frac{1}{x}\to 0$时，有$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x}=0$$（2）无穷大除以无穷大当$\frac{x}{y}\to 0$时，有。
函数的极限
1. x x0时函数极限的直观描述
考虑x无限逼近1时，f (x) x 1的变化趋势。
2
记为 lim(x 1) 2.
1
x1
0
1
考虑x无限逼近1时，f ( x) x2 1的变化趋势。 x1
记为
x2 1
lim
2.
x1 x 1
2
1 0
2. 自变量趋向无穷大时函数的极限定义 描述性极限定义
设对给定的常数A，当x无限逼近时， 函数f (x)无限逼近A,则称A为x 时f (x)的极 限，记为
易知：
几何意义
若极限lim f ( x) A存在，则称直线y A为 x
曲线y f (x)的水平渐近线。
说明
函数在无穷远处存在极限的几何意义就是它 的图像有水平渐近线.
lim
x x0
f (x)
A或f
(x)
A( x
x0 )
ε 0,δ 0,使当0 x x0 δ时, 恒有 f (x) A ε .
注意
1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义或 取值都无关;
2.正数的任意性与给定性.
3.的相应性与不唯一性
4. 几何解释:
y
当x在x
的去
0
心邻
A
域时,函数y f ( x) A
思考与总结: 在一点处极限与函数值的关系?
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
二、函数在无穷远处的极限
1. 自变量趋向无穷大时函数的变化趋势
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
函数极限的定义
第三节函数极限的定义本节要点一、函数在有限点处的极限二、函数在无穷大处的极限三、有极限函数的基本性质一、函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限的描述性定义211()x f x x 例如函数-=-x12yo21()1x f x x -=- 从图形中可以看出：尽管函数在 点 处没有定义，但当 不等于1而无限趋近于1时，相应的函数值无限接近于2.1x =x设函数 在点 的某个去心邻域 内有定义，如果在变量 ( ) 的过程中，对应的函数值无限接近于确定的常数 ，就说当时函数的极限为 ，并记作 .这种类型的极限称为函数在有限点处的极限.() y f x =0x A A 0lim ()→=x x f x A 0x x ≠0x x →()f x 0x x →“不论你要求f x ()与A 多么接近，只要x 与x 0充分靠近以后(但x x ≠0)，就能使f x ()与A 变得那么接近”，换句话说，就是“不论你要求f x A ()-多么小，只要x x -0足够小以后(但x x ≠0)，f x A ()-就能变得那么小”. 这最后一句话是可以用数学式子来精确刻划的.这个描述性定义是说：于是就得到函数在有限点处极限的精确定义 （ 语言）.δε-(),f x A ε-<()f x 0x ε00x x δ<-<定义 设函数 在点 的某个去心邻域中有定义， 如果存在常数 ，使得对于任意给定的正数 ，总存在 正数 ， 只要当 满足 时 ，都有 A δx 0lim ().x xf x A →=或 ()0 ().f x A x x →→那么常数 就称作函数 当 时的极限，记 为 A ()f x 0x x →().,||,,εδδε<-<-<>∃>∀A x f x x 有时当0000即()defx x A x f ⇔=→0lim 函数的极限定义也称函数极限的ε —δ 定义xyf (x )x A的几何解释 )(lim A x f x x =0→δ-0x δ+0x ,0>∀ε,0>∃δ时,||00δx x <-<当.)(ε<-A x f 恒有该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.函数的极限∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域, A +εA –εAxyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx δ-0x δ+0x ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε+A ε-A ε函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时, ||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<A xyx ε+A ε-A δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δ-0x δ+0x δδ-0xδ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的空心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx ε+A ε-A δεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx δε+A ε-A εε-A εεεδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.f (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当∃ x 0的去心δ 邻域, 时,||00δx x <-<Axyx εεδδ-0x δ+0x 函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 的纵坐标 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<Axyx εεδ-0x δ+0x δ-x δ+x δ函数的极限的几何解释 )(lim A x f x x =0→.εf (x )该邻域内所有点 x 对应的 f (x )落在 A 的 ε 邻域 内， 即相应的点(x,f (x )) 落在绿色区域内.∀A 的ε邻域, ∃ x 0的去心δ 邻域,.)(ε<-A x f 恒有,0>∀ε,0>∃δ当时,||00δx x <-<例如 设函数211().1 0 1x x f x x x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩x1 2yo 21()1x f x x -=-1δ-1δ+注：函数 在点 处的极限与函数在这一点是否有定义没有关系，它所反映的是在该点附近的变化趋势. ()f x 0x 则，()1lim 2,x f x →=()f x 可见，极限与的取值没有关系. ()10f =(1) lim x x C→0(2) lim x x x→0(4) lim cos x x x→2(3) lim(21)x x →+0(6) lim x x x →0(7) lim xx x e→12214(5) lim 21x x x →--+练习：写出下列函数在指定点处的极限。
函数极限的知识点总结
函数极限的知识点总结一、函数极限的定义在介绍函数极限的定义之前，我们先来了解一下“极限”的概念。
在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定的值时，函数的取值趋于的值。
如果函数f(x)在x趋于a的过程中，它的取值趋于一个确定的常数L，那么我们就称L是函数f(x)在点x=a处的极限，记作lim （x→a）f(x)=L。
这个定义可以用符号来表示为：对于任意的ε>0，存在一个δ>0，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称lim（x→a）f(x)=L。
根据极限的定义，我们可以得到一些结论：1. 如果一个函数在点x=a处的极限存在，那么它只有一个极限值。
2. 如果一个函数在点x=a处的极限不存在，那么它没有极限值。
3. 如果一个函数在点x=a处的极限存在且等于L，那么在点x=a的邻域内，函数的取值都趋于L。
函数极限的定义为我们提供了计算函数在某一点处的极限的依据，下面我们将介绍一些常见的计算方法。
二、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是最直接的计算函数极限的方法，当函数的极限存在时，我们可以直接将自变量的值代入函数中计算即可。
例如，计算lim（x→2）（3x+1），我们只需要将x=2代入函数中得到lim（x→2）（3x+1）=3*2+1=7。
2. 分式的极限对于分式函数的极限计算，我们通常采用有理化或者分子分母同除等方法，将分式转化为更简单的形式进行计算。
例如，计算lim（x→1）（x^2-1）/（x+1），我们可以将分式有理化为（x-1）（x+1）/（x+1），然后可以进行约分化简得到lim（x→1）（x-1）=0。
3. 夹逼定理夹逼定理也是一种常见的计算函数极限的方法，它适用于一些复杂函数的极限计算。
夹逼定理的原理是，如果函数f(x)在x=a的邻域内被另外两个函数g(x)和h(x)夹在中间，并且lim（x→a）g(x)=lim（x→a）h(x)=L，那么函数f(x)在x=a处的极限也存在且等于L。
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定义1的几何意义如下图所示，
f(x)
A+ε A A-ε
O
M
x
对任给的 0,在坐标平面上平行于 x 轴的两条直线y =A与y = A ，
围成以直线y =A为中心线、宽为2 的带形区域;定 义中的“当x M 时有
f(x)A ”表示:在直线x=M 的右方,曲 线 y = f(x) 全部落在这个带
形区域之内.
x
lim f (x) = A 或 f(x) A ( x )
x
这 两种函数极限的精确定义与定义 1相仿,只须把定义1 中的“x M”分别改为“xM”或“x M”即可。
" M"定义
x 情形 : lim f(x)=A x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x ) A .
x l x 0 f ( x ) = i A 或 f ( m >x ) 0 $A ( >x 0 当x 0 ) 。 0<|xx0|< 有|f(x)A|<
如何正面表述 lim f (x) A xx0
lim f (x) A
xx0
$ 0 0 , 0 , $ x 1 , 尽 管 0 x 1 x 0 , 但 f ( x 1 ) A 0
$ 0 ,当 0 x x 0 表 示 x x 0 的 过 程 .
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x接 现x0 近 程.度
二 x 趋 于 x 0 函 数 的 极 限 定 义
设 f为 定 义 在 点 x0的 某 空 心 邻 域 U0(x0)内 的 函 数 . 现 讨 论 当 x趋 于 x0(xx0)时 ,对 应 的 函 数 值 能 否 趋 于 某 个 定 数 A .这 类 函 数 极 限 的 精 确 定 义 如 下 :
②定义中 0|xx0|表x示 x0
所以x →x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态
并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近
的变化趋势,即 x →x0时f(x) 变化有无终极目标，
而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。
约定x →x0但 x≠x0
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
证 0, 取 M = 1 ,
则当xM时有
1 0 = 1 1 = ,
x
xM
y
O
x
所以lim 1 = 0. x x
p p 例 2 证 明 :1 )lim a r c ta n x = ;2 )lim a r c ta n x =.
x
2 x
2
证 任 给 0 ,由于
arctanxp2
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x11=3 1 2x1 2 2|2x1|
|
3 x
|
limx1 =1 n2x1 2
定:义 如l果 im f(x)=c,则直 y=c线 是函 y=f数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
二、自变量趋于有限值时函数的极限
先看一个例子 考x察 1时 ,函f数 (x)=2(x21)的变化趋
x1
这个函数虽在x=1处
直 线 y = A 为 中 心 线 ,宽 为 2 的 带 形 区 域 内 .
不 难 证 明 : 若 f 为 定 义 在 U ( ) 上 的 函 数 , 则
lim f( x )= A lim f( x )= lim f( x )= A .
x
x
x
例 1 证明lim 1 = 0.
x x
x 情形 :
lim f(x)=A
x
0, $M 0, 使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
x 情形 : lim f(x)=A x
0, $M 0,使当 x M时, 恒有 f ( x) A .
几何解释:
y = sin x x
A
M M
当 x M 或 x M 时 ,函 数 y = f(x ) 图 形 完 全 落 在 以
通过上面演示实验的观察: 当 x无限,增 f(x)大 =six 时 n无限接 0. 近
x 问题: 如何用数学语言刻划函数f(x)“无限接近”某数A?
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
M 0 ,x M 表 示 x 的 过 程 .
一般地,当 x趋于时函数极限的精确定义如下：
定义1 设 f 定义在[ a,)上的函数，A为定数.若对任给的 0,存在 正数M( a) ,使得当 xM 时有 f (x)A , 则 称函数 f 当 x 趋
定 义 2 ( 函 数 极 限 的 定 义 )
设函数f 在点x0的某空心邻域U0(x0;/)内有定义,
A为定数.若对任给的 0,存在正数(/),使得当
0 xx0 时有 f (x)A ,
则称函数f当x趋于x0以A为极限,记作
lim
xx0
f
(x)
=
A或
f
(x)
A(x
x0).
""定义
lim f (x) = A
0.02
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
而对于函数 g (x)=arctan x，
则当
x
趋于
时函数值
无限地接近于
p
2
我们 称 这 两个函数当 x 时有极限。
1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
第三章 函数极限
函数极限概念
函数极限的性质及存在条件
两个重要极限
无穷小量与无穷大量
第三章 函数极限
教学要求 1 理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义及 单侧极限概念； 2 掌握函数极限的基本性质及两个重要极 限； 3 理解广义极限、无穷大量及无穷小量等 概念。
第三章 函数极限
一 函数极限概念
2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y = f ( x )
图形完全落在以直
y
A
A
A
y=f(x)
线 y = A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 .
o x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y = f ( x )
图形完全落在以直
y
A
A
A
y=f(x)
线 y = A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 .
o
x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
3 . 定 义 2 中 的 不 等 式 0 x x 0 等 价 于 x U 0 ( x 0 ;) ,
2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y = f ( x )
图形完全落在以直
y
A
A
A
y=f(x)
线 y = A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 .
o x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε， 对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯 一的。δ由不等式 |f(x) －A|＜ε 来选定， 一般地，ε越小，δ越小
证 x11=3 1 2x1 2 2|2x1|
x 故不妨设|x|＞1， 而当|x|＞1时
|2 x 1 | 2 |x | 1 |x |
x11=3 1 3 1 3 2x1 2 2|2x1| 2| x | | x |
0 要使 x11
2x1 2
只须 |x|1和|x|3同时成立
令M =max{1, 3} 则 当 |x|M 时 ， 便 有
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
问题:函数 y = f ( x)在 x 的过程中 ,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
一、x趋于 时函数的极限
设函数f 定义在 [a,)上，类似于数列情形， 研究当自变量x趋于时，
对应的函数值能否无限地接近于某个定数 A.例如, 对于函数 f (x)= 1
x
0.2
我们画出它的 图像
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08