第二章 2.1 第1课时 数列的概念与通项公式 【教师版】

§2.1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与通项公式学习目标1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一数列及其有关概念1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．思考数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？答案不是．顺序不一样．知识点二通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．知识点三数列的分类1．按项数分类，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．1．1,1,1,1是一个数列．( √ )2．数列1,3,5,7，…的第10项是21.( × ) 3．每一个数列都有通项公式．( × )4．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．( × )题型一 数列的分类例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n答案 C解析 A ，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外． 跟踪训练1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n －1n ，…；(3)1，12，14，…，12n －1，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…； (6)9,9,9,9,9,9.解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列． 题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8； (3)9,99,999,9 999.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n，n ∈N *.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *.(3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－11×2，12×3，－13×4，14×5； (2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)nn ×(n ＋1)，n ∈N *.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1， 所以它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1，n ∈N *.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)，79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)，79×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n －1)，n ∈N *.题型三 数列通项公式的简单应用例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－10n ＋4. 问当n 为何值时，a n 取得最小值？并求出最小值． 解 ∵a n ＝2n 2－10n ＋4＝2⎝⎛⎭⎫n －522－172， ∴当n ＝2或3时，a n 取得最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－8. 反思感悟 利用函数的性质研究数列的单调性与最值． 跟踪训练3 (1)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.(2)已知数列{a n }中，a n ＝－n 2＋25n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是第 项． 答案 12或13解析 ∵a n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2522＋⎝⎛⎭⎫2522是关于n 的二次函数，又n ∈N *， ∴当n ＝12或n ＝13时，a n 最大．归纳法求数列的通项公式典例观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有小圆圈．答案n2－n+1解析观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.[素养评析]归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝nn ＋1知，a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1(n ＋2)(n ＋1)>0，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n n ＋1是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n ，n ∈N * B ．a n ＝n ＋1，n ∈N * C ．a n ＝n ＋2，n ∈N * D ．a n ＝2n ，n ∈N *答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N *. 3．数列{a n }中，a n ＝2n 2－3，n ∈N *，则125是这个数列的第 项． 答案 8解析 令2n 2－3＝125，解得n ＝8(n ＝－8舍去)． 所以125是该数列第8项．4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·n2n －1，n ∈N *，则a 1＝ ；a n ＋1＝ .答案 1 (－1)n ·(n ＋1)2n ＋1解析 a 1＝(－1)1－1×12×1－1＝1，a n ＋1＝(－1)n ＋1－1·(n ＋1)2(n ＋1)－1＝(－1)n ·(n ＋1)2n ＋1.5．写出数列：1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式． 解 该数列的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，n ∈N *.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、选择题1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，n ∈N *，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项 答案 C解析 解n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析 令n ＝1,2,3,4，代入A ，B ，C ，D 检验，即可排除A ，B ，D ，故选C.4．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617 B.1819 C.2021 D.2223答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，n ∈N *， 当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021. 5．已知a n ＋1－a n －3＝0，n ∈N *，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 a n ＋1＝a n ＋3＞a n ，n ∈N *，即该数列每一项均小于后一项，故数列{a n }是递增数列．6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ， ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 7．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( )A.19(10n －1) B.13(10n －1) C.13⎝⎛⎭⎫1－110n D.310(10n －1) 答案 C解析 代入n ＝1检验，排除A ，B ，D ，故选C.8．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为( )A ．a n ＝n ，n ∈N *B ．a n ＝n ＋1，n ∈N *C ．a n ＝n ，n ∈N *D ．a n ＝n 2，n ∈N *答案 C解析 ∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，∴a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n ，….二、填空题9．观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，3，5，7， ，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3.10．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是 ．答案 a n ＝2n ＋1，n ∈N *11．323是数列{n (n ＋2)}的第 项．答案 17解析 由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}的第17项．三、解答题12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)判断88是不是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b ，k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2，n ∈N *. (2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *.∴88不是数列{a n }中的项．13．在数列{a n }中，a n ＝n (n －8)－20，n ∈N *，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．解 (1)因为a n ＝n (n －8)－20＝(n ＋2)(n －10)，所以当0<n <10，n ∈N *时，a n <0，所以数列{a n }共有9项为负．(2)因为a n ＋1－a n ＝2n －7，所以当a n ＋1－a n >0时，n >72， 故数列{a n }从第4项开始递增．(3)a n ＝n (n －8)－20＝(n －4)2－36，根据二次函数的性质知，当n ＝4时，a n 取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36.14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－n ，n 是奇数，11＋2－n ，n 是偶数，则a 3＋1a 4＝ . 答案 1916 解析 a 3＝2－3＝18，a 4＝11＋2－4＝1617， ∴1a 4＝1716，∴a 3＋1a 4＝1916. 15．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1，n ∈N *. (1)求证：该数列是递增数列；(2)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由．(1)证明 ∵a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， ∴a n ＋1－a n＝⎣⎡⎦⎤1－33(n ＋1)＋1－⎝⎛⎭⎫1－33n ＋1＝3[(3n ＋4)－(3n ＋1)](3n ＋1)(3n ＋4)＝9(3n ＋1)(3n ＋4)＞0，n ∈N *， ∴{a n }是递增数列．(2)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧ n >76，n <83.∴76<n <83， ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。