第1课 数列的概念及其通项公式
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
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；
机械可靠性基础（2学时） 掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto
数列概念及通项公式1
本例的关键是应用an= 本例的关键是应用
S1
(n=1)
题型三 利用递推公式求数列的通项 例3 根据下列条件 写出数列的通项公式： 根据下列条件,写出数列的通项公式 写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； ） ， ； （2）a1=1，an-1=2n-1an. ） ， ）将递推关系写成n-1个等式累 分析 （1）将递推关系写成 个等式累 累加法” 加，即“累加法”. 个等式相乘， （2）将递推关系写成 个等式相乘，即 ）将递推关系写成n-1个等式相乘 累积法”或用逐项迭代法. “累积法”或用逐项迭代法
点评
Sn-Sn-1 (n≥2)求 求 数列的通项， 特别要注意验证a 数列的通项 ， 特别要注意验证 1 的值是 否 满 足 “ n≥2” 的 通 项 公 式 ； 同 时 认 清 “ an+1-an=d（ 常数 ） (n≥2)”与 “ an-an-1=d （ 常数） 与 为常数， （d为常数，n≥2）”的细微差别 为常数 ） 的细微差别.
满足: 变式练习 已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足 log2(1+Sn)=n+1, 求数列 {an} 的通项公式 的通项公式.
3, n=1, an= n 2 , n≥2.
走进高考
湖北卷)古希腊人常用小石子 湖北卷 学例1 (2009·湖北卷 古希腊人常用小石子 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如： 在沙滩上摆成各种行状来研究数，例如：
例4 求满足条件 a1 = 1, an +1 的数列{a 的通项公式 的数列 n}的通项公式
an = (n ∈ N *) 1 + nan
分析：两边取倒数， 分析：两边取倒数，利用逐差法求即利用公式
人教版必修5第二章数列第一节 数列的概念及通项公式
S
n
f (n), Sn
f (an ), an
f
(Sn )
注意： n 1 是一定要单独计算；有时求出的结果可以合并，有时只能分开。
【例】①已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 2n2 3n ，则其通项公式 an =_______________
②数列{an}的前 n 项的和满足 Sn 4an 1，则其通项公式 an =______________
的最小值为________
6、已知数列{an}的首项 a1 2, 且 (n 1)an nan1 ，则 an ________
7、数列{an}满足 a1 2, an 4an1 3(n 2) ，则此数列的通项公式 an ________
8、已知数列{an}满足 a1
1,
an1
an an
2
, bn1
(n
)( 1 an
1), b1
（1）求证：数列{ 1 1} 是等比数列。 an
（2）若数列{bn} 是递增数列，求实数 的取值范围。
9．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．
10、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1，则 an＝________；
【例】①已知 a1 2, an1 an 2n ，则 an =______________ ②数列{an}中， a1 1, an an1 3n1(n 2) ，求 an 。
第1页共6页
20 ：叠乘法（又称累乘法）适用 an1 an f (n) ，类似等比数列。
【例】已知数列 {an } 中，
4、特殊数列求通项公式（学完等比与等差后掌握）
（1）观察法 【例】求 1 , 4 , 9 , 16 的通项公式 2 5 10 17
第一节 数列的概念及通项公式
答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
第一课数列概念及通项公式1
= n2 n 4 .
2
(所 相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
数列概念是什么 通项公式是怎样的
1数列概念是什么通项公式是怎样的数列的通项公式数列的通项公式：Sn=A1+A2+a3+……+An，按肯定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个详细式子(含有参数n)表示出来，(an=f(n))称作该数列的通项公式。
正如函数的解析式一样，通过代入详细的n值便可求知相应an项的值。
而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。
对于一个数列{an}，假如任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这肯定值差为公差,记为d;从第一项a1到第n 项an的总和，记为Sn。
数列的相关学问内容1、数列极限的求法：利用定积分求极限，利用幂级数求极限;利用简洁的初等函数，常能求得一些特别形式的数列极限，利用级数收敛性判定极限，存在由于级数与数列在形式上可以相互转化等。
2、数列求和的方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减(等差X等比)、公式法、迭加法。
以及分组求和法个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成，求和时可用分组求和法，分别求和而后相加。
3、通项公式和递推公式的区分：通项公式是把项数直接代入可以1求得项值的公式。
递推公式指第n项，与数列的前n项和存在肯定的关系，把n代入后，并不能直接求和an的值的一种公式。
数列和函数的关系1.联系：他们的变量都满意函数定义，都是函数。
可以有an=f(n).函数和数列的问题可以相互转化。
函数问题转化成数列问题来解决，就是数列法。
如，先熟悉数列极限，再熟悉函数极限。
数列的问题转化成函数问题来解决，就是函数法。
如，用求函数最值的方法来求数列的最值。
又如，an=n^2的图象是分布在抛物线y=x^2右支上的点。
2.区分：数列是离散型函数，自变量是正整数。
定义域是正整数集及其子集。
图象是孤立的点。
函数是连续型函数居多，尤其是初等函数。
自变量是实数。
定义域是实数及其子集。
图象是不间断的曲线(有间断点的除外)。
第1课时 数列的概念及通项公式
《第1课时数列的概念及通项公式》一、学习目标1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．二、导学指导与检测课前预习课本（1-3）页知识点一数列及其有关概念1．一般地，我们把按照排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第个位置上的数叫做这个数列的第项，用a n表示．其中第1项也叫做．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{ }．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？知识点二数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列知识点三函数与数列的关系数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为a n＝f(n)．课前预习课本（4-5）页知识点四数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项都的数列知识点五通项公式1．如果数列{a n}的第n项a n与它的之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的．2．通项公式就是数列的，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．思考既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？1．1,1,1,1是一个数列．()2．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}．()3．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．()4．a n与{a n}表达不同的含义．()课内探究一、数列的有关概念和分类例1下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)1,0.84,0.842,0.843，…；(2)2,4,6,8,10，…；(3)7,7,7,7，…；(4)13，19，127，181，…；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(6)0，－1,2，－3,4，－5，….反思感悟(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－1，12，－13，14；(2)12，2，92，8；(3)0,1,0,1；(4)9,99,999,9 999.三、数列通项公式的简单应用三、巩固诊断1．(多选)下列说法正确的是()A．数列可以用图象来表示B．数列的通项公式不唯一C．数列中的项不能相等D．数列可以用一群孤立的点表示2．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是()A．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B．a n＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*C．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D．a n＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*3．数列23，45，67，89，…的第10项是()A.1617 B.1819 C.2021 D.22234．设a n＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋…＋1n2(n∈N*)，则a2等于()A.14 B.12＋13 C.12＋13＋14 D.12＋13＋14＋155．323是数列{n(n＋2)}的第________项．6．若数列{a n}的通项公式是a n＝3－2n，n∈N*则a2n＝________；a2a3＝________.7．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 020－3n，则使a n>0成立的正整数n的最大值为________．8.写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，85，－157，249，….9.在数列{a n}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求a2 020；(3)2 020是否为数列{a n}中的项？四、堂清、日清记录今日之事今日毕日积月累成大器。
必修五2-1第1课时数列的概念与通项公式
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
：1,2,3,4和1,2,3,4，…是相同的数列吗？ 提示：不是．数列1,2,3,4表示有穷数列，而1,2,3,4，…表 示无穷数列．
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3． 数列的通项公式
序号n 之间的关系可以用一个式子来 如果数列{an}的第n项与______ 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 另外，数列还可以用列表法、图象法、递推公式法等表示．
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题型一
数列的有关概念
【例1】 下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0,1,2,3,4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列； (4)数列1,3,5,7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1. [思路探索] 紧扣数列的有关概念完成判断．
课前探究学习
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自学导引
1． 数列的概念 一定顺序 排列的一列数称为数列；数列的一般形 (1)数列：按照_________ 式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 每一个数 叫做这个数列的项．排在第一位的数 (2)项：数列中的_________ 首项 ，排在第n位的数称为 称为这个数列的第1项(通常也叫做_____) 第n项 ． 这个数列的_______
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(1)数列的项与项数 数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个 数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即f(n)； 而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值 f(n)对应的自变量的值，即n. (2)数列表示法的理解 数列{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一 个集合，只是借用了集合的表示形式，与集合表示有本 质的区别．
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学习札记
第2章 数列
【知识结构】
重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n 项和与通项公式的关系及其求法； 难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；
等差等比数列的应用和性质。
第1课 数列的概念及其通项公式
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．理解数列的通项公式的概念，并会
用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；
4．提高观察、抽象的能力．
【自学评价】
1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number). 【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，
因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
思考:简述数列与数集的区别.
__________________________________________________________________________. 2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n
项，….
3．数列的分类：
按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项
与 之间的关系可以用一个
公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term ）. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式有时是
不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
2
)1(11
+-+=n n a ，
也可以是|2
1
cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项. 5. 数列的图像都是一群孤立的点.
从映射、函数的观点来看，数列可
以看作是一个定义域为正整数集N *
（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：____________________ ____________________________________.
【精典范例】
学习札记 【例1】 已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项． 【解】
【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
(1);(2)(1)1
n n n n
a a n n =
=-⋅+. 【解】
【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）
211⨯，-321⨯， 431⨯，-5
41⨯；
（2）0, 2, 0, 2 分析：写出数列的通项公式，就是寻找n a 与项数n 的对应关系()n a f n =
【解】
点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;
(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n 相关且便于表达的关系.
【追踪训练一】
1．下列解析式中不．
是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ ） A. (1)n n a =- B. 1(1)n n a +=- C. 1(1)n n a -=- D. {
11n n a n =
-，为奇数，为偶数
2
，
的一个通项公式是 （ ）
A. n a =
B. n a
C. n a =
D.
n a =3．数列
1524354863
,,,,,,25101726
的一个通项公式为___________________. 【选修延伸】
【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.
(1)求数列{a n } (2)88是否是数列{a n }中的项
. 【解】
思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？ 例如：已知数列{}n a 的通项为27n a n =-，判断27()m m N +∈是否为数列中的项？ 提示：可把27()m m N +∈化成通项公式的形式，即272(7)7m m +=+-，因为
m N ∈，所以7m N +∈满足通项公式的意义，所以27m +是数列中的第7m +项． 【追踪训练二】
1．已知数列{}n a ，
1
()(2)
n a n N n n +=∈+，那么1120
是这个数列的第 （ ）项.
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12 2．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则
它的定义域为 （ ） A. 非负整数集 B. 正整数集
C. 正整数集或其子集
D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n
学习札记
3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且， 则17a = .。