高中数学_5.3平面向量的数量积及应用举例(1) 高三一轮复习课教学设计学情分析教材分析课后反思
高考数学一轮复习 第五章 平面向量5.3平面向量的数量积及其应用教学案 理 新人教A版
5.3 平面向量的数量积及其应用考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角 (1)定义已知两个__________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则__________称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是__________，且__________＝〈b ，a 〉． (3)向量垂直如果〈a ，b 〉＝__________，则a 与b 垂直，记作__________． 2．平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义__________叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝__________.可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．(2)向量数量积的运算律①a ·b ＝__________(交换律)②(a ＋b )·c ＝__________(分配律)③(λa )·b ＝__________＝a ·(λb )(数乘结合律)．|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12系1．已知下列各式：①|a |2＝a 2； ②a ·b |a |2＝b a；③(a ·b )2＝a 2b 2；④(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2，其中正确的有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，则下列结论中正确的是( )． A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )a 等于( )． A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－784．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝__________.5．已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是__________．一、平面向量数量积的运算【例1】 (1)在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|； (2)若a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，求(a －2b )·(2a ＋3b )和|a ＋2b |. 方法提炼平面向量的考查经常有两种：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程．坐标形式时，运算要准确．提醒：向量数量积与实数相关概念的区别： 1．表示方法的区别数量积的记号是a ·b ，不能写成a ×b ，也不能写成ab . 2．相关概念及运算的区别(1)若a ，b 为实数，且ab ＝0，则有a ＝0或b ＝0，但a ·b ＝0却不能得出a ＝0或b ＝0.(2)若a ，b ，c ∈R ，且a ≠0，则由ab ＝ac 可得b ＝c, 但由a ·b ＝a ·c 及a ≠0却不能推出b ＝c .(3)若a ，b ，c ∈R ，则a (bc )＝(ab )c (结合律)成立，但对于向量a ，b ，c ，而(a ·b )c 与a (b ·c )一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．(4)若a ，b ∈R ，则|a ·b |＝|a |·|b |，但对于向量a ，b ，却有|a ·b |≤|a ||b |，等号当且仅当a ∥b 时成立．请做演练巩固提升2二、两平面向量的夹角与垂直【例2】已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；(2)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．求两非零向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求得a ·b 及|a |，|b |或得出它们的关系．请做演练巩固提升1 三、求平面向量的模【例3－1】 (2012江西高考)设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m ⊥b ，则|x ＋2y |＝__________.【例3－2】 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4.(1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 方法提炼利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：(1)|a |2＝a 2＝a ·a ；(2)|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 请做演练巩固提升4 四、平面向量的应用【例4－1】 已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )．A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【例4－2】 已知向量OA →＝a ＝(cos α，sin α)，OB →＝b ＝(2cos β，2sin β)，OC →＝c ＝(0，d )(d ＞0)，其中O 为坐标原点，且0＜α＜π2＜β＜π.(1)若a ⊥(b －a )，求β－α的值；(2)若OB →·OC →|OC →|＝1，OA →·OC →|OC →|＝32，求△OAB 的面积S .方法提炼向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．请做演练巩固提升3忽视对直角位置的讨论致误【典例】 已知平面上三点A ，B ，C ，向量BC →＝(2－k,3)，AC →＝(2,4)． (1)若三点A ，B ，C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，求k 的值．错解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行． ∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0.∴k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)， ∴CB →＝(k －2，－3)． ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形， ∴AB →⊥AC →，AB →·AC →＝0. ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2.错因：因BC →和AC →已知，则可得AB →(含k 的式子)，若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC 为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k 的值．正解：(1)由三点A ，B ，C 不能构成三角形，得A ，B ，C 在同一条直线上，即向量BC →与AC →平行，∵BC →∥AC →，∴4(2－k )－2×3＝0，解得k ＝12.(2)∵BC →＝(2－k,3)，∴CB →＝(k －2，－3)， ∴AB →＝AC →＋CB →＝(k,1)． ∵△ABC 为直角三角形， 则当∠BAC 是直角时， AB →⊥AC →，即AB →·AC →＝0， ∴2k ＋4＝0，解得k ＝－2； 当∠ABC 是直角时， AB →⊥B C →，即AB →·BC →＝0， ∴k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1； 当∠ACB 是直角时， AC →⊥BC →，即AC →·BC →＝0， ∴16－2k ＝0，解得k ＝8.综上得k 的取值为－2，－1,3,8. 答题指导：1．用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点．本题难度不大，属中档题．2．本题的错误非常典型．造成错误的主要原因就是思维定势所致．第(1)问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去．第(2)问，由于思维定势，误认为∠A 一定为直角，从而使解答不完整．3．考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素．1．(2012福建高考)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )．A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝02．(2012天津高考)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )．A.13B.23C.43D ．2 3．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．4．给出以下四个命题：①对任意两个向量a ，b 都有|a ·b |＝|a ||b |；②若a ，b 是两个不共线的向量，且AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 共线 λ1λ2＝－1；③若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，则a ＋b 与a －b 的夹角为90°；④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°.以上命题中，错误命题的序号是__________．5．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)非零 ∠AOB (2)[0，π] 〈a ，b 〉 (3)π2a ⊥b2．(1)|a ||b |cos 〈a ，b 〉 |a ||b |cos 〈a ，b 〉 (2)①b ·a ②a ·c ＋b ·c ③λ(a ·b ) 基础自测1．B 解析：②错，向量不能约分；③中(a ·b )2＝|a |2·|b |2·cos 2θ不一定与a 2·b 2相等，∴③错． 2．D3．A 解析：a (b ·c )＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．4．7 解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos π3＋22＝7.∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝7. 5．π3解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0，即a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝4，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝42×4＝12(θ是a 与b 的夹角)，∴θ＝π3.考点探究突破【例1】 解：(1)如图，向量AB uu u r ，BC uu u r的夹角为120°，∴AB uu u r ·BC uu u r ＝|AB uu u r |·|BC uu u r|·cos 120°＝5×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－252. ∵CD uu u r ＝12(CA uu r ＋CB uu r)，∴|CD uu u r |2＝14(CA uu r ＋CB uu r )2＝14(|CA uu r |2＋2CA uu r ·CB uu r ＋|CB uu r |2)＝14×(25＋2×5×5×cos 60°＋25)＝754，∴|CD uu u r |＝532. (2)a －2b ＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)， 2a ＋3b ＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，∴(a －2b )·(2a ＋3b )＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝－12＋30＝18. ∵a ＋2b ＝(3，－4)＋2(2,1)＝(7，－2)，∴|a ＋2b |＝72＋(－2)2＝53.【例2】 解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3， ∴64－4a ·b －27＝61， ∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)∵AB uu u r 与BC uu u r 的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB uu u r |＝|a |＝4，|BC uu u r|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB uuu r ||BC uu u r |sin∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 【例3－1】 5 解析：因为m ⊥b ， 所以m ·b ＝2x －y ＝0.① 又因为m 为单位向量，所以x 2＋y 2＝1.② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55，y ＝255，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55，y ＝－255，所以|x ＋2y |＝ 5.【例3－2】 解：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x .|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x ＞0， ∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x＝2cos 2x －2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1. ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32，当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.【例4－1】 C 解析：如图，∵NA uur ＋NB uu u r ＋NC uuu r＝0，∴NB uu u r ＋NC uuu r＝NA -uur .依向量加法的平行四边形法则，知|NA uur |＝2|NE uu u r|，故N 为重心． ∵PA uu r ·PB uur ＝PB uur ·PC uu u r ，∴(PA uu r －PC uu u r)·PB uur ＝CA uu r ·PB uur ＝0.同理AB uu u r ·PC uu u r ＝0，BC uu u r ·PA uu r＝0，∴点P 为△ABC 的垂心．由|OA uu r |＝|OB uu u r |＝|OC uuu r|，知O 为△ABC 的外心．【例4－2】 解：(1)由a ⊥(b －a )⇒a ·(b －a )＝0⇒a ·b －a 2＝0，又|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝|α－β|，∴2cos|α－β|＝1⇒cos|α－β|＝12.由0＜α＜π2＜β＜π，得β－α＝π3.(2)∵|OA uu r |＝1，|OB uu u r|＝2，记〈OB uu u r ，OC uuu r 〉＝θ1，〈OA uu r ，OC uuu r〉＝θ2， ∵OC uuu r＝(0，d )，d ＞0，∴θ1＝β－π2，θ2＝π2－α，且θ1，θ2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.由||OB OC OC ⋅uu u r uuu ruuur ＝|OB uu u r |·cos θ1＝1⇒cos θ1＝12得β－π2＝π3. 由||OA OC OC ⋅uur uuu ruuur ＝|OA uu r |·cos θ2＝32⇒cos θ2＝32得π2－α＝π6， ∴∠AOB ＝β－α＝π2，∴S ＝12×2×1＝1.演练巩固提升1．D 解析：∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2×1＝2x ＝0，即x ＝0.2．B 解析：设AB uu u r ＝a ，AC uuu r＝b ，∴|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝0.BQ uu u r ·CP uu r ＝(AQ uuu r －AB uu ur )·(AP uu u r －AC uuu r )＝[(1－λ)b －a ]·(λa －b )＝－λa 2－(1－λ)b 2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，∴λ＝23.3．北偏西30° 解析：如图，渡船速度为OB uu u r，水流速度为OA uu r ，船实际垂直过江的速度为OD uuu r ，依题意知，|OA uu r |＝12.5，|OB uu u r|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD uu u r|＝|OA uu r |，又OD ⊥BD ，∴在Rt△OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.4．①②④ 解析：①错，|a ·b |＝|a ||b |·|cos θ|≤|a ||b |.②错．∵A ，B ，C 共线，∴AB uu u r ＝k AC uuu r .∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，λ2k ＝1.∴λ1λ2＝1.④错，∵|a ＋b |2＝13，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝13，即a ·b ＝|a ||b |·cos θ＝－6，∴cos θ＝－12.∴θ＝120°.5．解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得 ⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0.∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0.∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－525·52＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.。
高中数学_平面向量的数量积教学设计学情分析教材分析课后反思
向量数量积的定义一、教学设计平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。
本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
二、教学目标1通过向量夹角的定义及练习使学生掌握向量夹角的求法2 掌握向量在轴上正射影数量的求法3 掌握向量的数量积的定义及性质三、教学重难点1、重点：平面向量数量积的定义。
2、难点：平面向量数量积的定义的理解。
四、教学准备1、实验教具：计算机、黑板、粉笔2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。
五、教学过程平面向量数量积学情分析1.从学生的知识储备分析：本节课的学生是高一的学生，在学习本节课之前，学生已经学习掌握了平面向量的线性运算，并且学习了空间内直线与平面位置关系以及直线与平面平行的知识向量的分解与向量的坐标运算，因此学生对于平面向量数量积的学习有良好的认知基础。
但是学生对于数量积的定义的理解有一定的困难，要通过物理当中的做功运算一步步引导学生学习平面向量数量积的定义2、从我校教学特点分析，我校每个班级都成立了学习小组，小组成员是根据学生的学习能力安排的，每个小组均有学优生和学困生，可以有效完成小组合作，学生可以小组为单位进行讨论、探究式学习。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用
§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。
高中数学_平面向量的数量积与平面向量的应用举例教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的数量积与平面向量的应用举例教学目的：①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b = |a||b|cosθ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．向量的数量积的几何意义：数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ； 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = -|a||b|. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅. 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式一、设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=四、讲解范例：五、设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x . 解：设x = (t ， s )，由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2， -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2． 记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)23,27(- 例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23- 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3) ∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 六、课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ）A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ） A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(-- C.)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)54,53(- 4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = .6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=BC，b=CA，则a与b的夹角为 .7、对点练习：（2014重庆高考）已知向量a与向量b的夹角为60°，且a=（-2，-6）,1b1=√10，则a. b=_______.8、对点练习：已知A（1,2）,B（2,3）,C（-2,5）,试判断△ABC的形状，并给出证明。
【高中教育】最新高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高三数学一轮复习第15讲平面向量的数量积及应用教案______年______月______日____________________部门教学目标1．平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2．向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。
重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。
平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。
预测20xx年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。
（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；教学准备多媒体课件教学过程一．知识梳理：1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角；说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2π时，a与b垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。
（2）数量积的概念已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b=︱a︱·︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积）。
规定00a⋅=；向量的投影：︱b︱cosθ=||a ba⋅∈R，称为向量b在a方向上的投影。
高三数学一轮复习备考教学设计：平面向量的应用
《平面向量》一轮复习（文科）教学设计一．考纲要求平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点。
向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观性，是数形结合的典范。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。
（一）、2016考试说明及解读（二）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇（四）考情分析1．考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的解答题．2．考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量的应用等．（五）高考预测1．预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主．2．题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练．3．对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要立足基本知识，基本方法，基本技能。
二．复习目标1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。
2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。
特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。
3、关注数学思想方法在本章中的渗透：思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。
解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。
三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）（一）进度安排本专题共有四讲内容：第一讲平面向量的概念及其线性运算第二讲平面向量基本定理及坐标表示第三讲平面向量的数量积第四讲平面向量应用举例前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。
高三数学一轮复习优质教案5：5.3 平面向量的数量积教学设计
5.3 平面向量的数量积『课前考点引领』考情分析考点新知①理解平面向量数量积的含义及其物理意义.②掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；能利用数量积表示两个向量夹角的余弦，会用数量积判断两个非零向量是否垂直．①平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示.②了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.知识清单1. 向量数量积的定义(1) 向量a与b的夹角(2) 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与b的夹角，则(1) e·a＝a·e.(2) a⊥b a·b＝．(3) 当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝；特殊的，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4) cosθ＝a·b|a||b|.(5) |a·b|≤|a|·|b|.3. 向量数量积的运算律(1) 交换律：a·b＝b·a.(2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3) 数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．4. 平面向量数量积的坐标表示(1) 若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.故a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2) 设a ＝(x ，y )，则|a |＝ ．(3) 若向量a ＝(x 1，y 1)与向量b ＝(x 2，y 2)的夹角为θ，则有cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 『课中 技巧点拨』题型精选题型1 向量平行与垂直的充分条件例1 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1) 若a ⊥b ，求x 的值；(2) 若a ∥b ，求|a －b|的值．变式训练已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－k a ＋1tb ，m ∈R ，k 、t 为正实数．(1) 若a ∥b ，求m 的值；(2) 若a ⊥b ，求m 的值；(3) 当m ＝1时，若x ⊥y ，求k 的最小值．题型2 向量的夹角与向量的模例2 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1) 求a 与b 的夹角θ；(2) 求|a ＋b|；(3) 若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．备选变式（教师专享）已知非零向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，向量a 、b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为________．题型3 平面向量与三角函数的交汇例3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c )·BC →·BA →＋c CA →·CB→＝0.(1) 求角B 的大小；(2) 若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．备选变式（教师专享）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1) 求a ，c 的值；(2) 求sin(A －B )的值．例4 已知向量a ＝(cos λθ，cos(10－λ)θ)，b ＝(sin(10－λ)θ，sin λθ)，λ、θ∈R .(1) 求|a|2＋|b|2的值；(2) 若a ⊥b ，求θ；(3) 若θ＝π20，求证：a ∥b.备选变式（教师专享）已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cosx ，－12，b ＝(3sin x ，cos2x )，x ∈R , 设函数f (x )＝a·b .(1) 求f (x )的最小正周期.(2) 求f (x ) 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．答题模板探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．『示例』 (本题模拟高考评分标准，满分14分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．学生错解：解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×12＝1， ∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋te 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12. 审题引导： 当(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0时，其夹角一定为钝角吗？规范解答： 解： ∵ e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos60°＝2×1×12＝1，(2分) ∴ (2t e 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7.(4分)因为向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，即2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.(9分) 当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝72t 2＝7t ＝－142或t ＝142(舍)．(12分)故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12.(14分) 错因分析： 向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，可得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但由(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，并不能推出向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角．如t ＝－142时，(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为π，所以(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0仅是向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角的必要条件，而不是充分条件．探讨两个向量的夹角为钝角或锐角时，首先要理解和把握其充要条件．『疑难指津』 1. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．2. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．3. 应用向量运算将问题转化为与代数函数有关的问题，其中转化是关键．4. 向量与三角的交汇是高考最常见的题型之一，其中用向量运算进行转化，化归三角函数问题或三角恒等变形等问题是常规的解题思路和基本方法．答案知识清单1.(2) |a ||b |cos θ2. (2) 0 (3) |a||b| －|a||b| 4. (2)x 2＋y 2．例1解：(1) 若a ⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2) 若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)，a －b ＝(－2，0)，∴ |a －b|＝（－2）2＋02＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)，a －b ＝(2，－4)，∴ |a －b|＝22＋（－4）2＝2 5.综上，可知|a －b|＝2或2 5.变式训练解：(1) 因为a ∥b ，所以1·m －2·(－2)＝0，解得m ＝－4.(2) 因为a ⊥b ，所以a·b ＝0，所以1·(－2)＋2m ＝0，解得m ＝1.(3) 当m ＝1时，a ·b ＝0.因为x ⊥y ，所以x·y ＝0.则x·y ＝－k a 2＋⎣⎡⎦⎤1t －k （t 2＋1）a ·b ＋(t ＋1t)b 2＝0. 因为t ＞0，所以k ＝t ＋1t≥2，当t ＝1时取等号， 即k 的最小值为2.例2解：(1) ∵ (2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴ 4|a |2－4a·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴ 64－4a·b －27＝61，∴ a·b ＝－6.∴ cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12. 又0≤θ≤π，∴ θ＝2π3. (2) 可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴ |a ＋b |＝13.(3) ∵ AB →与BC →的夹角θ＝2π3， ∴ ∠ABC ＝π－2π3＝π3. 又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴ S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3. 备选变式（教师专享）『答案』90°『解析』由题意，得c ＝－a －b ，a ·c ＝－a 2－a·b ＝－|a|2－|a||b|cos120°＝－|a|2＋12|a||b|＝－|a|2＋12|a|·2|a|＝－|a|2＋|a|2＝0，所以a ⊥c ，即a 与c 的夹角为90°. 例3解：(1) 因为(2a ＋c )BC →·BA →＋c CA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋abc cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0.因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3. (2) 因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4， 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB →的最小值为－2.备选变式（教师专享）解：(1) 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2) 在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝asinB b ＝223，因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13，因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 例4(1) 解：∵ |a |＝cos 2λθ＋cos 2（10－λ）θ，|b |＝sin 2（10－λ）θ＋sin 2λθ，∴ |a |2＋|b |2＝2.(2) 解：∵ a ⊥b ，∴ cos λθ·sin(10－λ)θ＋cos(10－λ)θ·sin λθ＝0，∴ sin 『(10－λ)θ＋λθ』＝0，∴ sin10θ＝0，∴ 10θ＝kπ，k ∈Z ，∴ θ＝kπ10，k ∈Z . (3) 证明：∵ θ＝π20， cos λθ·sin λθ－cos(10－λ)θ·sin 『(10－λ)θ』＝cos λπ20·sin λπ20－cos ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20·sin ⎝⎛⎭⎫π2－λπ20 ＝cos λπ20·sin λπ20－sin λπ20·cos λπ20＝0，∴ a ∥b . 备选变式（教师专享）解：(1) f (x )＝a·b ＝cos x ·3sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π. 所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，最小正周期为π. (2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象知， f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎫π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1. 所以，f (x ) 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.。
高考数学一轮总复习教学课件第五章 平面向量、复数第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用
1.平面向量数量积的有关概念
向量的
夹角
数量积
的定义
已 知两 个 非 零 向 量 a , b , O 是平 面上的 任意一 点 , 作
→
→
=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,把|a||b|
cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
A.20
C.20
)
B.-20
√
D.-20
→
→
→
→
→
→
→
解析:由题意知<,>=120°,故·=||·||·cos<,
→
>=-5×8× =-20.故选 B.
3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),则a与b的夹角的余弦值为(
A.-
√
C.
B.
解析:(2)因为a=(3,1),b=(2,2),
所以a+b=(5,3),a-b=(1,-1),
则|a+b|= + = ,|a-b|= + = ,(a+b)·(a-b)=5×1+3×(-1)=2,
(+)·(-)
所以 cos<a+b,a-b>=
|+||-|
=
→
→
→
||cos∠PAB 表示在上的投影向量的数量,所以结合图形可知,
当 P 与 C 重合时投影向量的数量最大,当 P 与 F 重合时投影向量的数量
→
→
→
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最小.又·=2 ×2×cos 30°=6,·=2×2×cos 120°=
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《平面向量的数量积及应用举例（1）》评测练习
五、【典例分析】
考点一 平面向量数量积的运算
【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，60BAD ∠=︒，3CP PD = ， 则_________.AP BP ⋅=
(2)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是( )
A. 2
B.2
C.0
D.1
(3)在菱形ABCD 中，4AC =，则_________.CA AB ⋅=
【规律方法】平面向量数量积问题的难点突破
(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础. (2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算化为坐标运算.
(3)借“投影”几何化，巧妙借助数量积的几何意义求解.
【变式训练1】已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) 3231532315
A.
B. C. D.2222--
【变式训练2】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则________.DE CB ⋅=
考点二 平面向量数量积的应用 命题热点1：平面向量的垂直问题
【例2】已知向量(,3)a k ＝，(1,4)b ＝，(2,1)c ＝，且(23)a b c ⊥－，则实数k ＝( )
915 A. B.0 C.3 D.22
-
命题热点2：平面向量的模与夹角
【例3】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1
cos 3
α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹
角为β，则cos ________.β=
【规律方法】求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用2
2
a a =，勿忘记开方. (2)2
2
a a a a ⋅==或2
a a =，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
【变式训练3】已知向量(1,3)a ＝，(3,)b m ＝. 若向量a 与b 的夹角为π
6
，则实数m ＝( )
命题热点3：平面向量与三角函数、解三角形
【例4】已知向量(cos sin )a αα＝，，(cos sin )b ββ＝，，(10)c ＝－，，
(1)求向量b c ＋的长度的最大值.(2)设4
π
α＝，且()a b c ⊥＋，求cos β的值.
六、【课堂达标】
1.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2CD =，4
BAD π
∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则
________.AD AC ⋅=
2.如图，在△ABC 中，M 为BC 的中点，若1AB =，3AC =，AB 与AC 的夹角为60︒，则________.MA =
3.已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量.123e e -与12e e λ+的夹角为60︒，则实数λ的值是________. 七、【学习反思】 八、【巩固提高】
1.关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：
①若a b a c ⋅=⋅，则0a =或b c =；①若(1,)a k ＝，(2,6)b -＝且a b ⊥，则1
3
k =；①非零向量a ，
b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30︒.其中所有真命题的个数为( ) A .0 B .1 C.2 D .3
2.已知非零向量,a b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )
25 A. B. C. D.
6336ππππ
3.在①ABC 中，90B =︒，1AB BC ==，点M 满足2BM AM =，则CM CA ⋅＝________.
4.已知a ，b 为单位向量，且a b ⋅＝0，若25c a b =-，则cos ,a c ＝________.
5.已知4a =，8b =，a 与b 的夹角是120︒.当k 为何值时，(2)()a b ka b +⊥-.
【评价日期及等级】。