极限的概念与性质
各类极限知识点总结
各类极限知识点总结一、函数的极限1. 定义：给定函数f(x)，当x趋近于某一点a时，如果函数值f(x)无论怎么接近a都会趋于一个确定的值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
通常情况下，我们也会将x趋近于a的这一过程称为x趋近于a时的极限，即x→a。
2. 性质：函数的极限有一些基本的性质，这些性质有助于我们计算和理解函数的极限。
比如极限的唯一性、极限的局部有界性、函数的连续性等。
3. 一些特殊函数的极限：（1）常数函数的极限；（2）幂函数的极限；（3）指数函数和对数函数的极限；（4）三角函数的极限；（5）复合函数的极限等。
二、无穷大和无穷小1. 定义：在极限的理论中，无穷大和无穷小是两个非常重要的概念。
当x趋近于某一点a 时，如果函数值f(x)可以任意增大，并且没有上界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷大。
反之，如果函数值f(x)可以任意接近于0，并且没有下界，则称f(x)是当x趋近于a时的无穷小。
2. 性质：无穷大和无穷小也有一些基本的性质，包括无穷大和无穷小的性质、无穷大与有界性的关系、无穷小的运算规律等。
3. 一些特殊函数的无穷大和无穷小：（1）常数函数的无穷大和无穷小；（2）幂函数的无穷大和无穷小；（3）指数函数和对数函数的无穷大和无穷小；（4）三角函数的无穷大和无穷小；（5）复合函数的无穷大和无穷小等。
三、极限的运算规律1. 四则运算的极限性质：加减乘除都有着相应的极限运算规律。
比如两个函数的极限之和等于它们的极限之和、两个函数的极限之积等于它们的极限之积等。
2. 复合函数的极限性质：当函数与另一个函数进行复合时，它们的极限也满足一定的规律。
比如复合函数的极限等于内函数的极限等。
3. 一些特殊函数的极限运算：（1）三角函数的加减角极限性质；（2）指数函数和对数函数的极限性质；（3）特殊组合函数的极限性质等。
四、常见的极限形式1. 0/0型：在计算函数的极限时，经常会遇到0/0型的不定式形式。
极限与连续的定义与性质
极限与连续的定义与性质极限与连续是微积分中非常重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍极限及其定义和性质，以及连续函数的定义和性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，极限是数列或函数逐渐接近某个确定值的过程。
对于数列，极限可以通过数学符号来表示，即lim(an)=a，表示数列an当n趋近于无穷时，逐渐趋向于a。
而对于函数，极限可以用lim(f(x))=L来表示，表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于L。
2. 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，那么它是唯一的。
（2）局部有界性：存在极限的数列一定是有界的，即存在一个范围包含该数列的所有项。
（3）保序性：如果数列an逐渐趋近于a，而bn逐渐趋近于b，且an小于等于bn（对于所有的n），则有a小于等于b。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域的每个点上都有定义，并且在该点上的极限等于该点的函数。
形式化地，对于函数f(x)，如果对于任意x0∈定义域D，lim(x→x0)(f(x))=f(x0)，则称函数f(x)在x0上连续。
2. 连续函数的性质（1）极限与连续的关系：若函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)(f(x))=f(a)。
（2）连续函数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，那么它们的和、差、积和商（当g(a)≠0时）也在x=a处连续。
（3）复合函数的连续性：若函数f(x)在x=a处连续，函数g(x)在x=b处连续，并且b=f(a)，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、总结极限是数学中的重要概念，它在数列和函数中都有丰富的应用。
极限的定义和性质使我们能够更加准确地描述数列和函数的收敛性和趋势。
同时，连续函数是一类特殊的函数，其在定义域内不存在断点，平滑地连接着各个点。
连续函数的性质使我们能够进行更加灵活和精确的运算和推导。
通过对极限和连续的定义和性质的学习，我们可以更好地理解数学中的变化和趋势，应用于实际问题的建模和求解中。
对极限的理解和认识
对极限的理解和认识一、引言极限是数学中的一个重要概念，它的理解和认识对于我们学习和应用数学知识具有重要意义。
在数学中，极限是研究函数性质、计算导数和积分等的基础，也是理解微积分的关键概念之一。
本文将从不同角度对极限进行理解和认识。
二、极限的定义在数学中，极限可以简单地理解为函数在某一点上的值趋近于某个确定的常数。
更准确地说，对于给定的函数f(x)，当自变量x趋近于某一点a时，如果无论取a的哪一邻域，总存在一个邻域，使得当x在这个邻域内时，函数值f(x)都能无限接近于某一常数L，那么我们就称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限，记作lim(f(x))=L或f(x)->L (x->a)。
三、极限的性质极限具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。
1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限存在，那么它是唯一的。
也就是说，函数f(x)当x趋近于a时的极限只能有一个确定的值。
2. 局部性：极限的存在与否与函数在该点的取值无关，只与函数在该点附近的取值有关。
也就是说，函数f(x)当x趋近于a时的极限的存在与否只与函数在a的邻域内的取值有关。
3. 有界性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限存在，那么函数f(x)在a的某一邻域内是有界的。
4. 保号性：如果函数f(x)当x趋近于a时的极限存在且大于（或小于）0，那么函数f(x)在a的某一邻域内必然大于（或小于）0。
四、极限的计算方法计算极限是数学分析中的重要内容，有时候可以通过直接代入法来计算，但有时候需要使用一些特殊的计算方法，下面我们来介绍一些常用的极限计算方法。
1. 无穷小代换法：当函数f(x)当x趋近于a时的极限存在，而又可以表示成另一个函数g(x)当x趋近于0时的极限，那么我们可以使用无穷小代换法来计算函数f(x)当x趋近于a时的极限。
2. 夹逼定理：当函数f(x)、g(x)和h(x)满足一定条件时，如果在某一区间内，对于所有的x，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim(f(x))=lim(h(x))=L，那么lim(g(x))=L。
极限的定义和性质
极限的定义和性质极限是数学分析的一个重要概念，用于描述函数在某个点上的特性和趋势。
在数学领域，极限的定义和性质是非常关键的，它在微积分、数列和级数等学科中都有广泛的应用。
本文将探讨极限的定义、性质以及一些常见的极限计算方法。
一、极限的定义1. 函数极限定义给定一个函数 f(x)，当自变量 x 接近某个数 a 时，如果存在一个常数 L，使得对于任意给定的正数ε，总能找到一个正数δ，使得当 x 满足 0 < |x-a| < δ 时，都有 |f(x)-L| < ε 成立，那么我们称 L 是函数 f(x) 当x 趋于 a 时的极限，记作：lim[x→a]f(x)=L2. 数列极限定义对于一个数列 {an}，如果对于任意给定的正数ε，总能找到一个正整数 N，使得当 n > N 时，都有 |an-L| < ε 成立，那么我们称 L 是数列{an} 的极限，记作：lim[n→∞]n= L二、极限的性质1. 极限唯一性函数的极限是唯一的，也就是说，如果函数 f(x) 当 x 趋于 a 时的极限存在，那么这个极限是唯一确定的。
2. 极限的有界性如果函数 f(x)当 x 趋于 a 时的极限存在且有限，那么函数在 a 的某个邻域内是有界的，即存在正数 M，使得对于所有满足 0 < |x-a| < δ 的x，都有|f(x)| ≤ M 成立。
3. 极限的保号性如果函数 f(x)当 x 趋于 a 时的极限存在且大于 (或小于) 0，那么在 a 的某个邻域内，函数的取值要么大于 (或小于) 0。
4. 极限的四则运算对于两个函数 f(x) 和 g(x)，它们当 x 趋于 a 时的极限都存在，那么有以下四则运算规则：- 极限和：lim[x→a](f(x)+g(x))=lim[x→a]f(x)+lim[x→a]g(x)- 极限差：lim[x→a](f(x)-g(x))=lim[x→a]f(x)-lim[x→a]g(x)- 极限积：lim[x→a]f(x)g(x)=lim[x→a]f(x)·lim[x→a]g(x)- 极限商：lim[x→a]f(x)/g(x)=lim[x→a]f(x)/lim[x→a]g(x) (其中lim[x→a]g(x) ≠ 0)5. 极限的复合运算如果函数 f(x)当 x 趋于 a 时的极限存在，并且 g(x) 是 f(x) 的极限存在区间上的一个函数，则复合函数 h(x) = g(f(x)) 当 x 趋于 a 时的极限存在。
极限的概念及性质
极限的概念及性质极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。
本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。
一、极限的定义在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。
正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。
2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。
3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。
4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。
三、极限的应用极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。
1. 微积分微积分是极限的重要应用领域之一。
通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。
微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。
2. 物理学在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。
例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。
3. 统计学在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。
中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。
这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。
4. 工程学在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。
例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。
极限的定义与基本性质
极限的定义与基本性质极限在数学中是一个十分重要的概念，被广泛应用于微积分、数学分析等领域。
极限主要是描述函数在某一点上的特定性质，这个特定的性质可以用一些简单的公式来表示。
定义对于实数序列或函数序列来说，如果它的极限值存在，我们就称这个序列或函数序列是有极限的。
在函数中，极限的定义表述如下：对于一个函数f(x)，如果x从c点的左侧或者右侧越来越接近于c值时，f(x)也相应地越来越接近于一个数L，那么我们称L 为f(x)当x趋向于c时的极限，记作：lim x->c f(x) = L.其中 L 可以是实数、负无穷大或正无穷大。
基本性质极限有以下几个基本的性质：(1) 有限性原理：如果极限的值存在，那么它一定是唯一的。
这是因为如果有两个极限值，那么函数在这两个极限值处的取值是不同的。
(2) 局部有界性原理：如果函数f(x)在某一点c的极限存在，那么必定存在一个邻域，使得除了c点外这个邻域内的所有函数值都是有界的。
(3) 存在性原理：如果函数f(x)在某一点c的左侧和右侧的极限都存在，并且这两个极限值相等，那么f(x)在这个点的极限也存在。
(4) 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，它们在某个点c的左侧和右侧都满足：g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x) 和 h(x)的极限都等于L，那么f(x)的极限也将是L。
(5) 算术性原理：如果存在函数f(x)和g(x)，它们在某一点c的极限都存在，并且L和M是它们的极限值，那么：① f(x) ± g(x) 的极限存在且等于 L ± M。
② f(x)×g(x) 的极限存在且等于 L × M。
③ k×f(x) 的极限存在且等于 k×L，其中 k 是任意的实数。
④如果 M 不等于0，而且 f(x) 与 g(x) 的极限也都存在且等于L 和 M ，则 f(x)/g(x) 的极限L/M 也存在。
极限的定义和基本性质
极限的定义和基本性质极限作为一种基本的概念，是高等数学中的重要内容之一。
本文将从极限的定义和性质两个方面分析这一概念的重要性和应用。
一、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个数值时，函数的取值趋近于一个确定的值，这个确定的值便是函数的极限。
通常表示为：当$x$趋近于$a$时，$f(x)$趋近于$A$，记作$\lim_{x \to a}f(x)=A$。
其中，$x$是自变量，$a$是$x$的极限点，$f(x)$是函数，$A$是函数的极限值。
当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值并不一定等于$A$，但$f(x)$的值与$A$的差距可以任意小。
这也是极限的常见特性之一，即无论误差多小，都可以无限接近极限值。
二、极限的性质极限具有许多重要性质，其中一些常见的性质包括：1、唯一性：函数的极限值是唯一的。
即，如果$\lim_{x \toa}f(x)=A_1$且$\lim_{x \to a}f(x)=A_2$，那么$A_1=A_2$。
这个性质直接来自极限的定义。
2、局部有界性：如果函数$f(x)$在某个$a$的邻域内存在极限，则$f(x)$在该邻域内有局部有界性。
这意味着，无论$x$ 接近$a$，值域的上下限必须存在。
因此可得出，$f(x)$在该邻域内一定存在最大值和最小值。
3、保号性：如果$\lim_{x \to a}f(x)>0$，那么在$a$的充分邻域内，对应的函数值必须大于于 $0$。
类似地，如果$\lim_{x \toa}f(x)<0$，则在 $a$ 的充分邻域内，函数值必须小于$0$。
4、等式性：如果$\lim_{x \to a}f(x)=A$，$\lim_{x \to a}g(x)=B$，那么$\lim_{x \to a}[f(x)+g(x)]=A+B$，$\lim_{x \toa}[f(x)g(x)]=AB$等等。
这个性质可以方便地应用于复杂的数学问题中。
以上仅是极限的一些基本性质，当然，还有许多特定函数的极限，如三角函数、指数函数、对数函数等等，每一个函数都有其特定的极限性质。
微积分的基础概念——极限
微积分的基础概念——极限微积分是数学的重要分支之一，它涉及到极限、导数和积分等概念。
其中，极限在微积分中占据了重要地位，是其他概念的基础。
本文将重点介绍微积分中的极限概念。
一、极限的定义在微积分中，极限是一个非常基础的概念，也是微积分中的核心。
极限的定义如下：对于一个数列{an}，若存在一个实数a，使得当n趋于无穷大时，an无论怎样变化，都会趋近于a，则称a为该数列的极限，记作：lim（n→∞）an=a（读作“当n趋近于无穷大时，an趋近于a”）。
lim（x→c）f（x）=L。
二、极限的性质在微积分中，极限有着一些重要的性质，这些性质是对极限的深入理解和运用至关重要的：1.极限的唯一性：如果一个数列或函数有极限，那么极限是唯一的。
也就是说，如果数列或函数有多个极限，那么它不存在极限。
2.极限的保号性：如果数列或函数的极限存在，那么当它的正项收敛时，它的极限也必然是非负的；同样地，当它的负项收敛时，它的极限也必然是非正的。
3.夹逼定理：如果一个数列或函数，它的n项大于或等于另一个数列或函数的n项，而又小于或等于另一个数列或函数的n项，则可以得到它的极限与这两个数列或函数的极限相等。
这个性质也可以反过来，即将“大于”换成“小于”即可。
4.四则运算法则：如果两个数列或函数的极限都存在，那么它们的和差积商的极限仍存在，且分别等于这些数列或函数的极限。
5.复合函数的极限：如果函数f（x）在x=c处极限存在，函数g（x）在f（c）处极限存在且不为零，那么复合函数g（f（x））在x=c处极限存在，并且满足：lim（x→c）g（f（x））=g（lim（x→c）f（x））。
三、应用举例极限的应用非常广泛，常见于微积分、数学分析、工程、物理学等领域。
下面通过一个例子，更加深入地了解极限的应用。
例1：求极限：lim（x→1）（x^2-x+2）/（x-1）。
解：首先，我们试图代入x=1进行计算，但是发现分母为零，无法计算。
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y
y f (x)
x0 x0 x
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推论 2 . 若在
的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且
( f ( x) 0)
则 A 0.
( A 0)
(反证法, 证明略)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
x 4
x 4
x 0
lim f ( x) lim e x 1
x 0
x 0
lim f ( x) lim 2 x 1 1.
x 0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1,
x 0 x 0
所以 lim f ( x) 1.
x 0
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x x0
当
时的极限, 记作
lim f ( x) A 或
当
即
时, 有
几何解释:A A AO源自yy f (x)
(
x0
)
x
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例1. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当
(注意x =1无定义)
时, 必有
x 1 2 x 1
n
lim q n1 0
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a1 a2 an 例4. 若 lim an A, 则 lim A. n n n
证明：由于 lim an A, 故 0, 正整数 N1 , n
当 n N1 时，an A
3、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
A 为函数
x
lim f ( x) A
x X 或x X
A f ( x) A
几何解释:
y
A
X
的水平渐近线 .
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只有有限项(至多N项)在邻域 U ( a , ) 之外。
ε 英文注音 epsilon 中文注音 伊普西龙
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例1. 已知
证明数列
的极限为1.
证明:
n (1) n 1 xn 1 n
1 只要 n 即 0 , 欲使 1 因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n n (1) 1 n
1 x
都有水平渐近线 y 1.
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三、 函数极限的性质
(性质适用于函数的所有极限过程) 1. 唯一性 若函数极限存在，则函数极限唯一。
类似于数列极限的唯一性（反证法）
2. 局部有界性
x x0
U ( x0 , )
lim f ( x) : 函数f ( x) 在x0 的某去心邻域内有界;
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
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e x , x 0, 例4. 设 f ( x) 求 lim4 f ( x), lim0 f ( x). x x 2 x 1, x 0
解:
lim f ( x) lim 2 x 1 3.
2
因此
x2 1 lim 2 x 1 x 1
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例2. 证明: 当
证:
时
0 , 欲使
而
1 x x0 x0 只要
可用 保证 . 故取
且
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
x x0
O
因此
x x0
lim xn a.
n
或
xn a, (n )
极限存在的数列称为收敛数列。
极限不存在的数列称为发散数列。
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
n (1) n1 xn 1 ( n ) n 2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
正十二边形的面积 A2
R
n 1 正 6 2 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416 割圆术就是极限思想在几何上的应用
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微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法 作为研究工具的数学学科： 应用极限方法研究各类变化率问题 和几何学中 曲线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到 微小量无穷积累的问题， 就产生了积分学。
M M a1 A a2 A aN1 A , 易知 lim 0. n n M 于是 正整数 N 2 , 当 n N 2时， .
n 2 取 N max{ N1 , N 2 }, 则当 n N 时，有
2
,记
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a1 a2 an A n
x x0
0 , 0 , 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理 1.
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
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例3. 给定函数 x 1, f ( x) 0 , x 1 ,
lim f ( x) : 函数f ( x) 当x 充分大时有界。 x
xX
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3. 局部保号性 定理2 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x) 0. ( f ( x) 0)
证: 已知
时, 有 当 A > 0 时, 取正数 (< 0) ( A) 则在对应的邻域 即 0 , 当
第二节
极限的概念与性质
一、数列的极限 二 、函数的极限 三 、函数的极限的性质
第一章
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引言
自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算
是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化趋
势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生 的客观基础。
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割圆术 正六边形的面积 A1
lim
x
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x0
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x
结束
2. 左极限与右极限 (单侧极限)
左极限 : f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 0) A
x x0
0 , 0 ,当 x ( x0 , x0 )
时, 有
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) f ( x0 0) A
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例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q 1 ln , 则当 n > N 时, 就有 因此 , 取 N ln q
q n1 0
故
.
. . . .
.
.
.
O
n
xn 趋向于某个确定的数
(1) : 1, 1, 1, 1,, (1) ,
n
x
xn 不趋向于某个确定的数
. .
.
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设数列{xn }, 如果通项 xn 当项数 n 无限增大时， 定义： 无限趋近于某个常数 a, 则称 a 为数列 {xn } 的极限。 记作
a1 a2 an A. 所以 lim n n
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第一章
二、函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
主要内容 : 1、自变量趋于有限值时函数的极限 2、左极限、右极限
3、自变量趋于无穷大时函数的极限
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1、自变量趋于有限值时函数的极限 在点 的某去心邻域内有定义 , 定义1 . 设函数 若 0 , 0 , 当 0 x x0 时, 有 f ( x) A 则称常数 A 为函数
n n
(1) : 1, 1, 1, 1,, (1) ,
3n: 3, 6, 9, , 3n,
xn f (n), n 1,2,.
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数列 {xn }可视为定义在自然数集上的函数：
y
1 1 1 1 1 n : , , ,, n , 2 2 2 4 8
xn (1) n1 趋势不定
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散
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数学定义： 若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
几何解释 :
a x N 1
(
x N 2 a
)
a xn a (n N ) 即 xn U ( a , ) (n N )
上
A A A
y
y f (x)
( 0)
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