函数的极限(定义及性质).
极限与连续的定义与性质
极限与连续的定义与性质极限与连续是微积分中非常重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍极限及其定义和性质，以及连续函数的定义和性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，极限是数列或函数逐渐接近某个确定值的过程。
对于数列，极限可以通过数学符号来表示，即lim(an)=a，表示数列an当n趋近于无穷时，逐渐趋向于a。
而对于函数，极限可以用lim(f(x))=L来表示，表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于L。
2. 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，那么它是唯一的。
（2）局部有界性：存在极限的数列一定是有界的，即存在一个范围包含该数列的所有项。
（3）保序性：如果数列an逐渐趋近于a，而bn逐渐趋近于b，且an小于等于bn（对于所有的n），则有a小于等于b。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域的每个点上都有定义，并且在该点上的极限等于该点的函数。
形式化地，对于函数f(x)，如果对于任意x0∈定义域D，lim(x→x0)(f(x))=f(x0)，则称函数f(x)在x0上连续。
2. 连续函数的性质（1）极限与连续的关系：若函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)(f(x))=f(a)。
（2）连续函数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，那么它们的和、差、积和商（当g(a)≠0时）也在x=a处连续。
（3）复合函数的连续性：若函数f(x)在x=a处连续，函数g(x)在x=b处连续，并且b=f(a)，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、总结极限是数学中的重要概念，它在数列和函数中都有丰富的应用。
极限的定义和性质使我们能够更加准确地描述数列和函数的收敛性和趋势。
同时，连续函数是一类特殊的函数，其在定义域内不存在断点，平滑地连接着各个点。
连续函数的性质使我们能够进行更加灵活和精确的运算和推导。
通过对极限和连续的定义和性质的学习，我们可以更好地理解数学中的变化和趋势，应用于实际问题的建模和求解中。
函数极限的主要性质
函数极限的主要性质
其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
函数f中对应输入值x的输出值的
标准符号为f(x)。
性质一：对称性
数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴x和y轴对称。
原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函
数上点的坐标的坐标值互为相反数。
关于一点等距：这种类型和原点等距十分相似，相同的就是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任一一点。
性质二：周期性
所谓周期性也就是说，函数在一部分区域内的图像就是重复发生的，假设一个函数
f(x)就是周期函数，那么存有一个实数t，当定义域内的.x都加之或者乘以t的整数倍时，x所对应的y维持不变，那么可以说道t就是该函数的周期，如果t的绝对值达至最轻，
则称作最轻周期。
《高等数学极限》课件
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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
函数与极限：函数极限的概念
函数与极限：函数极限的概念在数学中，函数极限是函数理论中的重要概念之一，它在解析几何、微分学和积分学等领域中有着广泛的应用。
函数极限可以帮助我们理解函数的行为和性质，在研究数学问题时起到至关重要的作用。
本文将从函数极限的定义、基本性质以及在实际问题中的应用三个方面探讨函数极限的概念。
一、函数极限的定义函数极限的定义是通过数列的极限来描述的。
设有一个函数 f(x)，当自变量 x 无限接近于某个数 a 时，如果对于任意一个数ε（ε>0），总存在另一个数δ（δ>0），使得当 x 在 (a-δ, a+δ) 范围内时，都有 |f(x) - L| < ε，那么我们称函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限为 L，记作：lim(x→a) f(x) = L。
二、函数极限的基本性质1. 函数极限的唯一性：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，则该极限是唯一的，即该极限值与取近点的方法无关。
2. 极限的四则运算：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限都存在，则有以下性质：(1) lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = lim(x→a) f(x) ± lim(x→a) g(x)；(2) lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)；(3) lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（其中lim(x→a) g(x) ≠ 0）。
3. 极限的保序性：若函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋于 a 时的极限都存在，并且f(x) ≤ g(x)，则有lim(x→a) f(x) ≤ lim(x→a) g(x)。
4. 复合函数的极限：若函数 f(x) 在 x 趋于 a 时的极限存在，并且g(x) 在 x 趋于 f(a) 时的极限存在，则复合函数 g[f(x)] 在 x 趋于 a 时的极限存在，且有lim(x→a) g[f(x)] = lim(u→f(a)) g(u)。
函数的极限重要极限无穷大与无穷小
设
f (x)
2 x,
x2
2,
验证lim f ( x) 2.
x 0 y 2 xy
x0
2 y x2 2
x0
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
x从右侧无限趋近0, 函数值无限接近于2.
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
1
1
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
A 或 B 以及（3）中的某些情形：
考虑自变量 x 趋近于有限值x0 ，记这一变 化过程为x x0 .
仿照数列极限的定义，给出 x x0 时函数
的极限的定义.
1. 定义 :
定义 1 如果对于任意给定的正数(不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x,对应的函数值 f ( x)都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就叫函数
f ( x)当 x x0时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f ( x) A . 则 lim f (x) A x x0
讨论单侧极限
函数的极限六种存在形式
lim f ( x) A; lim f ( x) A; lim f ( x) A.
x x0
x x0
x
极限的概念及性质
极限的概念及性质极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。
本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。
正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。
2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。
3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。
4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。
三、极限的应用极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 微积分微积分是极限的重要应用领域之一。
通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。
微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
2. 物理学在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。
例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。
3. 统计学在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。
中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。
4. 工程学在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。
例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。
3-3函数的极限
x0 -
x0
x0
x
点x 0的去心邻域, 体现x接近x 0 程度.
定义3.5 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 ,使得对于适合不等式 的一切 ,对应的函数值 都满足不等式 当
,那末常数 时的极限,记作
就叫函数
" e - " 定义 e > 0, > 0, 使当0 < x - x 0 < 时,
4. 两个重要极限
重要极限1
sin x lim = 1. x 0 x
O B
C
x
A D
证: 当 x ( 0 , ) 时， 2
即
1 sin x 2
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
< 1 x < 1 tan x 2 2 x 1 1 < x < x< tan x (0 < x < ) sin < 故有 亦即 2 sin x cos x sin x 显然有 cos x < < 1 (0 < x < ) 2 x sin x lim =1 lim cos x = 1, x 0 x x 0
e u = u M M = e
M
故 lim u = 0 , 即 u 是 x x0 时的无穷小 .
x x0
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
定理 3.5’
设 lim f ( x) = A , lim g ( x) = B ，且 A < B ，
0
o
证: 用反证法. 存在
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显然 f ( 0 ) f ( 0 ) , 所以 lim f ( x ) 不存在 .
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3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1 .
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内容小结
函数的极限（定义及性质）
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
x x0
时函数极限的定义
lim f ( x ) A 或
当 时, 有
A A A
y
y f ( x)
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结束
3. 函数极限的性质
极限的唯一性；局部有界性；局部保号性
保号性. 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x ) 0. ( f ( x ) 0)
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推论 若在
的某去心邻域内 f ( x ) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
几何解释
x0
x
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2. 左极限与右极限
左极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x 0 , x 0 )
时, 有
右极限 : f ( x 0 ) lim f ( x ) A
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
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A X O
直线 y = A 为曲线
A
y f ( x)
x
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两种特殊情况 :
x
lim f ( x ) A
0, X 0, 当 f ( x) A
时, 有
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义 2. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x ) 存在, 是否一定有 lim f ( x ) f ( x0 ) ？
a x2 , x 1 且 lim f ( x ) 存在, 则 2. 设函数 f ( x ) 2 x 1, x 1 x 1 a 3 .
y
x0 x0 x0
y x 1
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1
y x 1
x
讨论 x 0 时 f ( x ) 的极限是否存在 .
解: 利用结论 . 因为
x 0 x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
x x0
lim f ( x ) A
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0
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例. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
( A 0)
思考: 若条件改为 f ( x ) 0 , 是否必有 A 0 ?
不能!
如
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义. 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0, X 0,
A 为函数
x
lim f ( x ) A
x X 或 x X
第四节 目录
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