数列与函数的极限公式概念

极限与连续

一、数列的极限定义：

1、给定数列{}，如果当n 无限增大时，其通项无限趋过于某个常数A ，则称数列{}以A

为极限，记作：

=A 或者

(n

)

2、当数列{}以实数A 为极限时，称数列{}收敛于A ，否则称数列{}发散。 二、数列极限的性质：

1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若

=a ，则

=a

2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）

3）数列的极限：如数列： ,1

2,,432,322,212++n n

则它的极限为3

即：3121

lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n n

n n n n n

三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(

→

四、运算法则：

如果 A a n =∞

→lim B b n =∞

→lim

则： B A b a n ±=±∞

→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞

→)(lim )0(,lim

≠=∞→B B

A b a n

二、函数极限： ▪函数极限=A 的充分必要条件是==A ▪函数极限

=A 的充分必要条件是

=

=A

▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即

=

▪函数极限的性质：

1)极限的惟一性：若函数f(x)当

（或

）时有极限，则其极限惟一.

▪极限运算法则：

设limf(x)=A,limg(x)=B,则

1)lim[f(x)]=A B

2)lim[f(x)g(x)]=AB

3)当B时，lim=

4)lim[cf(x)]=climf(x) (c为常数)

5）lim[f(x)= [limf(x)(k为常数)

▪小结

．．：．当,时，有=

▪复合函数运算法则：=

▪数列的夹逼准则：设有3个数列{}{}{},满足条件：

1）（n=1,2,…）；

2）==a，则数列{}收敛，且=a

▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点的某去心邻域内有定义，且满足条件：

1）g(x)f(x)h(x);

2)=A,. 则极限存在且等于A.

▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.

▪两个重要的极限：

▪重要极限Ⅰ：=1

▪重要极限Ⅱ：(1+ =e , (1+x =e

▪无穷小的性质：

1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.

▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+(x). 其中(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.

▪无穷小的比较：设=(x) ，=都是自变量同一变化过程中的无穷小.

1.若lim =c (c

,是常数)，则称与是同阶无穷小.

2.若lim =1，则称与是等价无穷小，记作~.

3.若lim =0，则称与是高阶无穷小，记作=o()

4.若lim =c(c

,k 是正整数), 则称与是k 阶无穷小.

5.~的充要条件为-是(或)的高阶无穷小,即

6.,,,,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且~,

,lim 存在，则有lim = lim

▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x

时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~

; 1-cosx~ ；(1+x -1~ax(a

) ;-1~xlna(a

0,a

);

- 1~

常用等价无穷小：当变量0x →时，

21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~

,2

x x x x x x x x x e x x x x x -+- - 1~

11~,(1)1~x x x x x αα+-+-．

▪无穷大：函数无穷大无界

x时，若f(x)为无穷大，则为无穷小；

x时，若f(x)为无穷小，且在的某去心邻域内f(x), 则为无穷大.

[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]

▪初等函数：

连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.

如果f(x)是初等函数，是其定义区间内的点，则=f().

最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.

有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.

介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=.

零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)f(b))，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=0

求极限：洛必达法则：

1、0/0型：

方法：将分子分母分解因式（消去公因子）

或者将分子有理化（有理化），再求极限。

1、

方法：将分子分母同时除以自变量的最高次幂。