数列的概念及通项公式
数列的通项公式与部分和公式
数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
数列的通项公式及其应用
数列的通项公式及其应用数列是数学中常见的概念，它由一系列有规律的数字组成。
数列可以在各种数学问题中起到重要的作用，而数列的通项公式是描述数列中每一项与项数之间的关系的公式。
在本文中，我将介绍数列的通项公式的概念和应用，并通过实例来帮助读者更好地理解。
一、数列的基本概念数列是由一系列数字按照一定的顺序排列而成。
我们可以将数列记作{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁，a₂，a₃等表示数列中的每一项。
数列的项数可以通过小写字母n表示，即数列中的第n项记作aₙ。
数列的前n项和可以用Sn表示，即Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ。
数列的通项公式是用来表示数列中每一项与项数之间关系的公式。
通项公式的形式因数列的类型而各异，接下来我将详细介绍一些常见的数列及其通项公式。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列的通项公式为an=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
应用举例：假设一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的第10项。
按照通项公式an=a₁+(n-1)d，代入a₁=2，d=3，n=10，可得：a₁₀ = 2 + (10-1) * 3= 2 + 9 * 3= 2 + 27= 29因此，该等差数列的第10项为29。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列的通项公式为an=a₁*r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
应用举例：假设一个等比数列的首项为3，公比为2，求该数列的第8项。
按照通项公式an=a₁*r^(n-1)，代入a₁=3，r=2，n=8，可得：a₈ = 3 * 2^(8-1)= 3 * 2^7= 3 * 128= 384因此，该等比数列的第8项为384。
四、斐波那契数列的通项公式及应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
斐波那契数列的通项公式为an=an-1+an-2，其中a₁=1，a₂=1。
数列的极限与通项公式
数列的极限与通项公式数列是数学中的一个重要概念，经常在各个领域中被使用。
数列的极限与通项公式是数列研究中的关键内容，本文将介绍数列的基本概念，探讨数列极限及其性质，最后讲解数列的通项公式及应用。
一、数列的基本概念数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
一般用字母表示数列的一般项，常用形式为{a_n}或(a_1, a_2, a_3, ...)。
其中，a_n表示数列的第n项，n表示项的顺序。
二、数列的极限数列的极限是指当数列中的项数趋于无穷大时，数列中的项的极限值。
记作lim(a_n)或a_n→∞。
1. 数列的极限存在若存在一个实数L，使得对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，当n>N时，有|a_n - L| < ε，则称L为数列{a_n}的极限，并记作lim(a_n) = L。
2. 数列的极限性质（1）极限的唯一性：如果数列{a_n}有极限，则极限是唯一的。
（2）夹逼准则：若数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足a_n ≤ b_n ≤ c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。
（3）有界性：若数列{a_n}有极限，则数列是有界的。
（4）收敛数列与发散数列：若数列{a_n}有极限，则称之为收敛数列；反之，称为发散数列。
三、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列第n项的一般形式。
通过通项公式，我们可以根据项的顺序n计算数列中的特定项的值。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。
若等差数列的首项为a_1，公差为d，则它的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。
若等比数列的首项为a_1，公比为q，则它的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)。
3. 斐波那契数列的通项公式斐波那契数列是指首项和第二项都为1，从第三项开始，每一项都是前两项之和的数列。
数列的通项公式和应用
数列的通项公式和应用数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数字组成。
在数列中，每个数字被称为数列的项，而数列中的规律可以通过通项公式来表示和描述。
本文将介绍数列的通项公式及其应用，并探讨其中的数学理论和实际应用。
一、数列的定义和基本概念数列是一组按照特定规律排列的数，通常以 a₁, a₂, a₃,..., aₙ 的形式表示。
其中 a₁, a₂, a₃,..., aₙ 分别表示数列的第一项、第二项、第三项、...、第 n 项。
数列中的规律可以通过第 n 项与前面项之间的关系来确定。
二、等差数列的通项公式及应用等差数列是指数列中连续两个项之间都有相同的差值。
设等差数列的第一项为 a₁，公差为 d，则它的通项公式可以表示为 an = a₁ + (n-1)d，其中 an 表示数列的第 n 项。
等差数列的通项公式在实际中有广泛的应用。
例如，在财务分析中，等差数列可以用来计算投资的回报率。
此外，在物理学和工程学中，等差数列可以用来描述速度、加速度等连续变化的量。
三、等比数列的通项公式及应用等比数列是指数列中连续两个项之间的比值都相同的数列。
设等比数列的第一项为 a₁，公比为 q，则它的通项公式可以表示为 an = a₁ *q^(n-1)，其中 an 表示数列的第 n 项。
等比数列的通项公式在实际中也有广泛的应用。
例如，在复利计算中，等比数列可以用来计算贷款或投资的本息总额。
此外，在生物学和经济学中，等比数列可以用来描述生长速度、复利增长等连续变化的现象。
四、斐波那契数列及其应用斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项都为 1，而后面的每一项都是其前两项的和。
斐波那契数列的通项公式可以表示为 an = an-1 + an-2，其中 a₁ = 1，a₂ = 1。
斐波那契数列在实际中有广泛的应用。
例如，在自然界中，许多植物的生长规律和动物的繁殖规律都可以用斐波那契数列来描述。
此外，在计算机科学和金融学中，斐波那契数列也被广泛应用于算法设计和金融模型的建立。
第一节 数列的概念及通项公式
答案：an＝2×3n
4．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝ ________.
解析：因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)． 两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝2n2－1(n≥2)． 又由题设可得a1＝2，满足上式， 从而{an}的通项公式为an＝2n2－1(n∈N *)． 答案：2n2－1(n∈N *)
以上各式累加得，an－a1＝1×1 2＋2×1 3＋…＋n－11n ＝1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1＝1－n1. ∴an＋1＝1－n1，∴an＝－n1(n≥2)． 又∵当n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－n1.
[解题方略] 对于形如 an＋1－an＝f(n)的递推关系的递推数列，即数列相 邻两项之差是一个关于 n 的函数式，可以直接对等式两边求和 进行解答，也可写为 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＋a1 的形式进行迭代．
[一“点”就过] 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn －1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合， 则应该分n＝1与n≥2两段来写．
所以数列{an}的通项公式是an＝－2n＋8(n∈N *)． 答案：－2n＋8
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则an＝________.
解析：当n≥2时，Sn－1＝2n－1，两式相减， 得an＝2n－2n－1＝2n－1.又当n＝1时，a1＝2， 不满足an＝2n－1，所以an＝22n，－1n，＝n1≥，2. 答案：22n，－1n，＝n1≥，2
数列的概念和通项公式
第一节 数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用a n 与a n －1的关系式表示(如a n ＝2a n －1＋1，n >1)，则这个关系式称为数列的递推公式．5．a n与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为an ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， (n ＝1)，S n －S n －1， (n ≥2).例如: 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 【解 析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1] ＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n －1 (n ≥2).考点一、由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…；(2)9,99,999,9999,99999, …；根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…；考点二、由数列的递推关系求通项角度一、已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .[针对训练]已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2， 由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)·(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n .因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.针对练习：已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．角度二 累加法，形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n 2．已知a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，求a n .(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)．角度三 构造数列法，形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求a n .已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n.(1)求a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式．若S n 满足的条件变为如下形式，则又如何求a n?(1)S n ＝n 2＋n ＋1； (2)log 2(2＋S n )＝n ＋1.课后作业 一、选择题1．如图5－1－2，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()图5－1－2A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)22．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 10＝( ) A ．1 024 B ．1 023 C ．2 048 D ．2 0473．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．2n －1B ．(n ＋1n)n －1C ．n 2D ．n4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 012＝( ) A ．22 012－1 B ．3×21 006－3 C ．3×21 006－1 D ．3×21 005－25．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．556．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5 B.72 C.92 D.132二、填空题7．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝19，则a 36＝________.8．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.9．(2013·苏州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，且1＜S k＜9(k ∈N *)，则a 1的值为________，k 的值为________．三、解答题10．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，求数列{b n }的通项公式；。
第一课数列概念及通项公式1
= n2 n 4 .
2
(所 相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
数列通项知识点归纳总结
数列通项知识点归纳总结数列通项是数列中的每一项与项号之间的关系，它是数学中重要的概念之一。
在这篇文章中，我们将对数列通项的相关知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用数列通项的概念。
一、数列的定义与性质1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，通常用a1，a2，a3，...表示第一项、第二项、第三项，以此类推。
2. 数列的项：数列中的每个数都叫做该数列的一项，用an表示第n 项。
3. 数列的公式：数列通项可以用公式表示，即an=f(n)，其中f(n)是关于n的函数。
二、等差数列的通项1. 定义：等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 通项公式：对于等差数列an，其通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项号。
三、等比数列的通项1. 定义：等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
2. 通项公式：对于等比数列an，其通项公式可以表示为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项号。
四、斐波那契数列的通项1. 定义：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和的数列。
2. 通项公式：斐波那契数列可以表示为an=Fn，其中Fn为斐波那契数列的第n项，可通过Fn=Fn-1+Fn-2递推得到。
五、其他常见数列的通项1. 等差-等比混合数列的通项：对于数列an，当n为奇数时，an=a1+(n-1)d；当n为偶数时，an=a1*r^((n-2)/2)*d。
2. 平方数列的通项：对于数列an，其通项公式可以表示为an=n^2。
3. 立方数列的通项：对于数列an，其通项公式可以表示为an=n^3。
六、数列通项的应用1. 求和公式：通过数列通项公式，可以推导出数列的求和公式，从而方便求解数列的前n项和。
2. 应用实例：数列通项在金融、电路、计算机等领域都有广泛的应用，例如在复利计算中，等比数列通项可用于计算未来某个时刻的本金。
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a1 a2 a3 an n2 ，则 a3 a4 a5 =
2 n , n为奇数 6．数列 an 的通项公式为 a n 1 ， , n为偶数 n2 1 n
则它的前四项为
数列的有关概念
一、诊断练习
1、下列说法中，正确的有 1 ○数列 1，2，3 与数列 3，2，1 是同一个数列． 2 ○数列 l, 2，3 与数列 1，2，3，4 是同一个数列. 3 ○数列 1，2，3，4，…的一个通项公式是 a =n.，…，则下列各式中， 不能作为它的通项公式的有 n 1 (2n 1) a n (1) 1 2 ○ ○ an sin 2 (n为奇数) 1 a n (1) n 3 4 ○ a n 1 (n为偶数) ○
3．下列命题错误的有 1 ○数列的通项 an 是 n 的函数 2 ○已知某数列的通项可以写出其任何一项 3 ○常数列中，任何两项的差都是零 4 ○若数列有通项公式，则通项公式是唯一的 4．已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n ＋2n＋5， 则 a6＋ a7＋ a8= 5．数列 an 中， a1 1 ，对于所有的 n ≥2，都有