高一数学必修5：数列的概念与通项公式
人教版必修5第二章数列第一节 数列的概念及通项公式
S
n
f (n), Sn
f (an ), an
f
(Sn )
注意： n 1 是一定要单独计算；有时求出的结果可以合并，有时只能分开。
【例】①已知数列{an}的前 n 项的和 Sn 2n2 3n ，则其通项公式 an =_______________
②数列{an}的前 n 项的和满足 Sn 4an 1，则其通项公式 an =______________
的最小值为________
6、已知数列{an}的首项 a1 2, 且 (n 1)an nan1 ，则 an ________
7、数列{an}满足 a1 2, an 4an1 3(n 2) ，则此数列的通项公式 an ________
8、已知数列{an}满足 a1
1,
an1
an an
2
, bn1
(n
)( 1 an
1), b1
（1）求证：数列{ 1 1} 是等比数列。 an
（2）若数列{bn} 是递增数列，求实数 的取值范围。
9．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．
10、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2n＋1，则 an＝________；
【例】①已知 a1 2, an1 an 2n ，则 an =______________ ②数列{an}中， a1 1, an an1 3n1(n 2) ，求 an 。
第1页共6页
20 ：叠乘法（又称累乘法）适用 an1 an f (n) ，类似等比数列。
【例】已知数列 {an } 中，
4、特殊数列求通项公式（学完等比与等差后掌握）
（1）观察法 【例】求 1 , 4 , 9 , 16 的通项公式 2 5 10 17
高中数学《数列概念与通项公式》课件
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2．数列与函数的关系 对任意数列{an}，其每一项与序号都有对应关系，见下 表：
序号 1 2 3 4 … n … 项 a1 a2 a3 a4 … an …
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□ 因此，数列也可以看成是定义域为 02 正整数集 N* (或 □ □ 它的 03 有限子集{1,2,3，…，n} )的函数 04 an＝f(n) ，
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(6)6,6,6，…； (7)0，－1,0，…，cosn2π，…. 解 (1)是无穷递减数列． (2)是有穷递增数列． (3)是无穷数列，也是摆动数列． (4)是有穷递增数列． (5)是无穷数列，也是摆动数列． (6)是无穷数列，也是常数列． (7)是无穷数列，也是摆动数列．
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(6)32，1，170，197，…；
(7)12，2，92，8，…. 解 (1)∵各项减去 1 后为正偶数，∴an＝2n＋1.
(2) ∵ 每 一 项 的 分子 比 分 母少 1， 而 分 母 组成 数 列
21,22,23,24，…，∴an＝2n2－n 1.
解 数列 0.6,0.66,0.666,0.6666，…的通项公式为 an＝23
1－110n.
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高一数学必修5：数列(知识点梳理)
第二章：数列一、数列的概念1、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成a a a a n ,,,,,123，简记为数列a n {}，其中第一项a 1也成为首项；a n 是数列的第n 项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集*N （或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.2、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.3、通项公式：如果数列a n {}的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成=a f n n ()，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.4、数列的函数特征：一般地，一个数列a n {}，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即>+a a n n 1，那么这个数列叫做递增数列;高一数学必修5：数列（知识点梳理）如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1n n a a +<，那么这个数列叫做递减数列; 如果数列的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.5、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．二、等差数列1、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1n n a a d +-=（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.2、等差数列的通项公式：设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则通项公式为：()()()11,n m a a n d a n m d n m N +=+-=+-∈、.3、等差中项：（1）若a A b 、、成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且=2a bA +; （2）若数列为等差数列，则12,,n n n a a a ++成等差数列，即1n a +是与2n a +的等差中项，且21=2n n n a a a +++；反之若数列满足21=2n n n a a a +++，则数列是等差数列.4、等差数列的性质：（1）等差数列中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a +=+，若2m n p +=，则2m n p a a a +=；（2）若数列和{}n b 均为等差数列，则数列{}n n a b ±也为等差数列；（3）等差数列{}n a 的公差为d ，则{}0n d a >⇔为递增数列，{}0n d a <⇔为递减数列，{}0n d a =⇔为常数列.5、等差数列的前n 项和n S ：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（3）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则前n 项和()()111=.22n n n a a n n S na d +-=+6、等差数列前n 和的性质：（1）等差数列{}n a 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等差数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）等差数列{}n a 的前n 项和()2111==,222n n n d d S na d n a n -⎛⎫++- ⎪⎝⎭当0d ≠时，n S 可看作关于n 的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列{}n a 共有2n+1（奇数）项，则()11==,n S n S S a S n++-奇奇偶偶中间项且若等差数列{}n a 共有2n （偶数）项，则1==.n nS a S S nd S a +-偶奇偶奇且7、等差数列前n 项和n S 的最值问题：设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，则（1）100a d ><且（即首正递减）时，n S 有最大值且n S 的最大值为所有非负数项之和； （2）100a d <>且（即首负递增）时，n S 有最小值且n S 的最小值为所有非正数项之和.三、等比数列1、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0q ≠）.即()1n na q q a +=为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.2、等比数列的通项公式：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则通项公式为：()11,,n n m n m a a qa q n m n m N --+==≥∈、.3、等比中项：（1）若a A b 、、成等比数列，则A 叫做a 与b 的等比中项，且2=A ab ; （2）若数列{}n a 为等比数列，则12,,n n n a a a ++成等比数列，即1n a +是与2n a +的等比中项，且212=n n n a a a ++⋅；反之若数列{}n a 满足212=n n n a a a ++⋅，则数列{}n a 是等比数列.4、等比数列的性质：（1）等比数列{}n a 中，若(),m n p q m n p q N ++=+∈、、、则m n p q a a a a ⋅=⋅，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；（2）若数列{}n a 和{}n b 均为等比数列，则数列{}n n a b ⋅也为等比数列；（3）等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}1100101na a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨><<⎩⎩或为递增数列，{}1100011n a a a q q ><⎧⎧⇔⎨⎨<<>⎩⎩或为递减数列， {}1n q a =⇔为常数列.5、等比数列的前n 项和：（1）数列{}n a 的前n 项和n S =()1231,n n a a a a a n N -++++++∈；（2）数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系：11,1.,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （3）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为()0q q ≠，则()11,1.1,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩由等比数列的通项公式及前n 项和公式可知，已知1,,,,n n a q n a S 中任意三个，便可建立方程组求出另外两个.6、等比数列的前n 项和性质：设等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为()0q q ≠，则 （1）连续m 项的和仍组成等比数列，即12122,,m m m m a a a a a a ++++++++21223m m m a a a +++++,仍为等比数列（即232,,,m m m m m S S S S S --成等差数列）；（2）当1q ≠时，()()11111111111111n n n n n a q a a a a aS q q q qq q q q q -==⋅-=-⋅=⋅-------， 设11a t q =-，则n n S tq t =-.四、递推数列求通项的方法总结1、递推数列的概念：一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.2、两个恒等式：对于任意的数列{}n a 恒有：（1）()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-（2）()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈3、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一（公式法）：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥类型二（累加法）：已知：数列的首项,且()()1,n n a a f n n N ++-=∈，求n a 通项.给递推公式()()1,n n a a f n n N ++-=∈中的n 依次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子：()()()()21324311,2,3,,1.n n a a f a a f a a f a a f n --=-=-=-=-利用公式()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-可得：()()()()11231.n a a f f f f n =+++++-类型三（累乘法）：已知：数列的首项,且()()1,n na f n n N a ++=∈，求n a 通项. 给递推公式()()1,n na f n n N a ++=∈中的n 一次取1,2,3，……，n-1,可得到下面n-1个式子： ()()()()23412311,2,3,,1.nn a a aa f f f f n a a a a -====- 利用公式()23411231,0,nn n n a a a a a a a n N a a a a +-=⨯⨯⨯⨯⨯≠∈可得： ()()()()11231.n a a f f f f n =⨯⨯⨯⨯⨯-类型四（构造法）：形如q pa a n n +=+1、n n n q pa a +=+1（q p b k ,,,为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。
必修5-等比数列的概念及通项公式(实用)
是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，… 1，0，1，0，1，… 0，0，0，0，0，…
是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列
不是等比数列
1, x , x , x , x , ( x 0)
2 3 4
是,公比 q= x
公比q是每一项（第2项起）与它的前一项的比；防止把被除数 与除数弄颠倒；公比可以是正数，负数，可以是1，但不可以为0
等差数列通项公式的推导: （不完全归纳）
a3 a2 d a1 2d
a4 a3 d a1 3d
方法:(累加法)
an an1 d
a n a1 (n 1)d, n N
a2 a1 d a3 a 2 d a 4 a3 d … … an1 an2 d
公式强化 例1：在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
4
3 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 16 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 36 729 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q 2
其数学表达式
an 0
或
an q(n 2) an1
an1 * q(n N ) an
(判断一个数列是否为等比数列的依据)
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 1，3，9，27，81，…
1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16
( n, m N )
*
生活 应用
高中数列知识点总结公式大全
高中数列知识点总结公式大全一、数列的概念与简单表示法。
（一）数列的定义。
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），往后各项依次叫做这个数列的第2项，第3项，…，第n项，…。
（二）数列的表示法。
1. 列举法。
将数列中的项一一列举出来表示数列的方法。
例如数列1,3,5,7,9,·s。
2. 通项公式法。
如果数列{a_n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
例如数列a_n=2n - 1，n∈ N^*就表示首项为1，公差为2的等差数列。
3. 图象法。
数列是特殊的函数，可以用图象来表示。
以序号n为横坐标，相应的项a_n为纵坐标，描点画图来表示数列。
其图象是一群孤立的点。
4. 递推公式法。
如果已知数列{a_n}的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项a_n与它的前一项a_n - 1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
例如斐波那契数列a_1=1,a_2=1,a_n=a_n - 1+a_n -2(n≥slant3,n∈ N^*)。
二、等差数列。
（一）等差数列的定义。
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2,n∈ N^*)。
（二）等差数列的通项公式。
a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，d为公差。
1. 推广公式。
a_n=a_m+(n - m)d，(m,n∈ N^*)。
（三）等差数列的前n项和公式。
1. S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}2. S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d（四）等差数列的性质。
1. 若m,n,p,q∈ N^*，且m + n=p + q，则a_m+a_n=a_p+a_q。
数列初步数列的定义通项公式与性质
数列初步数列的定义通项公式与性质数列是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍数列的定义、通项公式以及数列的一些性质。
1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数，这组数按照一定的次序排列并形成一个序列。
数列可以用形如{a₁,a₂,a₃,...,aₙ}的符号表示，其中a₁、a₂、a₃...分别表示数列的前n项。
2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个公式来表示数列中第n项与其序号n 之间的关系。
通常用aₙ表示数列的第n项，则数列的通项公式常用一般项公式表示。
对于等差数列来说，其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中a₁为第一项，d为公差。
同样的，等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中a₁为第一项，r为公比。
3. 数列的性质数列有许多重要的性质，下面列举几个常见的性质：- 等差数列的前n项和公式：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2其中Sₙ表示数列的前n项和。
- 等差数列的性质：（1）若数列是等差数列，则其相邻两项之差是相等的。
（2）若数列是等差数列，则数列的前n项和等于数列的后n项和。
- 等比数列的求和公式：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中Sₙ表示数列的前n项和。
- 等比数列的性质：若数列是等比数列且公比不为0，则其相邻两项之比是相等的。
4. 数列在实际问题中的应用数列作为一种数学工具，在实际问题中有广泛的应用。
例如，利用数列的通项公式和性质，我们可以解决各种问题，如等差数列在算术问题和几何问题中的应用，等比数列在利滚利、递增递减等问题中的应用。
综上所述，数列的定义、通项公式和性质是数学中重要的概念。
熟练掌握数列的基本概念和相关公式，对于解决各种实际问题具有重要的意义。
希望本文对读者理解数列有所帮助。
第一节 数列的概念及通项公式
答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
数列的递推公式和通项公式总结
数列的递推公式和通项公式总结一、数列的概念1.数列：按照一定顺序排列的一列数。
2.项：数列中的每一个数。
3.项数：数列中数的个数。
4.首项：数列的第一项。
5.末项：数列的最后一项。
6.公差：等差数列中，相邻两项的差。
7.公比：等比数列中，相邻两项的比。
二、数列的递推公式1.等差数列的递推公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的递推公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的递推公式：an = an-1 + an-2–an：第n项–an-1：第n-1项–an-2：第n-2项三、数列的通项公式1.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d–an：第n项–a1：首项2.等比数列的通项公式：an = a1 * q^(n-1)–an：第n项–a1：首项3.斐波那契数列的通项公式：an = (1/√5) * [((1+√5)/2)^n - ((1-√5)/2)^n]–an：第n项四、数列的性质1.收敛性：数列的各项逐渐接近某个固定的数。
2.发散性：数列的各项无限增大或无限减小。
3.周期性：数列的各项按照一定周期重复出现。
五、数列的应用1.数学问题：求数列的前n项和、某项的值、数列的收敛性等。
2.实际问题：人口增长、贷款利息计算、等差数列的求和等。
六、数列的分类1.有限数列：项数有限的数列。
2.无限数列：项数无限的数列。
3.交错数列：正负交替出现的数列。
4.非交错数列：同号连续出现的数列。
5.常数数列：所有项都相等的数列。
6.非常数数列：各项不相等的数列。
综上所述，数列的递推公式和通项公式是数列学中的重要知识点，通过这些公式，我们可以求解数列的各种问题。
同时，了解数列的性质和分类，有助于我们更好地理解和应用数列。
习题及方法：1.习题一：已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。
答案：a10 = 3 + (10-1) * 2 = 3 + 18 = 21解题思路：利用等差数列的递推公式an = a1 + (n-1)d，将给定的首项和公差代入公式，求得第10项的值。
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第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式
双基达标
(限时20分钟) 1．下列说法中，正确的是
( )．
A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
C ．数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫n ＋1n 的第k 项是1＋1
k D ．数列0,2,4,6,8，…，可表示为a n ＝2n (n ∈N *)
解析 A 错，{1,3,5,7}是集合．B 错，是两个不同的数列，顺序不同．C 正确，a k ＝k ＋1k
＝1＋1
k .D 错，a n ＝2(n －1)(n ∈N *)．
答案 C
2．已知数列3，3，15，21，33，…，3(2n －1)，…，则9是这个数列的 ( )． A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项
D ．第15项
解析 令a n ＝3(2n －1)＝9，解得n ＝14.
答案 C
3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于
( )．
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和，即a n ＋a n ＋1＝a n ＋2，所以x ＝5＋8＝13. 答案 C
4．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 解析 a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，n ＝24. 答案 24
5．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝1
2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递
减”)．
解析 由已知a 1>0，a n ＋1＝1
2a n (n ∈N *)，
得a n >0(n ∈N *)．
又a n ＋1－a n ＝12a n －a n ＝－1
2a n <0，
∴{a n }是递减数列． 答案 递减
6．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，1
3， (2)
53，( )，1715，2624，3735
，… (3)2,1，( )，1
2，…
(4)32，94，( )，65
16
，… 解 (1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则 序号 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 数
912 812 712 ( ) 512 4
12
于是括号内填6
12，而分子恰为10减序号．
故括号内填1
2，通项公式为a n ＝10－n 12.
(2)
53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1
，
3735＝36＋136－1
. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差． 故括号内填108，通项公式为a n ＝(n ＋1)2＋1(n ＋1)2－1
.
(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2
n
.
(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以应填31
8，数列的通项公式为a n ＝
n ＋1
2
n . 综合提高
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7．下列命题：
①已知数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1
120是这个数列的第10项，且最大项为第
一项．
②数列2，5，22，11，…的一个通项公式是a n ＝3n －1. ③已知数列{a n }，a n ＝kn －5，且a 8＝11，则a 17＝29. ④已知a n ＋1＝a n ＋3，则数列{a n }是递增数列． 其中正确命题的个数为
( )．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
解析 对于①，令a n ＝
1n (n ＋2)＝1
120
⇒n ＝10，易知最大项为第一项．①正确．
对于②，数列2，5，22，11，…变为2，5，8，11，…⇒3×1－1，3×2－1，3×3－1，3×4－1，…⇒a n ＝3n －1，②正确；
对于③，a n ＝kn －5，且a 8＝11⇒k ＝2⇒a n ＝2n －5⇒a 17＝29.③正确； 对于④，由a n ＋1－a n ＝3>0，易知④正确． 答案 A
8．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
( )．
A ．289
B ．1 024
C ．1 225
D ．1 378
解析 由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝n
2(n ＋1)，同理可得正方形数构成的数列
通项b n ＝n 2，而所给的选项中只有1 225满足a 49＝49×50
2＝b 35＝352＝1 225.故选C.
答案 C
9．数列35，12，511，3
7，…的一个通项公式是________．
解析 数列可写为：35，48，511，6
14
，…，
分子满足：3＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
分母满足：5＝3×1＋2,8＝3×2＋2,11＝3×3＋2,14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋2
3n ＋2.
答案 a n ＝n ＋2
3n ＋2
10．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.
解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， ∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n . 答案
n
11．已知数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫9n 2－9n ＋29n 2
－1. (1)求这个数列的第10项； (2)
98
101
是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －2
3n ＋1.
令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝28
31. (2)解 令
3n －23n ＋1＝98
101
，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98
101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝
3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－3
3n ＋1， 又n ∈N *，∴0＜
3
3n ＋1
＜1，∴0＜a n ＜1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令1
3＜a n ＝3n －23n ＋1＜23，
∴⎩⎨
⎧
3n ＋1＜9n －6，9n －6＜6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ＞76，n ＜8
3.
∴76＜n ＜83.
∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，23上有数列中的项，且只有一项
为a 2＝4
7.
12．(创新拓展)已知{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1，是否存在m ，k ∈N *，满足a m ＋a m ＋1＝a k ？如果存在，求出m ，k 的值；如果不存在，说明理由． 解 由a m ＋a m ＋1＝a k ，得6m ＋5＝3k ＋1， 整理后，可得k －2m ＝43，
∵m ，k ∈N *，∴k －2m 为整数， ∴不存在m ，k ∈N *使等式成立．。