高中数学同步学案 复习课(3) 复数、框图

复习课(三) 复数、框图对应学生用书P46复数的概念(1),难度较小．(2)解答此类问题的关键是明确复数相关概念．[考点精要]1．复数是实数的充要条件 (1)z ＝a ＋bi(a,b ∈R)∈R ⇔b ＝0. (2)z ∈R ⇔z ＝z . (3)z ∈R ⇔z 2≥0.2．复数是纯虚数的充要条件(1)z ＝a ＋bi(a,b ∈R)是纯虚数⇔a ＝0,且b≠0. (2)z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0(z≠0)． (3)z 是纯虚数⇔z 2<0. 3．复数相等的充要条件a ＋bi ＝c ＋di ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d (a,b,c,d ∈R)．[典例] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题： p 1：若复数z 满足1z ∈R,则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R,则z ∈R ； p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R,则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R,则z ∈R. 其中的真命题为( ) A ．p 1,p 3 B ．p 1,p 4 C ．p 2,p 3D ．p 2,p 4(2)(2017·天津高考)已知a ∈R,i 为虚数单位,若a －i2＋i 为实数,则a 的值为________．[解析] (1)设复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R),对于p 1,∵1z ＝1a ＋bi ＝a －bia 2＋b2∈R,∴b ＝0,∴z ∈R,∴p 1是真命题；对于p 2,∵z 2＝(a ＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi ∈R,∴ab ＝0,∴a ＝0或b ＝0,∴p 2不是真命题；对于p 3,设z 1＝x ＋yi(x,y ∈R),z 2＝c ＋di(c,d ∈R),则z 1z 2＝(x ＋yi)(c ＋di)＝cx －dy ＋(dx ＋cy)i ∈R,∴dx ＋cy ＝0,取z 1＝1＋2i,z 2＝－1＋2i,z 1≠z 2, ∴p 3不是真命题；对于p 4,∵z ＝a ＋bi ∈R,∴b ＝0,∴z ＝a －bi ＝a ∈R, ∴p 4是真命题． (2)由a －i 2＋i ＝a －i 2－i 2＋i2－i ＝2a －15－2＋a 5i 是实数,得－2＋a5＝0,所以a ＝－2. [答案] (1)B (2)－2 [类题通法]处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a ＋bi(a,b ∈R)的形式时,要通过变形化为a ＋bi 的形式,以便确定其实部和虚部． (2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根．[题组训练]1．若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位),z 是z 的共轭复数,则z 2＋z －2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：选A 因为z ＝1＋i,所以z ＝1－i,所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.故选A. 2．已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i,z 2＝4＋(5m ＋6)i,其中m 为实数,i 为虚数单位,若z 1－z 2＝0,则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．6D ．－1或6解析：选 B 由题意可得z 1＝z 2,即m 2－3m ＋m 2i ＝4＋(5m ＋6)i,根据两个复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1,故选B.复数加、减法的几何意义(1),难度较小． (2)解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为代数形式,再利用复数的几何意义解题．[考点精要]1．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi)；(2)复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R)的对应向量OZ ―→是以原点O 为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复平面上与OZ ―→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋bi(a,b ∈R)的模|z|＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解,复数z 的模表示复数z 对应的点Z 和原点间的距离． [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i,则|z|＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2(2)复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)因为z ＝2i1＋i ＝2i 1－i1＋i 1－i＝i(1－i)＝1＋i,所以|z|＝ 2.(2)z ＝m －2i 1＋2i ＝m －2i 1－2i1＋2i 1－2i＝15[(m －4)－2(m ＋1)i], 其实部为15(m －4),虚部为－25(m ＋1),由⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，－2m ＋1>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m>4，m<－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限． [答案] (1)C (2)A [类题通法]在复平面内确定复数对应点的步骤(1)由复数确定有序实数对,即z ＝a ＋bi(a,b ∈R)确定有序实数对(a,b)． (2)由有序实数对(a,b)确定复平面内的点Z(a,b)．[题组训练]1．设(1＋i)x ＝1＋yi,其中x,y 是实数,则|x ＋yi|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选B ∵(1＋i)x ＝1＋yi,∴x ＋xi ＝1＋yi. 又∵x,y ∈R,∴x ＝1,y ＝1. ∴|x ＋yi|＝|1＋i|＝2,故选B.2．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限,则实数k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－6＋k 2<0，k 2－4>0，∴4<k 2<6.∴－6<k<－2或2<k< 6. 答案：(－6,－2)∪(2,6)3．已知复数z 1＝2＋3i,z 2＝a ＋bi,z 3＝1－4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C.若OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→,则a ＝________,b ＝________.解析：∵OC ―→＝2OA ―→＋OB ―→∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋bi)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.答案：－3 －10复数的代数运算(1)复数运算是本章的重要内容,是高考的考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般以复数的乘法和除法运算为主．(2)解答此类问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则,用好复数相等的充要条件这一重要工具,将复数问题实数化求解．[考点精要]复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ,1＋i 1－i ＝i,1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋ai ＝i(a ＋bi)； (3)i 4n＝1,i 4n ＋1＝i,i4n ＋2＝－1,i 4n ＋3＝－i ；(4)i 4n ＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典例] (1)若z ＝1＋2i,则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i(2)计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝________.[解析] (1)因为z ＝1＋2i,则z ＝1－2i,所以z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5,则4i z z －1＝4i4＝i.故选C.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 2＝1＋2i. [答案] (1)C (2)1＋2i [类题通法]进行复数代数运算的策略(1)复数代数形式的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算． ①复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)．②复数的乘除运算是复数运算的难点,在乘法运算中要注意i 的幂的性质,区分(a ＋bi)2＝a 2＋2abi －b 2与(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2；在除法运算中,关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数),此时要注意区分(a ＋bi)(a －bi)＝a 2＋b 2与(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.(2)复数的四则运算中含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把i 的幂写成最简单的形式．(3)利用复数相等,可实现复数问题的实数化．[题组训练]1．复数z 满足z(z ＋1)＝1＋i,其中i 是虚数单位,则z ＝( ) A ．1＋i 或－2＋i B ．i 或1＋i C ．i 或－1＋iD ．－1－i 或－2＋i解析：选C 设z ＝a ＋bi(a,b ∈R),由z(z ＋1)＝1＋i 得a 2＋b 2＋a ＋bi ＝1＋i,所以b ＝1,a 2＋a ＋1＝1,所以a ＝0或a ＝－1.故z ＝i 或z ＝－1＋i.2．i 是虚数单位,⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________.解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 1 009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1 009＋i 6＝i 1009＋i 6＝i4×252＋1＋i 4＋2＝i ＋i 2＝－1＋i. 答案：－1＋i框图(1)序框图．(2)在画框图时,需要有较高的抽象概括能力和逻辑思维能力,要熟悉事物的来龙去脉,从头至尾抓住主要脉络进行分解,弄清各步的逻辑关系．[考点精要]1．流程图(1)流程图是动态图示,包括程序流程图、工序流程图、生活中的流程图等,流程图一般要按照从左到右,从上到下的顺序来观察．(2)画流程图时,要先将实际问题分解成若干个步骤,注意各个步骤之间的先后顺序和逻辑关系,再用简洁的语言表述步骤,最后绘制成流程图．2．结构图(1)结构图是一种静态图示,通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．结构图一般主要包括知识结构图和组织结构图．(2)结构图的书写顺序是：根据系统各要素的具体内容,按照从上到下、从左到右的顺序或箭头所指的方向将各要素划分为从属关系或逻辑的先后关系．[典例] (1)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生,分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)．(2)据有关人士预测,我国的消费观念正由生存型消费转向质量型消费,城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电,试设计出表示消费情况的结构图．[解] (1)变量x 是在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y 的值为1,故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y 的值为2,故P 2＝13；当x 从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y 的值为3,故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12,输出y 的值为2的概率为13,输出y 的值为3的概率为16.(2)如图所示．[类题通法](1)解决循环结构框图问题,首先要找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件),然后看循环体,循环次数比较少时,可依次列出即可获解,循环次数较多时可先循环几次,找出规律,要特别注意最后输出的是什么,不要出现多一次或少一次循环的错误．(2)画复杂的组织结构图或分类结构图时,首先要分清各个要素的从属关系,即上下位关系,然后从最上位开始往下位展开,既可以画成上下结构,也可以画成左右结构．[题组训练]1．读下面的流程图,当输入的值为－5时,输出的结果是________．解析：①A＝－5＜0,②A＝－5＋2＝－3＜0,③A＝－3＋2＝－1＜0,④A＝－1＋2＝1＞0,⑤A＝2×1＝2.答案：22．“大气热力作用”有关知识是：太阳辐射地面,产生地面辐射传递给大气和宇宙空间,大气向外辐射至宇宙空间,同时,大气对地面产生逆辐射,对太阳辐射产生削弱作用(吸收、反射、散射),不仅如此,大气还对地面产生保温作用．试画出上述知识的结构图．解：如图所示．1．已知a,b∈R,i是虚数单位．若a＋i＝2－bi,则 (a＋bi)2＝( )A．3－4i B．3＋4iC．4－3i D．4＋3i解析：选A 由a＋i＝2－bi可得a＝2,b＝－1,则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.2．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D z ＝1＋i 2－1＋i ＝2i －1－i －1＋i －1－i ＝2i－1－i2＝1－i,故z 在复平面内对应的点的坐标为(1,－1),位于第四象限．3．绘制直平行六面体的知识结构图时,下列叙述正确的是( ) A ．正方体应是最下位要素 B ．正方体是长方体的上位要素 C ．直平行六面体是长方体的下位要素 D ．正四棱柱不是该结构图中的要素解析：选A 正确的关系为直平行六面体→正四棱柱→长方体→正方体．4．在复平面内,向量AB ―→对应的复数是2＋i,向量CB ―→对应的复数是－1－3i,则向量CA ―→对应的复数为A.1－2iB.－1＋2iC.3＋4iD.－3－4i解析：选D ∵AB ―→对应复数2＋i,BC ―→对应复数1＋3i,,∴AC ―→对应复数(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i, ∴CA ―→对应的复数是－3－4i.5．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．4－iD ．4＋i解析：选A 由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋32＋i ＝2＋i,则z ＝2－i.6．设z 是复数,则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0,则z 是实数 B ．若z 2<0,则z 是虚数 C ．若z 是虚数,则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数,则z 2<0解析：选C 设z ＝a ＋bi(a,b ∈R),选项A,z 2＝(a ＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi≥0,则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，故b ＝0或a,b 都为0,即z 为实数,正确．选项B,z 2＝(a ＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi<0,则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2<b 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b≠0，故z 一定为虚数,正确．选项C,若z 为虚数,则b≠0,z 2＝(a ＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi,由于a 的值不确定,故z 2无法与0比较大小,错误．选项D,若z 为纯虚数,则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b≠0，则z 2＝－b 2<0,正确．7．复数z ＝3＋i1＋2i 的共轭复数是________．解析：依题意得z ＝3＋i 1－2i 1＋2i1－2i ＝5－5i5＝1－i,因此z 的共轭复数是1＋i.答案：1＋i8．i 为虚数单位,设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于原点对称,若z 1＝2－3i,则z 2＝________. 解析：∵(2,－3)关于原点的对称点是(－2,3), ∴z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i9．已知z,ω为复数,(1＋3i)z 为纯虚数,ω＝z2＋i ,且|ω|＝52,则ω＝________.解析：由题意设(1＋3i)z ＝ki(k≠0且k ∈R), 则ω＝ki 2＋i1＋3i. ∵|ω|＝52,∴k ＝±50,故ω＝±(7－i)． 答案：±(7－i)10．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i. (1)求|z|；(2)若z 2＋az ＋b ＝z ,求实数a,b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z|＝12＋12＝ 2.(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋ai ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i, ∵z ＝1－i,∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3,b ＝4.11．已知z ＝x －i 1－i (x>0),且复数ω＝z(z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－32,求ω·ω.解：ω＝z(z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i ＝x ＋12＋x 2＋x2i.根据题意x ＋12－x 2＋x 2＝－32,得x 2－1＝3.∵x>0,∴x ＝2.∴ω＝32＋3i.∴ω·ω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋3i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3i ＝454.12．某省公安消防局对消防产品监督程序步骤为：受理产品请求,审核考察,领导复核,窗口信息反馈．领导复核环节中,若不同意,则直接由窗口反馈信息；同意,如果由公安部发证的产品,则报公安部审批后,再把反馈信息由窗口反馈；如果不是由公安部发证的产品,则信息由窗口反馈出去．试画出监督程序流程图．解：如图所示：(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 1＝2＋i,z 2＝1＋i,则z 1z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限解析：选Dz 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2,对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．2．以下是解决数学问题的思维过程的流程图(如图)：在此流程图中,①②两条流程线与“推理与证明”的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法,②—分析法 B ．①—分析法,②—综合法 C ．①—综合法,②—反证法 D ．①—分析法,②—反证法解析：选A 综合法是从原因推导到结果的思维方法,而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．故选A.3．复数a ＋i 1－i 为纯虚数,则它的共轭复数是( )A ．2iB ．－2iC ．iD ．－i解析：选D ∵复数a ＋i 1－i ＝a ＋i1＋i 1－i 1＋i ＝a －1＋1＋a i2为纯虚数, ∴a －12＝0,1＋a2≠0,解得a ＝1. ∴a ＋i1－i＝i,则它的共轭复数是－i. 4．下列说法正确的有( ) ①回归方程适用于一切样本和总体． ②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围． ④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③解析：选B 回归方程只适用于所研究样本的总体,所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确,③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值,故选B.5．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31,…,猜想第n(n ∈N *)个等式应为( )A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9B ．9(n －1)＋n ＝10n －9C ．9n ＋(n －1)＝10n －9D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10解析：选B 等式的左边是9×(等式的序号－1)＋等式的序号,故选B. 6．已知x 1>0,x 1≠1,且x n ＋1＝x nx 2n ＋33x 2n ＋1(n ∈N *),试证“数列{x n }对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1,或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”,当此题用反证法否定结论时,应为( )A ．对任意的正整数n,都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n,使x n >x n ＋1C ．存在正整数n(n≥2),使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n(n≥2),使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选D 命题的结论是等价于“数列{x n }是递增数列或是递减数列”,其反设是“数列既不是递增数列,也不是递减数列”,由此可知选D.7．观察下列等式,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102,根据上述规律,13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )A ．192B ．202C ．212D ．222解析：选C 归纳得13＋23＋33＋43＋53＋63＝()1＋2＋…＋62＝212. 8．设复数z 满足关系式z ＋|z|＝2＋i,那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 解析：选 D 设z ＝x ＋yi(x,y ∈R),则x ＋yi ＋x 2＋y 2＝2＋i,所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.9．下表是降耗技术改造后,生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,得到y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35,那么表中m 的值为( )A ．3.5 C ．2.5D ．2解析：选B ∵x ＝3＋4＋5＋64＝4.5,y ＝2.5＋m ＋4＋4.54＝m ＋114,又(x ,y )在线性回归方程上, ∴m ＋114＝0.7×4.5＋0.35,∴m ＝3.10．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动,得到如下的列联表：男 女 总计 爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计3070100附表：P(K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 k 02.7063.8415.024K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.经计算,统计量K 2的观测值k≈4.762,参照附表,得到的正确结论是( ) A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选A 根据题意得k≈4.762>3.841,故应该有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”,因此选A.11．已知面积为S 的凸四边形中,四条边长分别记为a 1,a 2,a 3,a 4,点P 为四边形内任意一点,且点P 到四边的距离分别记为h 1,h 2,h 3,h 4,若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k,则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk ,类比以上性质,体积为V 的三棱锥的每个面的面积分别记为S 1,S 2,S 3,S 4,此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1,H 2,H 3,H 4,若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k,则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( ) A.4V k B.3V kC.2V kD.V k解析：选B 根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh,得13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V, 即S 1H 1＋S 2H 2＋S 3H 3＋S 4H 4＝3V, 所以H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k.12．函数f(x)在[－1,1]上是减函数,α,β是锐角三角形的两个内角,且α≠β,则下列不等式正确的是( )A ．f(cos α)>f(sin β)B ．f(sin α)>f(sin β)C ．f(cos α)<f(cos β)D ．f(sin α)<f(sin β)解析：选A 因为α,β是锐角三角形的两个内角,这就意味着α,β为锐角,另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2,0<β<π2,π2<α＋β<π.所以π2>β>π2－α>0.所以0<cos β<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α<1,1>sin β>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α>0. 又因为f(x)在[－1,1]上为减函数, 所以f(sin β)<f(cos α)．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．复数z 满足(1＋i)z ＝|3－i|,则z ＝________. 解析：∵(1＋i)z ＝|3－i|＝2,∴z ＝21＋i ＝21－i2＝1－i,∴z ＝1＋i.答案：1＋i14．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C>180°,这与三角形内角和为180°相矛盾,因此∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A,∠B,∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A ＝∠B ＝90°. 正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤知,先反设即③,再推出矛盾即①,最后作出判断,肯定结论即②,即顺序应为③①②.答案：③①②15．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出的S 的值为________．解析：第一次循环：S＝2－1,1＜3,i＝2；第二次循环：S＝3－1,2＜3,i＝3；第三次循环：S＝4－1＝1,3≥3,输出S＝1.答案：116．两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20,…,被称为梯形数．根据图形的构成,记第2 018个梯形数为a2 018,则a2 018＝________.解析：5＝2＋3＝a1,9＝2＋3＋4＝a2,14＝2＋3＋4＋5＝a3,…,a n＝2＋3＋…＋(n＋2)＝n＋12＋n＋22＝12(n＋1)(n＋4),由此可得a2 018＝2＋3＋4＋…＋2 020＝12×2 019×2 022＝2 019×1011.答案：2 019×1 011三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z＝1－i2＋31＋i2－i.(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,求z1；(2)若实数a,b满足z2＋az＋b＝1－i,求z2＝a＋bi的共轭复数．解：由已知得复数z＝1－i2＋31＋i2－i＝－2i＋3＋3i2－i＝3＋i2－i＝3＋i2＋i2－i2＋i＝5＋5i5＝1＋i.(1)因为复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称,则它们实部互为相反数,虚部相等,所以z1＝－1＋i.(2)因为z2＋az＋b＝1－i,所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i,整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i,因为a,b ∈R,所以a ＋b ＝1,且2＋a ＝－1, 解得a ＝－3,b ＝4,所以复数z 2＝－3＋4i, 所以z 2的共轭复数为－3－4i.18．(本小题满分12分)为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系,随机抽取了278名教师进行问卷调查,所得数据如表：积极支持教育改革不太赞成教育改革总计 工作积极 55 73 128 工作一般 98 52 150 总计153125278对于该教委的研究项目,根据上述数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为对待教育改革的态度与工作积极性有关？解：根据题意可得K 2的观测值 k ＝278×55×52－73×982128×150×153×125≈13.959>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的． 19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝1x ＋2,a,b ∈(0,＋∞)．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b>4,求证：af(b),bf(a)中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23,只需证明1a b ＋2＋1b a ＋2≤23,只需证明b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23,即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23,即证3b 2＋12ab ＋3a 2≤4a 2＋10ab ＋4b 2.即证(a －b)2≥0,这显然成立,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于12,即a b ＋2≤12,b a ＋2≤12,∴2a≤b＋2,2b≤a＋2,两式相加得a ＋b≤4, 这与a ＋b>4矛盾,∴af(b),bf(a)中至少有一个大于12.20．(本小题满分12分)先解答(1),再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R,a 为非零常数,且f(x ＋a)＝1＋f x1－f x ,试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)证明：根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan xtanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x ,即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ,命题得证． (2)猜想f(x)是以4a 为周期的周期函数．因为f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝1＋f x ＋a1－f x ＋a ＝1＋1＋fx 1－f x 1－1＋fx 1－f x＝－1f x , 所以f(x ＋4a)＝f[(x ＋2a)＋2a]＝－1f x ＋2a＝f(x)．所以f(x)是以4a 为周期的周期函数．21．(本小题满分12分)通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1, 32－22＝2×2＋1, 42－32＝2×3＋1, …(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各等式两边分别相加得：(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋3＋…＋n)＋n,即1＋2＋3＋…＋n ＝nn ＋12. (1)类比上述求法,请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值． (2)根据上述结论,求12＋32＋52＋…＋992的值． 解：(1)∵23－13＝3×12＋3×1＋1, 33－23＝3×22＋3×2＋1, 43－33＝3×32＋3×3＋1, …,(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n＋1,将以上各式两边分别相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n, ∴12＋22＋…＋n 2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋13－1－n －3·1＋n n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)． (2)12＋32＋52＋…＋992＝12＋22＋32＋…＋1002－(22＋42＋62＋…＋1002)＝12＋22＋32＋…＋1002－4(12＋22＋32＋…＋502)＝16×100×101×201－4×16×50×51×101＝166 650.22．(本小题满分12分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2013 2014 2015 2016 2017 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y(千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中,b ^＝∑i ＝1nt i y i －n ty∑i ＝1nt 2i －n t 2,a ^＝y －b ^t .解：(1)列表计算如下：i t i y i t 2i t i y i 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 6 7 8 10 1 4 9 16 25 5 12 21 32 50 ∑153655120这里n ＝5,t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3,y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt 2i－n t 2＝55－5×32＝10,∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12,从而b ^＝1210＝1.2,a ^＝y －b ^t ＝7.2－1.2×3＝3.6,故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．。