牛顿定律习题课

(1) 4 0 4a 4 (m s)
(2)

7
0
d adt (t 5)dt
0 0
7
7
7 10.5 (m s)
3. 一只质量为 m 的猴子抓住一质量为 M 的直杆,杆与 天花板用一线相连,若悬线突然断开后,小猴则沿杆子 竖直向上爬以保持它离地面的高度不变,此时直杆下落 的加速度为:
N mg ma
法向分量：
N mgcos man
N m r mgcos 3mgcos
2
A
N
D
en
C
N 3mg cos et
B
mg
2-11、光滑的水平桌面上放置一半径为 R 的固定圆环，物体 紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为 ，开始时物体的 速率为 0 ，求： （1） 时刻物体的速率；（2）当物体速 率从0 减少到 解： （1）
tan
x
2
g
dy tan dx

x
2
dy
y0
y
x
0
g
dx
y

2
2g
x y0
2
7、 设电梯相对地面以加速 度a铅直向上运动。 电梯中有一质量可略去 不计的滑轮，在滑轮的 两侧用 轻绳悬挂着质量分别为 m1和m2的重物。已知 m1 m2 , 求
1m1和m2相对电梯的加速度； 2绳的张力。
m dF 0 l rdr
l 2
x
m 向心力为： F l 2 2 m n2l 2
2
5 张力为：F 2.7910 i ( N )
2-10、一质量为 m 的小球最初位于如图所示的 A 点，然后 沿半径为 的光滑圆轨道 ABCD 下滑，求小球到达点 C 时的角速度和对圆轨道的作用力。
et en
Ff
Fn
d F f ma t m dt 2 Fn m R Ff Fn
1 0 时，物体所经历的时间和路程。 2
t


d R dt
2


t

R
0
dt
0

d

2
R 0 R 0 t
R
（2）
t
t
解：根据牛顿第二定律 ：
d dx dv dv mv f 2 m m dx dt dx dt x dx k 2 mvdv x
k

A/2 A

kdx x
2
mvdv
2
v 0
2k k m v A A 2
2k v mA
1/ 2
5、有一曲杆OA可绕纵轴OY转动，如图所示，杆上有一小 圆环C，其可无摩擦地沿着曲杆自由滑动，当杆以某一角 速度 转动时，若要使环C相对于曲杆不动，试求曲杆 OA的几何方程 y f ( x) 的表达式。
r
d d 解： mg sin ma m g sin t dt dt d d d d r (2) dt dt d d
(1)
A
en
et D mg
C
B
联立得，
g sin d
2


0
r d
2 g cos r
代入（1）式得
2m1m2 g a T m1 m2
8、图示系统置于以加速度 a 1 2 g 的加速度上升的升降机 内， A、B 两物体质量均为 m ， A 所在的桌面是水平的，绳 子和定滑轮的质量均不计，若忽略一切摩擦，则绳中的张力 为？ 设 B 相对于地面的加速度为 ，相对

x
d x 4tdt
2
2 3 r t i 2tj 3
y 2t
2、质量为10kg 的木箱放在地面上，在水平力 F 的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的 变化关系如图所示，若已知木箱与地面间的摩擦系 数 0.2 ，那么在 t 4s 时，木箱的速度大小为？ 在 t 7 s 时木箱的速度大小为？
m1 : P 1 T 1 m 1a1
则 m1 g T m1a1 m1 ar a 取y轴向下为正，得：a1 ar a
P1
y
1
由于绳长不变， m相对电梯的加速度的大 小也为ar . 则m2相对地面的加速度 a2为
a2 ar a
解： 取小环为研究对象，设小球的质量为m， 进行受力分析，由牛二律得，
Y
N
mg N ma
A

mg
取直角坐标系，
x
O
N cos mg 0 2 N sin m x
X
m x x tan mg g
2 2
பைடு நூலகம்
由数学知识，
dy tan dx
T1 T2 T
解：由题意，绳和滑轮的质 量均略去不计，故有
ar
m1
m2
ar a
取地面为参考系，电梯 相对地面的加速度为 a. 设ar为m1相对电梯的加速度，
则m1相对地面的加速度 a1为
a1 ar a
由牛顿第二定律：
a1
T1
m1
0
s dt
0
R

ln 2
2-16、质量为45.0kg 的物体，由地面以初速度 60.0m s 1 竖直 向上发射，物体受到空气阻力为 Fr k ，且 k 0.03 N m s 1 （1）求物体发射到最高度所需时间。（2）最大高度为多少？ 解： （1）
d mg k m dt
m d 0 dt 0 m g k
t 0
正 向
k 0 m t ln(1 ) k mg
mg
f
（2）
d dy d m g k m m dt dy dy

y
0
md dy 0 m g k
0
k0 m y m g ln 1 k 0 k mg
解：
F f ma
F
30
建立ox轴，
F mg ma
o
f
4
F
7
t
30 (t 4) F 10t 70 (4 t 7)
F m g m a
3 g (t 4) a t 7 g (4 t 7)
1、质量为 0.25 kg的质点，受力 F ti 的作用，初始时刻，该 质点以 2 j m s 的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻
的位置矢量是？
解：
a 4ti
t
2 t x 0 0 2 x t t 3 2 0 dx 0 x dt 0 2t dt x 3 t
由牛顿第二定律： m2 : T2 m2 g m2 a2
取y轴向上为正，得： a2 ar a 则 T m2 g m2 a2 m2 ar a
a2
T2
m2
2
P2
y
解（1）、（2）式得
m1 m2 g a ar m1 m2
方向如图所示。
解：
A
aB 于升降机的加速度为ar mg T maB T a B a ar T ma r a m g T m aB T 1 g 2 a B a ar B T ma r mg T 3mg 4
(B)mg / M， (A)g， M m (C) g , ( D) M m g , M M m M m ( E) g。 M
[C]
M
m
4、已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动,质点只受到
指向原点的引力作用,引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比,即 f = -k/x2, k 是比例常数,设质点在 x = A 时的速度为零,求 x = A / 2 处的速度大小。
2-8、直升飞机的螺旋浆由两个对称的叶片组成，每一个叶片 的质量 m 136kg ，长 l 3.66 m ，求当它的转速 n 320r min 时，两个叶片根部的张力。
解： 利用微积分的办法。 张力大小等于向心力，方向相反。 以根部为原点建立坐标系，
m dF dx 2 r l
dx


x
2
dy g dx

y

2
2g
x
2
6、一桶水绕铅直轴旋转，求：当水与桶相对静止时， 桶内水的自由表面形状？ 解： 建立如图所示的直角坐标系，选取一质量 微元，进行受力分析，
y
dN

(dm) g dN ma
取直角坐标系，
y0
O
(dm) g
x
dN cos (dm) g 0 dN sin (dm) 2 x